習題解答

第一章自動控制原理概述

思考題

1-1自動控制，就是在沒有人直接參與的情況下,采用物理裝置對生產設備或(和)工藝

過程進行自動的調節(jié)與合理控制，使之按照一定的期土變化。

1-2開環(huán)控制是一種最簡單的控制方式,其特點是輸入量對輸出量之間只有星方向的控

制作用，即輸出量.沒有參與系統(tǒng)的控制。

1-3閉環(huán)控制系統(tǒng),通過將檢測出來的輸出量送回系統(tǒng)的輸入端，并與輸入信號比較形成

回路，形成輸出量參與系統(tǒng)的控制以具有反饋的機制。

1-4簡述控制系統(tǒng)基本組成中反饋環(huán)節(jié)、比較環(huán)節(jié)的作用？

答：反饋環(huán)節(jié)是用于檢測輸出最，如，電熱爐實際輸出溫度，并將其轉換為與給定最具有相

同物理量綱和數(shù)量級相同的量。比較環(huán)節(jié)是將所檢測的輸出量與參考輸入進行比較，確定

兩者之間的偏差量。比較環(huán)節(jié)中窗頭上的符號表示在此相加或相減。

1-5按輸入量變化的規(guī)律分類，自動控制系統(tǒng)可以分為哪些類？

答：恒值控制系統(tǒng)、隨動控制系統(tǒng)、過程控制系統(tǒng)

1-6對控制系統(tǒng)的基本性能要求都有哪些？

答：穩(wěn)定性、準確性、快速性

1-7分析我國南方夏季居室溫度空調系統(tǒng)中何為參考輸入？何為輸出？

答：期望的居室溫度，也就是設定的居室溫度為參考輸入。輸出為實際居室的溫度。

1-8對控制系統(tǒng)進行數(shù)字仿真實驗的意義是什么？

答：控制系統(tǒng)數(shù)字仿真實驗不僅可以在理論學習階段能夠方便、有效地輔助學習者對自動控

制原理相關概念和問題的認識和理解，后續(xù)實際工作中對于加速控制系統(tǒng)試驗研制進程也是

非常有意義的。

第二章線性系統(tǒng)的數(shù)學模型

思考題

2-1傳遞函數(shù)是在拉普拉斯變換基礎上引申出來的復數(shù)域數(shù)學模型。

2-2令傳遞函數(shù)分母多項式;等于零，求得的復數(shù)域根就是系統(tǒng)的極點。

2-3環(huán)節(jié)的并聯(lián)其特點是多個環(huán)節(jié)的具有輸入星，而以各環(huán)節(jié)的輸出量的代數(shù)和作

為總輸出量。

2-4系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)就等于幽通道傳遞函數(shù)與反饋通道傳遞函數(shù)的乘積

2?5什么是傳遞函數(shù)？定義傳遞函數(shù)的前提條件是什么？

答：線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是指在初始條件為零時，系統(tǒng)輸出量的拉普拉斯變換與輸入量

的拉普拉斯變換之比。線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)定義的前提條件是初始條件為零。初始條件為

零可以從兩方面進行理解：是指輸入信號是在/=()以后才作用丁系統(tǒng)，因此，系統(tǒng)輸入量

及其各階導數(shù)在f40時均為零；二是指輸入信號作用于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)是“相對靜止”的，

即系統(tǒng)輸出量及各階導數(shù)在ZW0時的值也為零。初始條件為零的規(guī)定不僅能簡化運算，而且

有利于在同等條件下比較系統(tǒng)的性能，所以，這樣的規(guī)定是必要的。

2-6在自動控制系統(tǒng)中，常見的數(shù)學模型有哪些？

答：微分方程、傳遞函數(shù)、頻率特性和脈沖傳遞函數(shù)是自動控制系統(tǒng)中常見的數(shù)學模型。

2-7自動控制系統(tǒng)有哪些典型環(huán)節(jié)？它們的傳遞函數(shù)是什么樣的？

答：比例環(huán)節(jié)，02=K；積分環(huán)節(jié)，^=-；慣性環(huán)節(jié)，空1=-!一；理想微分環(huán)節(jié)，

R(s)R(s)TsR(s)rs+\

92=KS；振蕩環(huán)節(jié)，—一"——7；延遲環(huán)節(jié)，必=65。

R(s)火(s)s~+2^(t)ns+co；R(s)

2-8控制系統(tǒng)結構圖的組成要素有哪些？系統(tǒng)結構圖有哪兒種基本連接方式？

答：控制系統(tǒng)結構圖的組成要素有四項：

(1)方框，用于表示系統(tǒng)或環(huán)節(jié)輸入量和輸出量的關系，通常將對應的傳遞函數(shù)放入方

框內，表示輸出量等于輸入量與方框內傳遞函數(shù)的乘積。

(2)信號線，表示信號的流向，是一個用箭頭表示方向的直線。

(3)比較點，又稱綜合點、求和點，表示多個信號之間進行代數(shù)加運算后得到一個新的

變量。

(4)引出點，表示信號引出的位置，從同一點引出的信號相同。

控制系統(tǒng)結構圖有三種基本連接方式，分別為：環(huán)節(jié)的串聯(lián)、環(huán)節(jié)的并聯(lián)和反饋連接。

2-9寫出梅遜公式的表達式，并對公式中的符號進行簡要說明。

型“

答：梅遜公式的表達式為G(s)=上----

A

式中：〃表示從源節(jié)點到匯節(jié)點，前向通道的個數(shù)；A表示從源節(jié)點到匯節(jié)點，第A條前向

通道的傳輸；△稱為信號流程圖的特征式，其表達式為A=i-Zzn+Z&-Z&+…o

這里，為系統(tǒng)中各個回路的傳輸之和；Z4為系統(tǒng)中任何兩個不接觸回環(huán)的傳輸乘積

之和；為系統(tǒng)中任何三個不接觸回環(huán)的傳輸乘枳之和；同理，有為系統(tǒng)中任何加

個不接觸回環(huán)的傳輸乘積之和?！胺Q為第攵條前向通道的特征式的余子式。即在確定笫人條

前向通道后，從特征式△中劃掉與第七條前向通道有公共節(jié)點接觸的回路后，余下的部分。

習題

2-10初始條件均為零的前提下,己知線性定常系統(tǒng)的微分方程如下,其中力)、9)分別表

示系統(tǒng)的輸入和輸出，試求對應系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

(1)6華+3以,)=2皿+3?)

drdtdt

(2)史華+2生￡+5CQ)=?)

dtdr

答：(l)兩端同時進行拉普拉斯變換，652c($)+??($)+(?($)=2向s)+3R(.s)

求得對應的傳遞函數(shù)為8一至±3

R(s)6.S-+5+1

(2)兩端同時進行拉普拉斯變換，JC(s)+2s2c(s)+5C⑸=R(s)

求得對應的傳遞函數(shù)為必=,二

R(s)$3+2S“+5

2-11試求如題圖所示網絡的傳遞函數(shù)，并指出包含的典型環(huán)節(jié)，其中％為輸入，〃.為輸出。

答：（a）依據運算放大器的虛短和續(xù)斷特性，有%=_＜也應，進而兩端同時取拉普拉斯

R、dt

變換有幺0=一_包含有比例環(huán)節(jié)和積分環(huán)節(jié)。

4G）Rgs

（b）依據運算放大器的虛短和續(xù)斷特性，有殳他=Y皿一幽，進而兩端同時取拉

R2dt/?,

普拉斯變換有需=-（CRs+點），包含比例環(huán)節(jié)和理想微分環(huán)節(jié)，進一步可以認為這兩個

環(huán)節(jié)共同構成一個一階比例微分環(huán)節(jié)。

2-12已知控制系統(tǒng)的結構圖題圖所示，試通過結構圖的等效變換求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)毀。

答：（a）第一個比較點向輸出方向移動，有

化簡整理，得

進一步求得系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

C(s)二〔6(5)+G3⑶叵(s)

而—l+G(s)G(s),(s)

(b)由圖可知G?⑶和G,(s)并聯(lián)，有

進一步求得系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

[G($)+—)]-—)

C(s)=________1+[G(S)+G(S)]，2(S)_________=[G($)+G3($)]G(S)

而一]?[G|(s)+G3(s)g(s)與⑶-l+[G(s)+G式s)]H,(s)+G(s)H[(s)

1+1G,(^)+G.(S)\H2(5)'IG,(5)+Gy(5)1

2-13已知控制系統(tǒng)的結構如題圖所示，試求取

(1)擾動N($)=0,設定系統(tǒng)輸入為R($),輸出CG)時，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)也;

RG)

(2)R(s)=O,設定系統(tǒng)輸入為N(s),輸出C(s)時，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)生

N(s)

圖2-21

解：(1)對應的系統(tǒng)結構圖為

G?G）

G,（s）

⑻G?⑻_________

則a

G2G）1+G2（S）〃2（S）+G/S）G2（S）M（S）

1+G（s）Hj（s）

1+G2（.V）H,（5）

(2)對應的系統(tǒng)結構圖為

這種情況下，前向通道傳遞函數(shù)為]⑴，反饋通道的傳遞函數(shù)為G(S)[-H|(S)],

這里的號是在比較環(huán)節(jié)處做差，由于R(s)=O,等價傳遞而來。即，G|(s)的輸入等于

輸出乘以必⑸再乘以這種情況下，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

G2(S)

C(s)二______l+G?")”示)_____________________________

A(s)]Gz(s)”(工)1l+G,(s)〃,G)+GKs)G(s)〃[(s)

A

\+G2(S)H2(S)'

2-14已知控制系統(tǒng)的信號流程圖如題圖所示，試使用梅遜公式求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)也。

R(s)

解：由圖可知，該信號流圖共有兩條前向通道即

〃=2

第一條前向通道的傳輸為p,=acegi

第二條前向通道的傳輸為P2=kgi

信號流圖共有6個回路，不同回環(huán)的傳輸之和為

Z4=ab+cd+ef+gh+ij+kfdb

信號流圖含有兩兩互不接觸回路的傳輸增益乘積之和為

ZL?=abef+ahgh4-abij+cdgh+cdij4-efij+kfdbij

信號流圖含有每三個互不接觸回路的傳輸增益乘積之和為

￡L、=abefij

第一條前向通道與所有回環(huán)均有接觸，所以

4=1

第二條前向通道與回環(huán)〃不接觸，所以

A2=1-cd

應用梅遜公式計算給定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

G(s)=＞尊二

+Z&

=(acegi+kgi-kgicd)/

[1-(ah+cd+ef+gh+ij++{abef+ahgh+abij+cdgh+cdij+efij+Irfhdij)-ahefij]

第三章線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)特性分析

思考題

3」線性控制系統(tǒng)在擾動影響下，若其動態(tài)過程隨時間的推移上數(shù)邃鼠，不能回到原來的

平衡狀態(tài),則稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

3-2線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為：系統(tǒng)傳遞函數(shù)的全部極點具有_23」。也就

是說系統(tǒng)所有極點均位于復數(shù)S平面的左半部。

3-3已知單位負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)==一，則此系統(tǒng)類型為1型，系統(tǒng)的

5(5+3)

階數(shù)為系統(tǒng)的開環(huán)極點為豈-、_z3_,系統(tǒng)的閉環(huán)極點為，、工。

3-4線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性與哪些因素有關？

答:線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性與無外界輸入無關，是系統(tǒng)的固有特性，僅取決于系統(tǒng)的結構和參數(shù)，

與初始條件也無關。

3-5如何減小線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差？

答：通過增大升壞增益、提高系統(tǒng)的類型叫以減小線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差值，但這他項措

施使用時需要注意與保持系統(tǒng)穩(wěn)定性的限制約束之間存在的矛盾關系。必要時可以通過在控

制系統(tǒng)中設置額外的補償裝置以減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度，提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。

習題

3-6已知系統(tǒng)的特征方程為。($)=3/+%3+5$2+2$+3=0,試用勞斯穩(wěn)定判據判別系統(tǒng)的

穩(wěn)定性。

答：列勞斯表

353

/92

1390

51-5500

5°9

由勞斯表可知，第一列存在兩次變號，I3--55->9,因此系統(tǒng)不穩(wěn)定，在復數(shù)s平

面的右半部存在兩個具有正實部的特征根。

3-7已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=*^—,試確定系統(tǒng)穩(wěn)定時的K值

5(5+3)(5+2)

范圍。

解：依據已知條件可知，系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為Q(S)=J+5S2+(6+2K)$+K=0

列勞斯表

$3|6+2K

5K

,30+9K

5

,0K

系統(tǒng)穩(wěn)定要求對應勞斯表第一列不變號，可知滿足K>0即可。

3-8已知控制系統(tǒng)結構如題圖3-8所示，試用勞斯穩(wěn)定判據確定系統(tǒng)穩(wěn)定時反饋參數(shù)『的取

值范圍。

題3-8圖

C(s)12(25+1)

解：由題圖求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為:

R⑸-.y3+(2+12r).r+24.V+12

系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為：D(s)=/+(2+12r)?+24,$+I2=0

列勞斯表

124

2+12712

18+24X6T

1+6。

12

系統(tǒng)穩(wěn)定要求對應勞斯表第一列不變號，可知滿足r>0即可。

3-9已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下式所示，對應的給定輸入信號分別為

「⑺=3」⑺+5，+9時,試求控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差.

r(/)=1(/)+3/、r(/)=5t+2r

50050(s+l)

(1)G(s)=(2)G(s)=

5(5+5)(5+10)5(0.55+1)(5+10)

10(s+2)

(3)G(s)=

.v(.v2+25+10)

解：（1）由已知條件可知

|3

------+—=0+0.3=03

1+3K,

5(X)

K=limG(s)=lim

pi-M).v->0s(s+5)(s+10)

5(Y)

Kv=lim$G($)=lim,y------......=10

-'-*02。5(,V+5)(5+10)

544

=---+----=1+—=co

5Ka0

pr、v50(5+1)

K?=hmsG(s)=hm.v-----------------=5

ST。75(0.55+1)(5+10)

50(5+1)

Ka=Iim?G(5)=lim?————=0

STO,_>OS(0.5S+1)(S+10)

③「上+￡+,=0+*+Loo

1+KpKvKa20

PC、r10(s+2)

Kn=limG(5)=lim——---------------=8

p'f。+2s+10)

pi-c、i-10(5+2)

K、=hmsG(s)=11ms——；--------------=2

ST。S(S~+25+10)

.r..2z-，z\,10(S+2)_

K,,=hm.vG(.s)=lim.y—；--------------=0

…$_>0S(S~+2,v+10)

3-io已知單位負反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為必=——試確定系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞

R(s)5~+35+9

函數(shù)G(s)和給定誤差傳遞函數(shù)中,(s),并求出系統(tǒng)在單位斜坡函數(shù)輸入下的給定穩(wěn)態(tài)誤差。

C(5)9G(s)

解:=>G(s)(s2+35+9)=911+G(s)1

R(s)$2+3$+91+G(s)

o

進一步整理得G(s)==0

s~+3s

E(s)1s2+3$

依據定義，給定誤差傳遞函數(shù)0⑸

R(s)l+G(s)/+3s+9

<24a《

可知，E(5)=———/?(5)

s+3s+9

c2+3s1

/=limsE(s)=Iim.sO.(v)/?(.?)=lim.v—-------------=0

5.io…s~+3$+9$

3-11已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下式所示，試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)KP、

穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)r、穩(wěn)態(tài)加速度誤差系數(shù)K.。

…、~、500⑵G⑸J0(：+2)(0.2S+I)

(I)G(s)=------------------

(5+5)($+10)52G2+3s+3)

解：(1)依據定義有

5()0

K=limG(s)=lim—————=10

PnI。ST0(s+5)($+10)

“r?、..500八

K=hmsG(s)=lim.y------------------=()

v$5(.v+5)(.y+10)

K=lims2G(s)=lim.v2-----------------=0

a5.JO(S+5)(.v+10)

(2)

10(.?+2)(0.25+1)

=limG(s)=lim

ATO.t-?0s2(s2+3s+3)

10(5+2)(0.25+1)

K=limsG(s)=lim.y

5->0STO一(『+3s+3)

叱2i、10(5+2)(0.25+1)20

K=hm$-G(s)=hrms-2,,------=一

“a…2。$2(233)3

第四章線性系統(tǒng)的動態(tài)特性時域分析

思考題

4-1為了定量評價控制系統(tǒng)動態(tài)性能指標的優(yōu)劣，依據系統(tǒng)的單位階躍響應曲線定義了上升

時間、峰值時間、最大超調量、調節(jié)時間等性能指標。

4-2當二階系統(tǒng)的阻尼比為0〈乙＜1時，對應系統(tǒng)特征根分布在復數(shù)s平面的左半部分。

4-3什么是的主導極點？高階系統(tǒng)包含主導極點對系統(tǒng)的分析與設計有什么意義？

答：如果高階系統(tǒng)中距離虛軸最近的極點，其實部比其他極點的實部的1/5還要小，并且該

極點附近沒有零點，則可以認為系統(tǒng)的響應主要由該極點決定。這些對系統(tǒng)響應起主導作用

的極點，稱為系統(tǒng)的主導吸點。對于高階系統(tǒng)，如果找到?對共挽狂數(shù)主導極點，則高階系

統(tǒng)就可以近似地當作二階系統(tǒng)來分析，并可以用二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標來估算高階系統(tǒng)的

動態(tài)特性。在設計一個高階系統(tǒng)的時候，常利用主導極點這一概念選擇系統(tǒng)參數(shù)，使系統(tǒng)具

有預期的一對共擾復數(shù)主導極點，這樣就可以近似地用二階系統(tǒng)的性能指標來設計系統(tǒng)。

4-4什么是偶極子？

答：工程實際中，蘭某個極點和某個零點間距很近，它們之間的距離比它們到虛軸的

距離小于一個數(shù)量級時，稱這對零、極點為偶極子。極端情況下，若一對零極點重合，則

該極點對控制系統(tǒng)暫態(tài)響應無影響。

習題

4-5已知系統(tǒng)的單位脈沖響應，試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

(1)c⑴=0.2/

(2)c(r)=0.2e-3/+0.6^5/

解：(1)已知系統(tǒng)輸入為單位脈沖函數(shù)，則對應的拉普拉斯反變換為R(s)=l,同理，輸出

C⑸二腎，進而求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為需二旨。

⑵已知系統(tǒng)輸入為單位脈沖函數(shù)，則對應的拉普拉斯反變換為R(s)=l,同理，輸出

0.20.60.8.S+1.9，進而求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為黑=成捻

C(5)=-------1----------=--------------------

5+35+0.5(s+3)(s+0.5)

4-6已知控制系統(tǒng)的單位階躍響應為6(/)=1+0.5-如-1.5/°,，試確定⑴系統(tǒng)的單位脈沖響

應。(2)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，(3)系統(tǒng)的阻尼比和無阻尼自然震蕩角頻率綜。

解：(I)對于線性系統(tǒng)，由于單位脈沖響應是單位階躍響應的導數(shù)，可以求得

以/)=一15-初+15"|°'；

⑵方法一：系統(tǒng)單位脈沖響應的拉普拉斯反變換就是系統(tǒng)的傳遞函數(shù)求得

C(s)1515=300.

~R(s)~s+\0~s+30~(s+\0)(5+30)5

方法二：單位階躍響應的輸入信號的拉普拉斯變換為R(s)=1,單位階躍響應為

s

C(s)='+0.51.5300

則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

55+305+105(5+10)(5+30)

C(s)300300

瓦3-(s+10)(s+30)一$2+40s+300'

(3)面=300=4=106=17.3,加,=40=4=型=1.16。

4-7已知二階系統(tǒng)的單位階躍響應為c(f)=1-1.25/"sin1l6+53.1)試確定⑴系統(tǒng)阻尼比的

范圍。(2)系統(tǒng)的最大超調量為多少？(3)系統(tǒng)特征根的實部、虛部為多少？(4)系統(tǒng)的

阻尼比和無阻尼自然震蕩角頻率”。(5)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)￡應。

R(s)

答：(1)定性地分析可知系統(tǒng)為欠阻尼二階系統(tǒng)，因此阻尼比的范圍

(2)由Q=arccosC得&<=0.6帶入計算公式有，=e"xlOO%=9.5%。

(3)系統(tǒng)特征根的實部為-1.2,虛部為±1.6。

(4)由。=2「80$,,得出7=0.6,對應地，牡=1.2/0.6=2。

(5)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)92=-5—

R(s)?+2.45+4

4-8已知控制系統(tǒng)如題圖所示，試著分析(1)無反饋環(huán)節(jié)”⑸時系統(tǒng)的動態(tài)性能指標和

r,o(2)反饋環(huán)節(jié)為比例微分"(s)=0.216s時，系統(tǒng)的動態(tài)性能指標Mp和小

10中)

—一s(s+l)

-------H3--------

題4-8圖

解：(1)無反饋環(huán)節(jié)H⑶射系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

c(5)10

R(s).F+s+10

求得對應的q=加，<=0.158o

對應計算M,=ekX1OO%=72.7%,rv(5%)=—=6.y,乙(2%)=’-=85.

gg

(2)反饋環(huán)節(jié)為比例微分HG)=0.216s系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

C(s)二10

R(s)d+3.16s+10

求得對應的=3.16n，=0.5。

對應計算M，=e戶xl00%=16.3%,rs(5%)=—=1.95,4(2%)=2=2.53s。

初3.

4-9已知單位負反饋二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=—空—,其單位階躍響應如題圖

6($+2g)

所示，其中最大超調量M,=9.6%,(=0.2s(5%誤差帶)。試著寫出(1)系統(tǒng)的阻尼比〈和

無阻尼自然震蕩角頻率七。(2)該系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)山。

R(s)

題4-9圖

解?：(1)依據超調量定義以及計算公式可知

c(l〃)-c(8)x]00%=e向xioo%=9.6%,求得，=0.6

0C3)

33

((5%)=—=——=0.25,求得(on-25

g0.64

(2)C(.y)_625

瓦3-$2+30S+625

4-10已知控制系統(tǒng)結構圖如題圖所示，依據系統(tǒng)的單位階躍響應的峰值時間。=0.75$,輸

出穩(wěn)態(tài)值為2,試求出系統(tǒng)對應的參數(shù)K、

題4-10圖

解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

2K,冠—,二K,279

R(s)s~+2sts+0:s~+as+27.9

參數(shù)K相當于將系統(tǒng)輸出響應曲線放大K倍.輸出穩(wěn)態(tài)值為2,因此K=2。

con=V27^9=5.28,C=—=/兀、—=0.75s=>0=0.46

4=2血=4.858。

第五章線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)特性分析

思考題

5?1慣性環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性漸近線低頻段的斜率為0,經過轉折頻率后的高頻段斜率為

-20dB/deco

5-2對數(shù)幅頻特性漸近線在低頻段為0,小的典型環(huán)節(jié)有慣性環(huán)節(jié)、?階比例環(huán)節(jié)、

振蕩環(huán)節(jié)等。

5-3最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)的差異是什么？

答：依據傳遞函數(shù)定義進行分析：復數(shù)s平面的右半部是否具有極點和零點、純時間延遲特

性，具有為非最小相位系統(tǒng)，否則是最小相位系統(tǒng)。此外，對數(shù)幅頻特性與相頻特性之間的

是否具有一一對?應的關系也是差異，與具有相同幅頻特性的非最小相位系統(tǒng)相比，最小相位

系統(tǒng)的相位變化量總小于非最小相位系統(tǒng)的相位變化量。

5-4簡述繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性漸近線的步驟有哪些？

答：詳見教材，略

5-5分析、推導輔助函數(shù)&s)=l+G(s)”(s)的零點、極點與開環(huán)傳遞函數(shù)極點和閉環(huán)傳遞

函數(shù)極點的關系。

答：詳見教材，略

習題

5-6已知某負反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為8=3-,試求當系統(tǒng)的給定輸入信號為(1)

R(s)s+1

r(0=sin(2r+30)；(2)巾)=2sin(3f-45)時,系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量。

答：依據頻率特性的概念，A(co)=.6,^(69)=-arctan69

二卡，^(2)=-arctan2=-63.4,進而c(f)⑵-33.4)

(1)M=2,=A(2)

—,^(3)=-arctan3=-71.56，進而c(f)=^J^sin(3f-l16.56)

(2)69=3>=>A(3)=

V10V10

5-7已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)^------------,試繪制系統(tǒng)的極坐標圖和

5(1+5)(1+25)

伯德圖。

_____________10*

答：系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為：G(?=——―-——

+769)(1+；2<y)(oe^+蘇-3W+4dgn20

系統(tǒng)開環(huán)相頻頻率特性為：以口)=-90-arctanco-arctan2co

次⑼=-90——迎】=_180>,

\-2co~=哈號

其中，取點、列表、計算結果如下表所示。

表5-5列表計算題5-7極坐標的數(shù)據點

0+9立R

(0

A(⑼帝里與0

33瓜

8(⑼-90-180-215.26-270

A

題5-7系統(tǒng)的極坐標圖

系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性為：U(o)=20Ig10-201g-201gVl+<w2-201gVl+4<w2

系統(tǒng)低頻段的斜率為—20dB/dcc,過0=0.5點，高度為L(0.5)=201g——=26dB。啰=0.5又

是慣性環(huán)節(jié)的轉折頻率，之后的漸近線斜率變?yōu)門OdB/dec也是慣性環(huán)節(jié)的轉折頻率,

之后的漸近線斜率變?yōu)閅OdB/dec。

系統(tǒng)的相頻特性可采用列表、取點、計算的方式大致繪制。系統(tǒng)伯德圖如下：

題5-7系統(tǒng)的伯德圖

5-8如題圖所示，為最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性的漸近線，試寫出對應的開環(huán)傳遞函

數(shù)，并求出相角裕度人

題5-8圖

解：此最小相位系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)結構為:

G(5)=_￡(￡±1L

由圖可知，￡(l)=201g4=20=>K=l(X)

r

求剪切頻率：———=|-20|=><y(.=10

5-9如題圖所示的奈奎斯特曲線中，判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。

解：(a)穩(wěn)定；(b)不穩(wěn)定；(c)不穩(wěn)定

K

5-10已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=，試用伯德圖方法確定閉環(huán)

s(s+l)(3s+l)

系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界增益K值。

K

解：系統(tǒng)幅頻特性表達式：

+1也①2+1

相頻特性表達式：(p((o)=-90-arctan6y-arg3ft)

令*(⑼=-90-arctan69-arg36y=-180=<y=g

由A(等)=i=K=g為系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的臨界增益。

5-11已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H(s)=———------試用奈奎斯特穩(wěn)定判據分析閉環(huán)

5(54-1)(25+1)

系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解：仿照例題5-11過程，繪制此具有積分環(huán)節(jié)的3階系統(tǒng)的奈奎斯特曲線如下圖所示

題5-11圖

由傳遞函數(shù)可知P=0,由奈奎斯特曲線可知N=2(補畫關于實軸對稱部分曲線后順時針包圍-

1點兩圈)，根據Z=P-N=2,可知此系統(tǒng)閉環(huán)具有兩個具有正實部的閉環(huán)極點，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)

定。

5-12如題圖所示，為某最小相角系統(tǒng)對數(shù)幅頻漸近線，請寫出對應的開環(huán)傳遞函數(shù)。

題5-12圖

解：此最小相位系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)結構為：

K段+1)

G(s)=--------------------------

5(—+1)(—+1)

50100

由題圖可知，系統(tǒng)的剪切頻率％=3?201g-0?K3。

3

16

5-13已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=,用MATLAB求系統(tǒng)的開環(huán)相角裕

5(0.15+1)(54-1)

度和增益裕度，并繪制系統(tǒng)的閉環(huán)對數(shù)幅頻特性和相頻特性圖.確定對應的諧振峰值歷，，

諧振頻率?和截止頻率例。

解：程序代碼如下：

num=16;

den=[0.11.110];

G=tf(num,den);

[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=inargin(G)%求穩(wěn)定裕度

Gyc=feedback(G,l);%求閉環(huán)傳遞函數(shù)

bode（Gyc）

grid

運行結果如下：

開環(huán)系統(tǒng)的Gm=0.6875（幅值裕量），Pm=-6.0900（相角裕量6Wcg=3.1623（相位

穿越頻率），Wcp=3.8031（剪切頻率）。

題5-13閉環(huán)系統(tǒng)伯噫圖

可見，閉環(huán)的諧振峰值=19.9,諧振頻率勺=3.74和截止頻率例=5.75。

第六章線性系統(tǒng)的校正

思考題

6-1用頻率法設計控制系統(tǒng)的校正環(huán)節(jié)時，采用串聯(lián)相位超前校正是利用其具有的超前的

正相角，采用相位滯后校正是利用其具有的滯后的負用角。

6-2PD控制器具有正的用頻特性，與相位超前校正類似,串聯(lián)到控制系統(tǒng)中可以提高

系統(tǒng)的剪切頻率和相角裕度。

6-3增大系統(tǒng)的開環(huán)增益可能給系統(tǒng)帶來哪些性能改善和問題？

答：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分減小、剪切頻率牝增大，動態(tài)性能提升，但這也可能導致控制系統(tǒng)

的相角裕度/減小甚至出現(xiàn)不穩(wěn)定的情況，以及抵抗高頻噪聲的能力下降。

6-4相位滯后校正的相角是滯后的，為什么串聯(lián)后可以用來改善系統(tǒng)的相角裕度了?

答：相位滯后校正，主要是利用其高頻段的負增益，與未校正系統(tǒng)串聯(lián)降低系統(tǒng)原有的

剪切頻率，從而間接地使相角裕度變大。若未校正系統(tǒng)原有的相頻特性具有隨頻率減

小，相角裕度增大的特性，串聯(lián)相位滯后校正就會取得較好的效果。

此外，還有一些場合使用圖6-10（b）所示相位滯后校正，主要數(shù)利用其低頻段的正增

益，與未校正系統(tǒng)串聯(lián)增加低頻段的增益，進而提高系統(tǒng)為穩(wěn)態(tài)精度，設計合理則幾乎

不影響校正后系統(tǒng)的相角裕度。此外，需要注意相角滯后程度較大的中頻段，使用時要

盡量避免其位于校正后系統(tǒng)的中頻段。

6-5串聯(lián)相位超前校正為什么可以改善系統(tǒng)的動態(tài)特性？

答：一般情況下，串聯(lián)相位超前校正使得剪切頻率利增大，提高了系統(tǒng)的頻帶寬度，從而可

提高系統(tǒng)的響應速度，改善系統(tǒng)的動態(tài)特性。

習題

6-6如題圖所示，試求此有源電路網絡的傳遞函數(shù)并繪制伯德圖，分析其串聯(lián)加入控制系統(tǒng)

對系統(tǒng)性能有哪些改善？

解：由運算放大器的性質可知，

C小…。)=，

dtR2"&

兩端取拉普拉斯變換，整理有

U?_C&s+l_CR23+1_R2CR2S+\

aC&sCR\幺sR]CR2S

題6-6對應傳遞函數(shù)伯德圖

可見這是一個比例積分校正環(huán)節(jié)，伯德圖如上。串聯(lián)此類PI控制器能夠提高系統(tǒng)的型別，

有利于消除或減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。

6-7已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為6($)=而言J，校正網絡裝置的傳遞函數(shù)為

&($)=辱史，繪制校工前后系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性漸近線，并計算校正前后系統(tǒng)的相角裕

度。

解：繪制對數(shù)幅頻特性漸近線如線圖所示，其中6(5)為超前校正環(huán)節(jié)，可提供超前相角。

G(s)為校正前系統(tǒng)，G*s)G,(s)為串聯(lián)校正后系統(tǒng)。

G.(s)

題6-7圖系統(tǒng)的對數(shù)幅頻埼?性圖

校正前:201g(2.5/0.4)=401g(%/0.4)=>%=1

(

r,=180-90-arctg2.5co(l?21.8°

2

校正后：設在單位§7處的高度為力，則有：

3

——上一-=40^——-一-=20,消去中間變量〃

22

lgfy-lg-lg^-lg-

rIJ2J

401g粵=2。也等n@2=15

33

r2=180-90-arctgl.5coc24-arctg\,5cov2-arctg0.25a)c2?60

6-8已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為6(S)=S(]+0]S；]+02S)

(1)試繪制系統(tǒng)伯德圖尹求相角裕度了。

(2)串聯(lián)校正環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為G,(s)=咨二]，試求咬正后系統(tǒng)的剪切頻率和相角裕度,

33.3s+1

并分析校正后系統(tǒng)的性能有哪些改善？

4

解：(I)低頻段，串聯(lián)一個積分環(huán)節(jié)，與G：(S)=M的對數(shù)幅頻特性曲線重合。具有兩個轉

s

折頻率5、10,每經過一個轉折頻率，漸近線的斜率變化-2(k/B/dec.

其中低頻段選取一點3=4單位s"處的高度為〃，則有力=201g="7=0,可知原系統(tǒng)的剪

(01

切頻率&=4

對應的相角裕度/=180-90-arctan0.1仁一arctan0.2M<=29.5

繪制系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性漸近線如下圖所示，

(2)可見校正環(huán)節(jié)為相位滯后校正，〃=10,轉折頻率分別為0.3和0.03,串聯(lián)后可以使得

原系統(tǒng)的剪切頻率變小。

由于201g￡=20必，可知，對應原系統(tǒng)具有20曲的高度與串聯(lián)滯后校正帶來的-2()〃

4

之和為OdB,對應的頻率為系統(tǒng)新的剪切頻率，20館,代?=20=>"=0.4

進一步求得校正后系統(tǒng)的相角裕度為；

Y=180-90-arctan0.\<oc.—arclan0.2"，+arctan3.334,—arctan33.3々.?37

可見串聯(lián)相位滯后校正，利用其高頻段的負增益，與未校正系統(tǒng)串聯(lián)減小系統(tǒng)原有的剪

切頻率，從而間接地使相角裕度變大。

6-9已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G.(s)=不磊可，要求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)速度誤差系

數(shù)為100,相角裕度/>55,試確定串聯(lián)校正環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。

解：I.基于穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)要求可知，

K=\ims---=100=>K=l()0

s-*05(1+0.15)

2.低頻段選取一點<y=10單位『處的高度為力，則有/7=2Olg@Li=2O

co1

由于系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，繪制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性漸近線如下圖所示

題6-9圖，系統(tǒng)的幅頻特性漸近線

剪切頻率所在三角形高寬比

—————=40=找=31.6,/=180-90-arctanO.=17.56,不滿足性能指標要求。

lg<yr-IglO

3.根據性能指標中期望的相角裕度人計算需要由相位超前校正補償?shù)南辔怀傲?/p>

0=7-%+￡=55-17.564-7.56=45。

4.令相位超前校正提供的最大超前相角%=°,則由式（6-10）求得

*上畫娛0⑺6

l+sin/

5.在未校正系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性漸近線中找到對應對數(shù)幅頻特性為

h=-lOIg^-=|-0.7661dB處的頻率,―"電一=40=".=50,單位「。

lg4,-1g%

1

6.將舔=q.=5()帶入式(6-9)求得@=50=nr=0.05.進而相位超前校正的兩

r\[a

個轉折頻率可分別求得為2="而=20、i

=116.55,單位

ar4a

7.串聯(lián)校正后系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

100I+0.05A-

G（S）=G（$）G,（$）=

5(0.15+1)1+0.008585

校正后系統(tǒng)的相角裕度為

/=180-9()+arctan0.05q.一arctan0.\eo(,-arctan0.008582x56

可見滿足相角裕度要求。

2

6-10已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G.（s）=,用MATLAB設計

5(1+0.15)(1+0.255)

超前校正，使得系統(tǒng)滿足塾態(tài)速度誤差系數(shù)為10,相角裕度y>45。

解?：依據期望性能指標可知，系統(tǒng)的開環(huán)增益應增大到10。具體程序如下:

cic

clear

num=2;

den=conv([10],conv([0.2511J0.11]))%分母多項式展開

G=tf(num,dcn);

kc=5

yPm=45+10%epsilon=10

G=tf(G);

(mag,pha.wl=bode(G*kc);

Mag=20*logl()(mag);%converttodB

[Gm,Pm,Wcg,Wcpl=margin(G*kc);

phi=(yPm-Pm)*pi/180;%Calculatcthephaseanglethatshouldbecompensated

alpha=(1-sin(phi))/(1+sin(phi));

Mn=-10*log10(l/alpha);

Wegn=spline(Mag,w,Mn);%Cubicsplinedatainterpolation

T=l/(Wegn*sqrt(l/alpha));

Tz=l/alpha*T

Gc=tf([Tz1],[T1])%輸出校正環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)

BG=feedback(G*kc,I)%輸出校正前的閉環(huán)傳遞函數(shù)

BGC=feedback(G*kc：!：Gc,1)%輸出校正后的閉環(huán)傳遞函數(shù)

stcp(BG)

holdon

stcp(BGC,'??')

題6-10校正前后系統(tǒng)的單位階躍響應曲線

可見，由于引入校正(此題為相位超前校正)，系統(tǒng)的帶寬增大，響應速度增加，超調

量減小。

第七章非線性系統(tǒng)的分析

思考題

7-1對于非線性系統(tǒng)，輸入正弦信號，輸出的頻率響應系能是一個含有高次諧波的周期信

號。

7-2非正弦周期信號經過的線性環(huán)節(jié)G(s)具有低通濾波特性時，信號中的總次諧波才可

能被衰減。

7-3常見的非線性特性有哪些？

答：死區(qū)特性、飽和特性、間隙特性、繼電器特性等。

7-4簡述相平面分析法的實質，為什么它是分析二階系統(tǒng)的有效方法？

答：構建以.N)為橫軸，其/)為縱軸的直角坐標平面為相平面，在相平面上每一個狀態(tài)