2025年英國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽（BMO）模擬試卷（數(shù)論基礎(chǔ)與幾何構(gòu)造綜合題）一、數(shù)論基礎(chǔ)要求：請(qǐng)根據(jù)題目要求，完成下列數(shù)論基礎(chǔ)的計(jì)算題。1.已知正整數(shù)a，b，且a+b=10，a-b=2，求a和b的值。2.設(shè)m和n是正整數(shù)，且2m+3n=11，求m和n的所有可能值。3.證明：對(duì)于任意正整數(shù)k，都有k^2+1不是完全平方數(shù)。4.求所有滿足下列條件的正整數(shù)n：3n^2-2n+1是3的倍數(shù)。5.設(shè)a，b是正整數(shù)，且a^2+b^2=100，求a+b的最小值。二、幾何構(gòu)造要求：請(qǐng)根據(jù)題目要求，完成下列幾何構(gòu)造題。1.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，-1）。求線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)。2.已知等腰三角形ABC中，AB=AC，且BC=8。求該三角形的底邊長(zhǎng)。3.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2）。求線段AB的長(zhǎng)度。4.已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6，求三角形ABC的外接圓半徑。5.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4）。求直線OA和直線OB的夾角大小。四、數(shù)論應(yīng)用要求：請(qǐng)根據(jù)題目要求，完成下列數(shù)論應(yīng)用題。1.已知正整數(shù)n，且n^2-10n+21是13的倍數(shù)，求n的所有可能值。2.設(shè)p是質(zhì)數(shù)，且p^2-3p+2是p的倍數(shù)，求p的所有可能值。3.證明：對(duì)于任意正整數(shù)n，n^3+3n是6的倍數(shù)。4.求所有滿足下列條件的正整數(shù)n：4n^2-9是7的倍數(shù)。5.設(shè)a，b是正整數(shù)，且a^2-6a+b^2-8b=19，求a+b的最小值。五、幾何證明要求：請(qǐng)根據(jù)題目要求，完成下列幾何證明題。1.證明：在任意三角形中，任意兩邊之和大于第三邊。2.證明：在等腰三角形中，底邊上的高、中線和角平分線是同一條線段。3.證明：在圓中，直徑所對(duì)的圓周角是直角。4.證明：在等邊三角形中，三條高線相交于同一點(diǎn)。5.證明：在矩形中，對(duì)角線相等。六、數(shù)論與幾何綜合要求：請(qǐng)根據(jù)題目要求，完成下列數(shù)論與幾何綜合題。1.已知正整數(shù)n，且n^2+1是某個(gè)質(zhì)數(shù)的平方，求n的所有可能值。2.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，1）。求線段AB的中垂線方程。3.設(shè)p是質(zhì)數(shù)，且p^2-4p+3是某個(gè)整數(shù)的平方，求p的所有可能值。4.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4）。求直線OA和直線OB的夾角大小。5.設(shè)正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，求三角形ABC內(nèi)切圓的半徑。本次試卷答案如下：一、數(shù)論基礎(chǔ)1.解：a+b=10，a-b=2，解這個(gè)方程組得到a=6，b=4。2.解：2m+3n=11，由于2和3互質(zhì)，所以m和n中必有一個(gè)是2的倍數(shù)，另一個(gè)是3的倍數(shù)?？赡艿慕鉃閙=2，n=3或者m=3，n=2。3.解：假設(shè)k^2+1是完全平方數(shù)，即存在整數(shù)p使得k^2+1=p^2。則p^2-k^2=1，即(p+k)(p-k)=1。由于p+k和p-k都是整數(shù)，它們的乘積為1，所以它們只能是1和1或者-1和-1。但這與p和k都是正整數(shù)矛盾，因此假設(shè)不成立，所以k^2+1不是完全平方數(shù)。4.解：3n^2-2n+1=3(n^2-(2/3)n)+1=3(n^2-2/3n+1/9)+1-1/3=3(n-1/3)^2+2/3。由于(n-1/3)^2是非負(fù)的，所以3(n-1/3)^2+2/3也是非負(fù)的，且當(dāng)n=1時(shí)取最小值0，所以3n^2-2n+1的最小非負(fù)值是2/3，因此3n^2-2n+1是3的倍數(shù)的所有正整數(shù)n為n=1。5.解：由于a^2+b^2=100，且a，b為正整數(shù)，我們可以嘗試不同的a值來(lái)找到b的最小值。當(dāng)a=6時(shí)，b=8，a+b=14，是最小值。二、幾何構(gòu)造1.解：中點(diǎn)坐標(biāo)為((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)，所以中點(diǎn)坐標(biāo)為((1+4)/2,(3+(-1))/2)=(2.5,1)。2.解：由于AB=AC且BC=8，所以AC也是8，所以三角形ABC是等邊三角形，底邊長(zhǎng)也是8。3.解：線段長(zhǎng)度公式為√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)，所以AB的長(zhǎng)度為√((0-2)^2+(2-0)^2)=√(4+4)=√8=2√2。4.解：等邊三角形的外接圓半徑是邊長(zhǎng)的√3/3倍，所以半徑是6√3/3=2√3。5.解：直線OA的斜率是0，所以O(shè)A是水平線。直線OB的斜率是-2，所以O(shè)B是下降的直線。夾角大小可以通過(guò)反正切函數(shù)計(jì)算得到，所以?shī)A角是arctan(-2)。四、數(shù)論應(yīng)用1.解：n^2-10n+21=13k，可以重寫(xiě)為(n-5)^2+4=13k，這意味著(n-5)^2必須是13的倍數(shù)減去4。由于4不是13的倍數(shù)，所以(n-5)^2必須是13的倍數(shù)，所以n-5=13m或者n-5=-13m，解得n=13m+5或者n=-13m+5。2.解：p^2-3p+2=p(p-3)+2，由于p是質(zhì)數(shù)，所以p-3不能是2的倍數(shù)，因此p必須是2的倍數(shù)。所以p=2或者p=6，但是6不是質(zhì)數(shù)，所以p=2。3.解：n^3+3n=n(n^2+3)，由于n是正整數(shù)，n^2+3也是正整數(shù)，所以n(n^2+3)是6的倍數(shù)。4.解：4n^2-9=7k，可以重寫(xiě)為(2n+3)(2n-3)=7k，這意味著2n+3和2n-3中一個(gè)是7的倍數(shù)，另一個(gè)是1的倍數(shù)?？赡艿慕鉃閚=1或者n=4。5.解：a^2-6a+b^2-8b=19可以重寫(xiě)為(a-3)^2+(b-4)^2=22，這意味著a-3和b-4的平方和是22。由于a和b是正整數(shù)，所以a-3和b-4可以是1和√21，或者-1和-√21。解得a=4，b=8或者a=2，b=0。五、幾何證明1.解：這是三角形的基本性質(zhì)，任意兩邊之和大于第三邊。2.解：等腰三角形的底邊上的高、中線和角平分線相交于底邊的中點(diǎn)，因此它們是同一條線段。3.解：圓周角定理表明，圓周角是其所對(duì)圓心角的一半，而圓心角是直角，所以圓周角是90度。4.解：等邊三角形的三條高線相交于同一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就是三角形的重心，也是外接圓的圓心。5.解：矩形的對(duì)角線相等，因?yàn)榫匦蔚膶?duì)邊相等且平行。六、數(shù)論與幾何綜合1.解：n^2+1是質(zhì)數(shù)的平方，所以n^2是質(zhì)數(shù)減去1。由于質(zhì)數(shù)是奇數(shù)，質(zhì)數(shù)減去1是偶數(shù)，所以n^2是偶數(shù)，n是偶數(shù)。可能的解為n=2或者n=-2。2.解：中垂線的斜率是AB斜率的負(fù)倒數(shù)，所以斜率是-1/(-2)=1/2。中點(diǎn)坐標(biāo)是(2.5,1)，所以中垂線的方程是y-1=(1/2)(x-2.5)。3.解：p^2-4p+3是整數(shù)的平方，可以重寫(xiě)為(p-2)^2+1=整數(shù)^2，這意味著(p-2)^2