T8聯(lián)考2024屆高三第二次學(xué)業(yè)質(zhì)量評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)試題一、選擇題要求：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{2}x^2-3x+2$，則函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是：A.$x=1$B.$x=2$C.$x=-1$D.$x=-2$2.若等差數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_1=3$，$a_4=9$，則公差$d$為：A.2B.3C.4D.63.已知圓的方程為$x^2+y^2-4x-6y+9=0$，則該圓的半徑為：A.1B.2C.3D.44.若直線$y=2x+1$與圓$x^2+y^2=4$相切，則切點(diǎn)坐標(biāo)為：A.$(1,3)$B.$(-1,1)$C.$(1,-1)$D.$(-1,-3)$5.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4$，則$f'(1)$的值為：A.2B.-2C.3D.-36.若向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec=(4,-2)$，則$\vec{a}+\vec$的坐標(biāo)為：A.$(6,1)$B.$(6,-1)$C.$(-6,1)$D.$(-6,-1)$7.已知數(shù)列$\{a_n\}$為等比數(shù)列，且$a_1=2$，$a_2=4$，則公比$q$為：A.1B.2C.4D.$\frac{1}{2}$8.若直線$y=3x+2$與曲線$y=\sqrt{x}$相交于點(diǎn)$(x_0,y_0)$，則$x_0$的值為：A.1B.2C.3D.49.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，則$f'(0)$的值為：A.0B.1C.-1D.不存在10.若數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n=n^2+2n$，則$a_1$的值為：A.3B.4C.5D.6二、填空題要求：本大題共10小題，每小題5分，共50分。把答案填寫(xiě)在題中的橫線上。1.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_1=2$，公差$d=3$，則$a_5$的值為_(kāi)_______。2.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4$，則$f'(1)$的值為_(kāi)_______。3.若直線$y=2x+1$與圓$x^2+y^2=4$相切，則切點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______。4.已知向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec=(4,-2)$，則$\vec{a}+\vec$的坐標(biāo)為_(kāi)_______。5.已知數(shù)列$\{a_n\}$為等比數(shù)列，且$a_1=2$，$a_2=4$，則公比$q$為_(kāi)_______。6.若直線$y=3x+2$與曲線$y=\sqrt{x}$相交于點(diǎn)$(x_0,y_0)$，則$x_0$的值為_(kāi)_______。7.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，則$f'(0)$的值為_(kāi)_______。8.若數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n=n^2+2n$，則$a_1$的值為_(kāi)_______。9.已知圓的方程為$x^2+y^2-4x-6y+9=0$，則該圓的半徑為_(kāi)_______。10.若函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$在$x=0$處的導(dǎo)數(shù)存在，則________。三、解答題要求：本大題共3小題，共60分。1.（本小題共20分）已知等差數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_1=3$，公差$d=2$，求：（1）求證：數(shù)列$\{a_n\}$是遞增數(shù)列；（2）求$\{a_n\}$的前10項(xiàng)和$S_{10}$。2.（本小題共20分）已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4$，求：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$；（2）求函數(shù)$f(x)$在$x=1$處的切線方程。3.（本小題共20分）已知直線$y=2x+1$與圓$x^2+y^2=4$相切，求：（1）求切點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求切線方程。四、解答題要求：本大題共3小題，共60分。4.（本小題共20分）已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足遞推關(guān)系$a_{n+1}=2a_n+1$，且$a_1=1$，求：（1）證明數(shù)列$\{a_n\}$是遞增數(shù)列；（2）求$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$。五、解答題要求：本大題共3小題，共60分。5.（本小題共20分）已知函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+9x$，求：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$；（2）求函數(shù)$f(x)$在$x=2$處的切線方程。六、解答題要求：本大題共3小題，共60分。6.（本小題共20分）已知直線$y=3x-5$與拋物線$y=x^2-4x+4$相交于點(diǎn)$A$和$B$，求：（1）求點(diǎn)$A$和$B$的坐標(biāo)；（2）求線段$AB$的中點(diǎn)坐標(biāo)。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：對(duì)稱(chēng)軸的公式為$x=-\frac{2a}$，其中$a$是$x^2$的系數(shù)，$b$是$x$的系數(shù)。對(duì)于$f(x)=\frac{1}{2}x^2-3x+2$，有$a=\frac{1}{2}$，$b=-3$，代入公式得$x=-\frac{-3}{2\times\frac{1}{2}}=2$。2.B解析：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$是首項(xiàng)，$d$是公差。由題意得$a_4=a_1+3d=9$，$a_1=3$，代入得$3+3d=9$，解得$d=2$。3.B解析：將圓的方程$x^2+y^2-4x-6y+9=0$配方得$(x-2)^2+(y-3)^2=2^2$，所以半徑$r=2$。4.B解析：直線與圓相切的條件是直線到圓心的距離等于圓的半徑。直線$y=2x+1$的斜率為2，所以垂線的斜率為$-\frac{1}{2}$，垂線方程為$y=-\frac{1}{2}x+b$。將點(diǎn)$(0,0)$代入得$b=0$，所以垂線方程為$y=-\frac{1}{2}x$。聯(lián)立方程組$$\begin{cases}y=2x+1\\y=-\frac{1}{2}x\end{cases}$$解得$x=-1$，$y=1$，即切點(diǎn)坐標(biāo)為$(-1,1)$。5.A解析：函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4$的導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=3x^2-6x$，代入$x=1$得$f'(1)=3-6=-3$。6.A解析：向量加法的坐標(biāo)表示為$(a+b,c+d)$，所以$\vec{a}+\vec=(2+4,3-2)=(6,1)$。7.B解析：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為$a_n=a_1q^{n-1}$，其中$a_1$是首項(xiàng)，$q$是公比。由題意得$a_2=a_1q=4$，$a_1=2$，代入得$q=2$。8.A解析：直線$y=3x+2$與曲線$y=\sqrt{x}$相交，即$3x+2=\sqrt{x}$。平方兩邊得$9x^2+12x+4=x$，整理得$9x^2+11x+4=0$，解得$x=1$。9.C解析：函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$的導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}$，代入$x=0$得$f'(0)=-\frac{0}{1}=0$。10.A解析：數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n=n^2+2n$，則$a_1=S_1=1^2+2\times1=3$。二、填空題1.11解析：由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式$a_n=a_1+(n-1)d$，代入$a_1=2$，$d=3$，$n=5$得$a_5=2+4\times3=11$。2.-3解析：由函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)=3x^2-6x$，代入$x=1$得$f'(1)=3-6=-3$。3.(-1,1)解析：由第四題解析可知切點(diǎn)坐標(biāo)為$(-1,1)$。4.(6,1)解析：由向量加法的坐標(biāo)表示，$\vec{a}+\vec=(2+4,3-2)=(6,1)$。5.2解析：由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式$a_n=a_1q^{n-1}$，代入$a_1=2$，$a_2=4$得$q=2$。6.1解析：由第八題解析可知$x_0=1$。7.0解析：由第九題解析可知$f'(0)=0$。8.3解析：由第十題解析可知$a_1=3$。9.2解析：由第三題解析可知圓的半徑為2。10.$x^2+1\neq0$解析：函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$在$x=0$處的導(dǎo)數(shù)存在，則分母$x^2+1$在$x=0$處不等于0。三、解答題1.（本小題共20分）（1）證明：由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式$a_n=a_1+(n-1)d$，代入$a_1=3$，$d=2$得$a_n=3+(n-1)\times2=2n+1$。因?yàn)?n$是正整數(shù)，所以$2n+1$隨$n$增大而增大，即數(shù)列$\{a_n\}$是遞增數(shù)列。（2）求$S_{10}$：由等差數(shù)列的前$n$項(xiàng)和公式$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，代入$a_1=3$，$a_{10}=2\times10+1=21$，$n=10$得$S_{10}=\frac{10}{2}(3+21)=120$。2.（本小題共20分）（1）求$f'(x)$：由函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+9x$的導(dǎo)數(shù)公式$f'(x)=3x^2-12x+9$。（2）求切線方程：由$f'(x)=3x^2-12x+9$，代入$x=2$得$f'(2)=3\times2^2-12\times2+9=-3$。切點(diǎn)坐標(biāo)為$(2,f(2))=(2,2^3-6\times2^2+9\times2)=(2,-2)$。切線方程為$y-f(2)=f'(2)(x-2)$，代入$f(2)=-2$，$f'(2)=-3$得$y+2=-3(x-2)$，即$3x+y-4=0$。3.（本小題共20分）（1）求切點(diǎn)坐標(biāo)：由第五題解析可知切點(diǎn)坐標(biāo)為$(-1,1)$。（2）求切線方程：切線方程為$y-f(-1)=f'(-1)(x-(-1))$，由$f(x)=x^3-6x^2+9x$，代入$x=-1$得$f(-1)=-1^3-6\times(-1)^2+9\times(-1)=-2$。由$f'(x)=3x^2-12x+9$，代入$x=-1$得$f'(-1)=3\times(-1)^2-12\times(-1)+9=24$。代入切點(diǎn)坐標(biāo)得$y+2=24(x+1)$，即$24x-y+22=0$。四、解答題4.（本小題共20分）（1）證明：由遞推關(guān)系$a_{n+1}=2a_n+1$，得$a_{n+1}-1=2(a_n-1)$。令$b_n=a_n-1$，則$b_{n+1}=2b_n$，所以數(shù)列$\{b_n\}$是公比為2的等比數(shù)列，且$b_1=a_1-1=1-1=0$。因?yàn)榈缺葦?shù)列$\{b_n\}$是遞增數(shù)列，所以數(shù)列$\{a_n\}$是遞增數(shù)列。（2）求$S_n$：由$a_{n+1}=2a_n+1$，得$a_n=2a_{n-1}+1$。所以$S_n=a_1+(a_2+a_3)+\ldots+(a_{n-1}+a_n)=a_1+2(a_2+a_3)+\ldots+2^{n-2}(a_{n-1}+a_n)$。將$a_{n+1}=2a_n+1$代入上式得$S_n=a_1+2(a_2+a_3)+\ldots+2^{n-2}(a_{n-1}+2a_n+1)$。整理得$S_n=\frac{a_1(1-2^n)}{1-2}+\frac{2^{n-1}}{1-2}=\frac{a_1(1-2^n)+2^{n-1}}{1-2}=\frac{a_1-2^{n+1}+2^{n-1}}{1-2}=\frac{a_1-2^n}{1-2}+2^{n-1}=a_1+2^{n-1}-2^n$。五、解答題5.（本小題共20分）（1）求$f'(x)$：由函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+9x$的導(dǎo)數(shù)公式$f'(x)=3x^2-12x+9$。（2）求切線方程：由$f'(x)=3x^2-12x+9$，代入$x=2$得$f'(2)=3\times2^2-12\times2+9=-3$。切點(diǎn)坐標(biāo)為$(2,f(2))=(2,2^3-6\times2^2+9\times2)=(2,-2)$。切線方程為$y-f(2)=f'(2)(x-2)$，代入$f(2)=-2$，$f'(2)=-3$得$y+2=-3(x-2)$，即$3x+y-4=0$。六、解答題6.（本小題共20分）（1）求點(diǎn)$A$和$B$的坐標(biāo)：將直線$y=3x-5$代入拋物線$y=x^2-