高考數(shù)學(xué)(理數(shù))一輪復(fù)習(xí)刷題小卷練習(xí)17《平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示》(教師版)一、選擇題要求：從下列各題給出的四個選項中，選出正確的一項。1.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，向量$\vec=(3,-4)$，則$\vec{a}+\vec$的坐標(biāo)是：A.$(4,-2)$B.$(-2,4)$C.$(-1,-6)$D.$(1,-6)$2.若向量$\vec{a}=(2,-3)$，向量$\vec=(4,6)$，且$\vec{a}$與$\vec$平行，則$\vec{a}$與$\vec$的夾角是：A.$0^\circ$B.$90^\circ$C.$180^\circ$D.$45^\circ$二、填空題要求：將正確答案填入空格中。3.已知向量$\vec{a}=(3,4)$，向量$\vec=(1,-2)$，則$\vec{a}-\vec$的坐標(biāo)是_______。4.若向量$\vec{a}=(2,-3)$，向量$\vec=(4,6)$，且$\vec{a}$與$\vec$的夾角為$120^\circ$，則$\vec{a}\cdot\vec$的值為_______。三、解答題要求：解答下列各題。5.已知向量$\vec{a}=(2,3)$，向量$\vec=(4,-5)$，求向量$\vec{a}$在向量$\vec$上的投影。6.已知向量$\vec{a}=(3,4)$，向量$\vec=(2,-1)$，求向量$\vec{a}$與向量$\vec$的夾角。四、證明題要求：證明下列各題。7.證明：若向量$\vec{a}=(a_1,a_2)$，向量$\vec=(b_1,b_2)$，則$\vec{a}$與$\vec$垂直的充分必要條件是$a_1b_1+a_2b_2=0$。五、計算題要求：計算下列各題。8.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，向量$\vec=(3,-4)$，向量$\vec{c}=(2,1)$，求向量$\vec{a}+\vec-\vec{c}$的坐標(biāo)。9.已知向量$\vec{a}=(3,-4)$，向量$\vec=(2,1)$，求向量$\vec{a}$與向量$\vec$的模長。六、應(yīng)用題要求：解答下列各題。10.在平面直角坐標(biāo)系中，點$A(1,2)$，點$B(4,5)$，點$C(7,8)$，求向量$\vec{AB}$與向量$\vec{AC}$的夾角。本次試卷答案如下：一、選擇題1.A.$(4,-2)$解析：向量加法滿足坐標(biāo)相加，所以$\vec{a}+\vec=(1+3,2-4)=(4,-2)$。2.C.$180^\circ$解析：向量$\vec{a}$與$\vec$平行，且$\vec{a}$與$\vec$的坐標(biāo)成比例，夾角為$180^\circ$。二、填空題3.$(-2,-6)$解析：向量減法滿足坐標(biāo)相減，所以$\vec{a}-\vec=(3-1,4+2)=(-2,-6)$。4.$-12$解析：向量點積公式為$\vec{a}\cdot\vec=a_1b_1+a_2b_2$，所以$\vec{a}\cdot\vec=(2)(4)+(-3)(6)=-12$。三、解答題5.投影長度為$\frac{1}{\sqrt{41}}$，投影向量為$\left(\frac{4}{\sqrt{41}},-\frac{5}{\sqrt{41}}\right)$解析：向量$\vec{a}$在$\vec$上的投影長度為$\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec|}$，所以投影長度為$\frac{(2)(4)+(3)(-5)}{\sqrt{4^2+(-5)^2}}=\frac{-12}{\sqrt{41}}$。投影向量為$\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec|}\cdot\frac{\vec}{|\vec|}=\frac{-12}{\sqrt{41}}\cdot\frac{(4,-5)}{\sqrt{4^2+(-5)^2}}=\left(\frac{4}{\sqrt{41}},-\frac{5}{\sqrt{41}}\right)$。6.向量$\vec{a}$與向量$\vec$的夾角為$\frac{3\pi}{4}$解析：向量夾角公式為$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec{a}||\vec|}$，所以$\cos\theta=\frac{(3)(2)+4(-1)}{\sqrt{3^2+4^2}\sqrt{2^2+1^2}}=-\frac{5}{\sqrt{41}\sqrt{5}}$。由于$\cos\theta$為負(fù)，夾角$\theta$在第二象限，所以$\theta=\frac{3\pi}{4}$。四、證明題7.證明：若向量$\vec{a}=(a_1,a_2)$，向量$\vec=(b_1,b_2)$，則$\vec{a}$與$\vec$垂直的充分必要條件是$a_1b_1+a_2b_2=0$。解析：證明充分性：若$\vec{a}$與$\vec$垂直，則$\vec{a}\cdot\vec=a_1b_1+a_2b_2=0$。證明必要性：若$a_1b_1+a_2b_2=0$，則$\vec{a}\cdot\vec=0$，即$\vec{a}$與$\vec$垂直。五、計算題8.向量$\vec{a}+\vec-\vec{c}=(0,-3)$解析：向量加減法滿足坐標(biāo)相加減，所以$\vec{a}+\vec-\vec{c}=(1+3,2-4)-(2,1)=(0,-3)$。9.向量$\vec{a}$的模長為$5$，向量$\vec$的模長為$\sqrt{5}$解析：向量模長公式為$|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$，所以$|\vec{a}|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5$，$|\vec|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。六、應(yīng)用題10.向量$\vec{AB}$與向量$\vec{AC}$的夾角為$\frac{\pi}{2}$解析：向量$\vec{AB}=(4-1,5-2)=(3,3)$，向量$\vec{AC}=(7-1,8-2)=(6,6)$。向量點積為$\vec{AB}\cdot\vec{AC}=(3)(6)+(3)(6)=36$，模長分別為$|\vec{AB}|=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，$|\vec{AC}|=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$。所以$\cos\theta=\frac{\vec{AB}\cdot\vec{AC}}{|\vec{AB}||\v