福建省福州三中2012-2013學年高二下學期期中試題（數學理）掃描版一、選擇題要求：請從每題給出的四個選項中，選出正確的一項。1.已知函數$f(x)=2x^3-3x^2+1$，則函數的圖像關于點$(1,1)$對稱。A.正確B.錯誤2.下列四個數中，不是實數的是：A.$\sqrt{3}$B.$\sqrt{-3}$C.$\pi$D.$e$3.已知等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，若$S_{10}=120$，$S_{20}=320$，則公差$d$等于：A.$1$B.$2$C.$3$D.$4$4.已知$\angleA$、$\angleB$、$\angleC$是三角形$ABC$的三個內角，若$a:b:c=3:4:5$，則$\cosA+\cosB+\cosC$的值等于：A.$0$B.$\frac{1}{2}$C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$D.$\sqrt{3}$5.已知復數$z=a+bi$，其中$a$、$b$是實數，且$|z|=\sqrt{2}$，$z^2=-1$，則實數$a$、$b$的值分別為：A.$1$，$1$B.$-1$，$1$C.$1$，$-1$D.$-1$，$-1$二、填空題要求：請將答案填寫在橫線上。1.函數$f(x)=\frac{1}{x}-x$的定義域為$\boxed{\text{（}0,\infty\text{）}}$。2.等差數列$\{a_n\}$的第一項為$a_1$，公差為$d$，若$a_1+a_5+a_9=45$，則$a_1=\boxed{9}$。3.若$x^2-5x+6=0$，則$x^2+2x-3$的值為$\boxed{-1}$。三、解答題要求：請將答案寫出，無需寫解題步驟。1.已知函數$f(x)=2x^3-3x^2+1$，求函數的圖像的頂點坐標。答案：$\boxed{(\frac{1}{2},-\frac{1}{4})}$。2.已知等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，若$S_{10}=120$，$S_{20}=320$，求公差$d$。答案：$d=\boxed{2}$。3.已知$\angleA$、$\angleB$、$\angleC$是三角形$ABC$的三個內角，若$a:b:c=3:4:5$，求$\cosA+\cosB+\cosC$的值。答案：$\cosA+\cosB+\cosC=\boxed{\frac{1}{2}}$。四、解答題要求：請將答案寫出，無需寫解題步驟。4.已知函數$f(x)=\frac{1}{x}-x$，求證：對于任意的$x_1,x_2\in\mathbb{R}$，若$x_1<x_2$，則$f(x_1)>f(x_2)$。答案：$\boxed{f(x_1)-f(x_2)=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}-(x_1-x_2)=\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}-(x_1-x_2)=(x_1-x_2)\left(\frac{1}{x_1x_2}-1\right)>0}$。五、解答題要求：請將答案寫出，無需寫解題步驟。5.已知等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，若$S_{10}=120$，$S_{20}=320$，求第$15$項$a_{15}$的值。答案：$a_{15}=\frac{S_{20}-S_{10}}{10}=\frac{320-120}{10}=\boxed{8}$。六、解答題要求：請將答案寫出，無需寫解題步驟。6.已知$\angleA$、$\angleB$、$\angleC$是三角形$ABC$的三個內角，若$a:b:c=3:4:5$，求$\sinA+\sinB+\sinC$的值。答案：$\sinA+\sinB+\sinC=\sinA+\sinB+\sin(180^\circ-A-B)=\sinA+\sinB+\sin(A+B)=\sinA+\sinB+\sinA\cosB+\cosA\sinB=2\sinA\cosB+\sinB=2\sinA\cosB+\sin(90^\circ-A)=2\sinA\cosB+\cosA=\sin(A+B)+\cosA=\sin(90^\circ)+\cosA=\boxed{1}$。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：函數$f(x)=2x^3-3x^2+1$的圖像不關于點$(1,1)$對稱，因為當$x=0$和$x=2$時，$f(x)$的值相同，但$x=0$和$x=2$不關于點$(1,1)$對稱。2.B解析：$\sqrt{-3}$不是實數，因為它不能表示為兩個整數的比。3.B解析：等差數列的前$n$項和公式為$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$，根據$S_{10}=120$和$S_{20}=320$，可以列出方程組：$$\begin{cases}\frac{10}{2}(2a_1+9d)=120\\\frac{20}{2}(2a_1+19d)=320\end{cases}$$解得$d=2$。4.D解析：根據正弦定理，$\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC}$，所以$\sinA=\frac{a}{c}\sinC$，$\sinB=\frac{c}\sinC$。因為$a:b:c=3:4:5$，所以$\sinA+\sinB+\sinC=\frac{3}{5}\sinC+\frac{4}{5}\sinC+\sinC=\frac{12}{5}\sinC$。由于$a:b:c=3:4:5$，三角形$ABC$是一個直角三角形，所以$\sinC=\frac{3}{5}$，因此$\sinA+\sinB+\sinC=\frac{12}{5}\cdot\frac{3}{5}=\frac{36}{25}=\sqrt{3}$。5.B解析：由$|z|=\sqrt{2}$得$a^2+b^2=2$，由$z^2=-1$得$a^2+b^2-2abi=-1$。聯(lián)立這兩個方程，解得$a=-1$，$b=1$。二、填空題1.$\text{（}0,\infty\text{）}$解析：函數$f(x)=\frac{1}{x}-x$在$x=0$時無定義，因此定義域為$(0,\infty)$。2.$9$解析：由等差數列的性質，$a_5=a_1+4d$，$a_9=a_1+8d$，所以$a_1+a_5+a_9=3a_1+12d=45$，解得$a_1=9$。3.$-1$解析：由$x^2-5x+6=0$，可得$x^2=5x-6$，代入$x^2+2x-3$得$5x-6+2x-3=7x-9$，解得$7x-9=-1$。三、解答題1.$\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{4}\right)$解析：函數$f(x)=2x^3-3x^2+1$的導數為$f'(x)=6x^2-6x$，令$f'(x)=0$得$x=0$或$x=1$。由于$f''(x)=12x-6$，$f''(1)=6>0$，所以$x=1$是極小值點，$x=0$是極大值點。因此，頂點坐標為$(1,f(1))=(1,-1)$，但題目要求的是頂點坐標，所以取$x=\frac{1}{2}$，此時$f\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4}$。2.$d=2$解析：同第二題解析，解得公差$d=2$。3.$\frac{1}{2}$解析：同第四題解析，計算得到$\cosA+\cosB+\cosC=\frac{1}{2}$。四、解答題4.$\boxed{f(x_1)-f(x_2)=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}-(x_1-x_2)=\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}-(x_1-x_2)=(x_1-x_2)\left(\frac{1}{x_1x_2}-1\right)>0}$。解析：由于$x_1<x_2$，所以$x_1-x_2<0$，而$\frac{1}{x_1x_2}-1<0$，因此$(x_1-x_2)\left(\frac{1}{x_1x_2}-1\right)>0$，即$f(x_1)>f(x_2)$。五、解答題5.$a_{15}=8$解析：由等差數列的性質，$a_{15}=a_1+14d$，由第二題解析知$a_1=9$，$d=2$，所以$a_{15}=9+14\cdot2=8$。六、解答題6.$\boxed{1}$解析：由正弦定理和三角形的內角和定理，$\sinA+\sinB+\sinC=\sinA+\sinB+\sin(180^\circ-A-B)=\sinA+\si