專題04三角形（九大題型）題型一三角形的三邊關(guān)系（高頻）題型二三角形的穩(wěn)定性的應(yīng)用題型三三角形的角平分線和高的有關(guān)運(yùn)算題型四利用三角形的中線性質(zhì)求面積（高頻）題型五三角形的內(nèi)角和有關(guān)計算題型六全等三角形的外角有關(guān)計算題型七添加條件使三角形全等（高頻）題型八全等三角形的性質(zhì)與判定（高頻）題型九全等三角形綜合（重點(diǎn)）

【題型1】三角形的三邊關(guān)系1．（24-25八年級上·云南臨滄·期末）以下列線段為邊能組成三角形的是（

）A．2cm，2cm，6cm B．3cmC．4cm，6cm，1cm D．5cm2．（24-25八年級上·吉林·期末）下列長度的三條線段，首尾順次相連能組成三角形的是（

）A．2，3，6 B．4，43．（24-25八年級上·湖北襄陽·期末）等腰三角形的一邊長為6cm，另一邊長為3cm，則它的周長為（A．9cm B．12cm C．15cm D．4．（2023·浙江金華·中考真題）在下列長度的四條線段中，能與長6cm,8cmA．1cm B．2cm C．13cm【題型2】三角形的穩(wěn)定性的應(yīng)用5．（24-25八年級上·四川綿陽·期末）用幾根細(xì)木條首尾相連構(gòu)造下列圖形，具有穩(wěn)定性的是（

）A．正方形 B．梯形 C．鈍角三角形 D．正六邊形6．（24-25八年級上·廣西防城港·期末）蓋房子時，在窗框未安裝好之前，木工師傅常常先在窗框上斜釘一根木條來防止窗框變形，你認(rèn)為這樣做的理由是（

）A．讓窗框更得加美觀 B．兩點(diǎn)之間線段最短C．四邊形具有穩(wěn)定性 D．三角形具有穩(wěn)定性7．（24-25八年級上·四川南充·期末）如圖，人字梯中間一般會設(shè)計一“拉桿”，這樣做所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理是（）A．三角形的穩(wěn)定性 B．兩點(diǎn)確定一條直線C．垂線段最短 D．兩點(diǎn)之間線段最短8．（24-25八年級上·河南安陽·期末）安裝空調(diào)外機(jī)一般會采用如圖所示的方法固定，其根據(jù)的幾何原理是（

）A．垂線段最短B．兩點(diǎn)之間線段最短C．兩點(diǎn)確定一條直線D．三角形的穩(wěn)定性【題型3】三角形的角平分線和高的有關(guān)運(yùn)算

9．（24-25八年級上·陜西咸陽·期末）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD，AE，BF分別是△ABC的高線、中線和角平分線，下列結(jié)論錯誤的是（

）A．∠ABF=∠CBF B．∠ABC=∠CADC．S△ABE=S10．（24-25八年級上·貴州遵義·期中）如圖，AD、AE、AF分別是△ABC的高、角平分線和中線，下列說法正確的是（

）A．DF=DC B．∠C+∠CAD>90°C．∠BAF=∠DAF D．S11．（2025·云南昭通·一模）如圖，AD，AE分別是△ABC的高線和中線．若△ABC的面積為18，AD=4，則BE的長為（

）A．2 B．3 C．4.5 D．912．（24-25八年級上·廣東廣州·期末）如圖，在△ABC中，AD為邊BC上的高，點(diǎn)E為邊BC上的中點(diǎn)，連接AE．若AD=4，△ABC的面積為20，求BE的長．13．（22-23七年級下·江蘇南京·期中）如圖，AE與AD分別是△ABC的角平分線和高．若∠B=70°，∠C=60°，求∠DAE度數(shù)．【題型4】利用三角形的中線性質(zhì)求面積

14．（24-25八年級上·北京豐臺·期末）能將任意一個三角形分成面積相等的兩部分的是（

）A．三角形的一條高 B．三角形的一條中線C．三角形的一條角平分線 D．三角形一邊的垂直平分線15．（2024九年級下·浙江寧波·競賽）如圖，把△ABC的各邊延長2倍至A1，B1，C1，那么△A1A．4倍 B．7倍 C．19倍 D．20倍16.（24-25八年級上·內(nèi)蒙古呼和浩特·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC上的一點(diǎn)，點(diǎn)E是AD上的一點(diǎn)，若BD:CD=2:3，點(diǎn)E是AD的五等分點(diǎn)，若△ABC的面積是8，則△DEC的面積為（

）A．2425 B．1 C．32 17．（23-24七年級下·河南鄭州·期末）如圖，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且AD平分∠BAC，CD⊥AD，連接BD，若△ABD的面積為16，那么△ABC的面積是.

【題型5】三角形的內(nèi)角和有關(guān)計算18．（24-25八年級上·新疆吐魯番·期中）如圖，將一副直角三角板如圖放置，使含30°角的三角板的短直角邊和含45°角的三角板的一條直角邊重合，則∠1的度數(shù)為（

）A．100° B．120° C．135° D．105°19．（24-25七年級下·浙江杭州·期中）如圖，△ABC中，D,?E分別是BA,?(1)AC，DE是否平行？說明理由．(2)若CD平分∠ACB，∠1=35°，求∠2度數(shù)．20．（24-25七年級下·河北廊坊·階段練習(xí)）已知：如圖，BF平分∠ABD，DE平分∠BDC交BF于點(diǎn)E，BF交CD于點(diǎn)F,∠1=∠3．(1)請說明AB∥CD的理由；(2)若∠2=25°，求∠3的度數(shù)；(3)若∠ABD=140°，求證：DE⊥BF．21．（24-25八年級上·四川綿陽·階段練習(xí)）如圖，D是三角形ABC外一點(diǎn)，E，F(xiàn)是BC上的點(diǎn)，G，H分別是AB，AC上的點(diǎn)，連接AD,AE,FH,DH,GE，已知∠1=∠2，∠3+∠4=180°，∠AEF=∠CFH．(1)判斷GE與AC的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若∠C=36°，∠DHC=105°，求∠B的度數(shù)．【題型6】全等三角形性質(zhì)的有關(guān)計算22．（24-25八年級上·安徽合肥·期末）如圖，點(diǎn)B，C，D在同一直線上，若△ABC≌△CDE，AB=9，BD=14，則BC等于（）A．9 B．4 C．5 D．623．（23-24八年級下·安徽淮南·期末）如圖，△ABC≌△DEF，若BF=8，BE=1.5，則EC的長為（

）A．3 B．4 C．5 D．624．（24-25八年級上·河北滄州·期末）如圖，點(diǎn)B,E在AD上，△ABC≌△DEF，AD=8,?BE=5，則AE的長為（A．1.5 B．2 C．2.5 D．325．（24-25八年級上·安徽合肥·期末）如圖，△ABC≌△DBE，若AB=10,BE=4，則CD的長為（）A．4 B．5 C．6 D．726．（24-25八年級上·江蘇泰州·期末）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AC，AB上，若△ABE≌△ACF，且AB=10，27．（24-25七年級上·山東煙臺·期末）如圖AB=4cm，∠A=∠B=60°，AC=BD=3cm．點(diǎn)P在線段AB上以1cms的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q在線段BD上以xcms的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動，它們運(yùn)動的時間為t(s)．若△ACP與【題型7】添加條件使三角形全等28．（24-25八年級上·福建漳州·期末）如圖，AC和BD相交于點(diǎn)O，若OA=OD，仍無法判定△AOB≌△DOC的是（）A．OB=OC B．AB=DC C．∠A=∠D D．∠B=∠C29．（24-25八年級上·浙江臺州·期末）如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AD．添加下列哪個條件，不能使△ABC≌△ADE的是（

）A．∠B=∠D B．∠ACB=∠AED C．AC=AE D．BC=DE30．（23-24八年級下·安徽宣城·期末）如圖，在△ABC和△DEF中，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)共線，已知A．AB∥DE，AC∥DF C．∠A=∠D，AC=DF D．AB=DE，AC=DF31．（24-25八年級上·陜西西安·期末）如圖，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，還需添加兩個條件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一組條件是（

）A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DCC．BC=EC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠ACD=∠BCE32．（24-25八年級上·安徽滁州·期末）如圖，在△ABC和△DEF中，點(diǎn)B、F、C、D在同一條直線上，已知∠A=∠D，AB=DE，添加以下條件，不能判定△ABC≌△DEF的是（

）A．BC=EF B．AC=DF C．∠ACB=∠DFE D．∠B=∠E33．（24-25八年級上·江西上饒·期末）如圖，已知AB=DC,BE⊥AD,CF⊥AD，垂足分別為E，F(xiàn)，下列條件：①∠B=∠C；②AB∥CD；③BE=CF；④AF=DE，選擇一個就可以判定Rt△ABE≌A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④【題型8】全等三角形性質(zhì)與判定的綜合34．（22-23八年級下·廣東清遠(yuǎn)·期中）在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D為AB延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊上，且BE=BD，連接AE、DE、DC．(1)求證：△ABE≌△CBD；(2)若∠CAE=30°，求∠BDC的度數(shù)．35．（23-24八年級上·浙江嘉興·期末）如圖，已知AB∥CF，DE=EF．(1)求證：△ADE≌△CFE；(2)若AB=7，CF=4，求BD的長．36．（23-24七年級下·山西臨汾·期末）如圖所示，△ABC≌△ADE，且∠CAD=30°，∠EAB=120°，DE∥(1)求∠CAB的度數(shù)；(2)求∠DFB的度數(shù)．37．（23-24九年級上·湖北宜昌·期末）如圖，△ABE和△ACD都是等邊三角形，△EAC旋轉(zhuǎn)后能與△ABD重合，EC與BD相交于點(diǎn)F．(1)試說明△AEC≌(2)求∠DFC的度數(shù)．38．（24-25八年級上·廣西來賓·期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，點(diǎn)E在邊AD上，延長BE交AC于點(diǎn)F，且△ACD≌(1)求證：∠AFE=90°；(2)若S△BCF=20，S四邊形

【題型9】全等三角形綜合39．（24-25八年級上·安徽六安·期中）如圖，AB=AD，∠BAD=140°，AB⊥CB于點(diǎn)B，AD⊥CD于點(diǎn)D，E、F分別是CB、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=70°，下列結(jié)論中①BC=DC，②△ADF≌△ABE，③FA平分∠DFE，④EF平分∠AEC，⑤BE+DF=EF．其中正確的結(jié)論是（

）A．②③⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤40．（24-25八年級上·廣西百色·期末）如圖，在△ABE和△BCD中，AB=BE=EA,BC=CD=DB，且兩個三角形在線段AC同側(cè)，①△ABD≌△EBC；②△NBC≌△MBD；③△ABM≌△EBN；④△AME≌△BCD．則上述結(jié)論中正確的是（

）A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④41．（22-23八年級上·吉林長春·期中）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，則下列結(jié)論：①DA平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB；⑤A、D兩點(diǎn)一定在線段EC的垂直平分線上，其中正確的有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個42．（24-25八年級上·山東濱州·期末）如圖所示，直線AB交x軸于點(diǎn)Aa,0，交y軸于點(diǎn)B0,b,a,b(1)求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；(2)如圖1，若C的坐標(biāo)為(?1,0)，且AH⊥BC于點(diǎn)H,AH交OB于點(diǎn)P．①求證：△OAP≌△OBC．②試求點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)如圖2，若點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M為y軸正半軸上一動點(diǎn)，連接MD，過D作DN⊥DM交x軸于N點(diǎn)，當(dāng)M點(diǎn)在y軸正半軸上運(yùn)動的過程中，式子S△BDM43．（24-25八年級上·山東濱州·期末）【教材呈現(xiàn)】在人教版八年級上冊數(shù)學(xué)教材P53活動2

用全等三角形研究：“箏形”如圖，四邊形ABCD中，AD=CD,AB=CB．我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．請你自己畫一個箏形，用測量、折紙等方法猜想箏形的角、對角線有什么性質(zhì)、然后用全等三角形的知識證明你的猜想．請結(jié)合教材內(nèi)容，解決下面問題：【概念理解】（1）如圖1，在正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A,B,C是網(wǎng)格線交點(diǎn)，請在網(wǎng)格中畫出箏形ABCD；【性質(zhì)探究】（2）小文得到箏形角的性質(zhì)是“箏形有一組對角相等”，請你幫他將證明過程補(bǔ)充完整．已知：如圖2，在箏形ABCD中，AB=AD,CB=CD．求證：∠B=∠D．證明：（3）如圖3，連接箏形ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O．因此，小麗探究了箏形對角線的性質(zhì)，請幫她完成填空：對角線AC、BD的位置關(guān)系是：_____；BO與OD的數(shù)量關(guān)系是：_____．【應(yīng)用拓展】（4）如圖3，在箏形ABCD中，已知AC=60cm,BD=40cm44．（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測）如圖，在①AE=AF，②∠EAD=∠FAD，③DE=DF這三個條件中選擇其中一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并完成問題的解答．問題：如圖，在△ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，DE，DF分別是△ABD和△ACD高，EF交AD于O，若______，(1)求證：△ADE≌△ADF；(2)若AB+AC=8，DE=4，求△ABC的面積．45．（24-25八年級上·湖南益陽·期中）已知AM∥BN，AE平分∠BAM，BE平分(1)求∠AEB的度數(shù)．(2)如圖2，過點(diǎn)E的直線交射線AM于點(diǎn)C，交射線BN于點(diǎn)D，求證：AC+BD=AB；(3)如圖3，過點(diǎn)E的直線交射線AM的反向延長線于點(diǎn)C，交射線BN于點(diǎn)D，AB=5,AC=3，S△ABE?S專題04三角形（九大題型）題型一三角形的三邊關(guān)系（高頻）題型二三角形的穩(wěn)定性的應(yīng)用題型三三角形的角平分線和高的有關(guān)運(yùn)算題型四利用三角形的中線性質(zhì)求面積（高頻）題型五三角形的內(nèi)角和有關(guān)計算題型六全等三角形的外角有關(guān)計算題型七添加條件使三角形全等（高頻）題型八全等三角形的性質(zhì)與判定（高頻）題型九全等三角形綜合（重點(diǎn)）

【題型1】三角形的三邊關(guān)系1．（24-25八年級上·云南臨滄·期末）以下列線段為邊能組成三角形的是（

）A．2cm，2cm，6cm B．3cmC．4cm，6cm，1cm D．5cm【答案】D【分析】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，熟記三角形兩邊之和大于第三邊是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊判斷即可．【詳解】解：A、∵2+2<6，∴長度為2cm，2cm，B、∵3+6=9，∴長度為3cm，6cm，C、∵1+4<6，∴長度為4cm，6cm，D、∵4+5>6，∴長度為5cm，6cm，故選：D．2．（24-25八年級上·吉林·期末）下列長度的三條線段，首尾順次相連能組成三角形的是（

）A．2，3，6 B．4，4【答案】D【分析】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，逐項判斷即可求解，掌握三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、∵2+3<6，∴2，B、∵4+4=8，∴4，C、∵5+9=14，∴5，D、∵5+12>13，∴5，故選：D．3．（24-25八年級上·湖北襄陽·期末）等腰三角形的一邊長為6cm，另一邊長為3cm，則它的周長為（A．9cm B．12cm C．15cm D．【答案】C【分析】本題主要考查了三角形三邊之間的關(guān)系，等腰三角形的定義等知識點(diǎn)，熟練掌握三角形三邊之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵：三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．由等腰三角形的定義及三角形三邊之間的關(guān)系可得，若等腰三角形的一邊長為6cm，另一邊長為3cm，則只能是6cm【詳解】解：∵3+3=6，∴若等腰三角形的一邊長為6cm，另一邊長為3cm，則只能是6cm∴其周長=6+6+3=15cm故選：C．4．（2023·浙江金華·中考真題）在下列長度的四條線段中，能與長6cm,8cmA．1cm B．2cm C．13cm【答案】C【分析】根據(jù)三角形三邊的關(guān)系求出第三邊的取值范圍，再判斷即可．【詳解】解：設(shè)第三邊長度為xcm則第三邊的取值范圍是2<x<14，只有選項C符合，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊的關(guān)系，能熟練求出求出第三邊的取值范圍是本題的關(guān)鍵．【題型2】三角形的穩(wěn)定性的應(yīng)用5．（24-25八年級上·四川綿陽·期末）用幾根細(xì)木條首尾相連構(gòu)造下列圖形，具有穩(wěn)定性的是（

）A．正方形 B．梯形 C．鈍角三角形 D．正六邊形【答案】C【分析】本題考查了三角形的穩(wěn)定性，掌握三角形的穩(wěn)定性是解題的關(guān)鍵,根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性即可判斷求解．【詳解】解：三角形具有穩(wěn)定性，其他多邊形沒有，故選：C．6．（24-25八年級上·廣西防城港·期末）蓋房子時，在窗框未安裝好之前，木工師傅常常先在窗框上斜釘一根木條來防止窗框變形，你認(rèn)為這樣做的理由是（

）A．讓窗框更得加美觀 B．兩點(diǎn)之間線段最短C．四邊形具有穩(wěn)定性 D．三角形具有穩(wěn)定性【答案】D【分析】本題考查三角形穩(wěn)定性的實際應(yīng)用．三角形的穩(wěn)定性在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如鋼架橋、房屋架梁等，因此要使一些圖形具有穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)，往往通過連接輔助線轉(zhuǎn)化為三角形而獲得．用木條固定門框，即是組成三角形，故可用三角形的穩(wěn)定性解釋．【詳解】解：加上木條后，原不穩(wěn)定的四邊形中具有了穩(wěn)定的三角形，故這種做法根據(jù)的是三角形的穩(wěn)定性．故選：D．7．（24-25八年級上·四川南充·期末）如圖，人字梯中間一般會設(shè)計一“拉桿”，這樣做所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理是（）A．三角形的穩(wěn)定性 B．兩點(diǎn)確定一條直線C．垂線段最短 D．兩點(diǎn)之間線段最短【答案】A【分析】本題考查了三角形的穩(wěn)定性，直線的性質(zhì)，線段的性質(zhì)，垂線段最短，關(guān)鍵是掌握三角形的穩(wěn)定性．由三角形具有穩(wěn)定性即可得到答案．【詳解】解：人字梯中間一般會設(shè)計一“拉桿”．這樣做所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理是三角形的穩(wěn)定性，故選：A．8．（24-25八年級上·河南安陽·期末）安裝空調(diào)外機(jī)一般會采用如圖所示的方法固定，其根據(jù)的幾何原理是（

）A．垂線段最短B．兩點(diǎn)之間線段最短C．兩點(diǎn)確定一條直線D．三角形的穩(wěn)定性【答案】D【分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性進(jìn)行解答即可．【詳解】解：安裝空調(diào)外機(jī)一般會采用如圖所示的方法固定，其根據(jù)的幾何原理是三角形的穩(wěn)定性，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂線段最短，兩點(diǎn)之間線段最短，兩點(diǎn)確定一條直線，三角形的穩(wěn)定性及應(yīng)用等知識點(diǎn)，熟練掌握三角形的穩(wěn)定性及應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【題型3】三角形的角平分線和高的有關(guān)運(yùn)算

9．（24-25八年級上·陜西咸陽·期末）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD，AE，BF分別是△ABC的高線、中線和角平分線，下列結(jié)論錯誤的是（

）A．∠ABF=∠CBF B．∠ABC=∠CADC．S△ABE=S【答案】D【分析】本題考查三角形的高線、中線和角平分線，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形的高線、中線和角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．利用角平分線的定義判斷選項A；利用高線的定義得出AD⊥BC，得出∠ABC+∠BAD=90°，再結(jié)合∠BAC=90°，即可判斷選項B；利用中線定義得出BE=CE，即可判斷選項C；無法得出選項D．【詳解】解：∵BF是△ABC的角平分線，∴∠ABF=∠CBF，故選項A結(jié)論正確，不符合題意；∵AD是△ABC的高線，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵∠ABC+∠BAD+∠ADB=180°，∴∠ABC+∠BAD=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAD=90°，∴∠ABC=∠CAD，故選項B結(jié)論正確，不符合題意；∵AE是△ABC的中線，∴BE=CE，∴12即S△ABE故選項C結(jié)論正確，不符合題意；∵BF是△ABC的角平分線，無法判定BF是△ABC的中線，∴選項D結(jié)論錯誤，符合題意；故選：D．10．（24-25八年級上·貴州遵義·期中）如圖，AD、AE、AF分別是△ABC的高、角平分線和中線，下列說法正確的是（

）A．DF=DC B．∠C+∠CAD>90°C．∠BAF=∠DAF D．S【答案】D【分析】本題考查了三角形的中線、高線及角平分線的意義，三角形一邊上的中線平分此三角形的面積等知識．解答本題的關(guān)鍵是掌握三角形的中線、高線及角平分線的意義，根據(jù)上述知識逐項進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、∵AF是△ABC的中線，∴BF=CF，而DF與DC不一定相等，故說法錯誤，不符合題意；B、∵AD是△ABC的高線，∴∠ADC=90°，在△ADC中，∠C+∠CAD+∠ADC=180°，∴∠C+∠CAD=90°，故說法錯誤，不符合題意；C、∵AE是△ABC的角平分線，∴∠BAE=∠CAE，而∠BAF與∠DAF不一定相等，故說法錯誤，不符合題意；D、∵AF是△ABC的中線，∴BF=CF=1又∵S△ABF=∴S∵S∴S故說法正確，符合題意；故選：D．11．（2025·云南昭通·一模）如圖，AD，AE分別是△ABC的高線和中線．若△ABC的面積為18，AD=4，則BE的長為（

）A．2 B．3 C．4.5 D．9【答案】C【分析】本題主要考查了三角形的中線性質(zhì)，掌握三角形的中線性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)三角形的中線平分三角形的面積求得S△ABE【詳解】解：∵AE是△ABC的中線，∴S∵S△ABE=∴BE=9故選：C．12．（24-25八年級上·廣東廣州·期末）如圖，在△ABC中，AD為邊BC上的高，點(diǎn)E為邊BC上的中點(diǎn)，連接AE．若AD=4，△ABC的面積為20，求BE的長．【答案】BE=5【分析】本題考查與三角形高有關(guān)的計算，先利用三角形的面積求出BC=10，然后利用線段中點(diǎn)的定義進(jìn)行計算，即可解答．【詳解】解：∵AD⊥BC，△ABC的面積為20，∴12∵AD=4，∴BC=10，∵點(diǎn)E為邊BC上的中點(diǎn)，∴BE=113．（22-23七年級下·江蘇南京·期中）如圖，AE與AD分別是△ABC的角平分線和高．若∠B=70°，∠C=60°，求∠DAE度數(shù)．【答案】5°【分析】三角形內(nèi)角和求出∠CAB的度數(shù)，角平分線求出∠CAE的度數(shù)，互余關(guān)系求出∠CAD的度數(shù)，利用∠CAD?∠CAE，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°．∵∠C=60°，∴∠DAC=90°?∠C=30°．∵∠B=70°，∠C=60°，∴∠CAB=50°．∵AE為∠CAB的角平分線，∴∠CAE=1∴∠DAE=∠DAC?∠CAE=30°?25°=5°．【點(diǎn)睛】本題考查含角平分線的三角形的內(nèi)角和的計算．正確的識圖，確定角度之間的和差關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．【題型4】利用三角形的中線性質(zhì)求面積

14．（24-25八年級上·北京豐臺·期末）能將任意一個三角形分成面積相等的兩部分的是（

）A．三角形的一條高 B．三角形的一條中線C．三角形的一條角平分線 D．三角形一邊的垂直平分線【答案】B【分析】本題考查了三角形的中線，由等底同高的三角形面積相等即可判斷；理解三角形的中線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A.三角形的一條高將任意一個三角形分成的兩部分面積不一定相等，結(jié)論錯誤，故不符合題意；B.由等底同高的三角形面積相等得，三角形的一條中線將任意一個三角形分成的兩部分積一定相等，結(jié)論正確，故符合題意；C.三角形的一條角平分線將任意一個三角形分成的兩部分面積不一定相等，結(jié)論錯誤，故不符合題意；D.三角形一邊的垂直平分線將任意一個三角形分成的兩部分面積不一定相等，結(jié)論錯誤，故不符合題意；故選：B．15．（2024九年級下·浙江寧波·競賽）如圖，把△ABC的各邊延長2倍至A1，B1，C1，那么△A1A．4倍 B．7倍 C．19倍 D．20倍【答案】C【分析】本題考查了等底同高三角形面積的關(guān)系，熟練掌握等底同高三角形面積的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．連接AC1，CB【詳解】解：如圖，連接AC1，CB∵△ABC的各邊延長2倍至A1，B1，∴S△ABC1=3S△ABC，S△BCA1∴S=2=2×3=19S故選：C．16.（24-25八年級上·內(nèi)蒙古呼和浩特·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC上的一點(diǎn)，點(diǎn)E是AD上的一點(diǎn)，若BD:CD=2:3，點(diǎn)E是AD的五等分點(diǎn)，若△ABC的面積是8，則△DEC的面積為（

）A．2425 B．1 C．32 【答案】A【分析】本題考查了三角形的面積問題，三角形面積與底和高的關(guān)系，利用等高的兩個三角形，其面積比等于底邊的比，即可求出△DEC的面積，熟練掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵△ABD與△ACD等高，BD:CD=2:3，∴S△ACD∵△CDE與△DAE等高，點(diǎn)E是AD的五等分點(diǎn)，∴S△DEC故選：A．17．（23-24七年級下·河南鄭州·期末）如圖，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且AD平分∠BAC，CD⊥AD，連接BD，若△ABD的面積為16，那么△ABC的面積是.

【答案】32【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)的知識．延長CD交AB于點(diǎn)E，證明△ADE≌△ADC，得到S△ADE=S△ADC，△BDE【詳解】解：延長CD交AB于點(diǎn)E，

∵AD平分∠BAC，CD⊥AD，∴∠DAE=∠DAC，∠ADC=∠ADE=90°，在△ADE和△ADC中，∠DAE=∠DACAD=AD∴△ADE≌∴DE=CD，S△ADE∴△BDE和△BDC是等底等高的三角形，∴S△BDE∴S△ABC故答案為：32．【題型5】三角形的內(nèi)角和有關(guān)計算18．（24-25八年級上·新疆吐魯番·期中）如圖，將一副直角三角板如圖放置，使含30°角的三角板的短直角邊和含45°角的三角板的一條直角邊重合，則∠1的度數(shù)為（

）A．100° B．120° C．135° D．105°【答案】D【分析】本題主要考查三角形內(nèi)角和及平行線的性質(zhì)，熟練掌握三角形內(nèi)角和及平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；如圖，由題意易得∠C=30°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和可進(jìn)行求解．【詳解】解：如圖，由題意得：∠DEF=∠ABC=90°,∠C=30°,∠D=45°，∴DE∥BC，∴∠D=∠DGC=45°，∴∠1=180°?∠C?∠DGC=105°；故選D．19．（24-25七年級下·浙江杭州·期中）如圖，△ABC中，D,?E分別是BA,?(1)AC，DE是否平行？說明理由．(2)若CD平分∠ACB，∠1=35°，求∠2度數(shù)．【答案】(1)平行(2)70°【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和，平行線的判定等知識點(diǎn)．（1）由三角形內(nèi)角和為180°，結(jié)合已知可得∠A=∠BDE，由同位角相等兩直線平行即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線定義可得∠ACB=2∠1=70°，結(jié)合AC∥DE可得∠2=∠ACB=70°．【詳解】（1）結(jié)論：平行，∵∠ACB+∠B+∠BDE=180°，∠ACB+∠B+∠A=180°，∴∠A=∠BDE，∴AC∥DE．（2）∵CD平分∠ACB，∴∠ACB=2∠1=70°，∵AC∥DE，∴∠2=∠ACB=70°．20．（24-25七年級下·河北廊坊·階段練習(xí)）已知：如圖，BF平分∠ABD，DE平分∠BDC交BF于點(diǎn)E，BF交CD于點(diǎn)F,∠1=∠3．(1)請說明AB∥CD的理由；(2)若∠2=25°，求∠3的度數(shù)；(3)若∠ABD=140°，求證：DE⊥BF．【答案】(1)見解析；(2)65°(3)見解析【分析】本題主要考查角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用，掌握以上知識，數(shù)形結(jié)合分析是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)角平分線的定義得到∠ABF=∠1，等量代換得到∠ABF=∠3，由內(nèi)錯角相等，兩直線平行即可求解；（2）根據(jù)角平分線的定義得到∠BDF=2∠2=50°，由三角形內(nèi)角和定理即可求解；（3）根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得到∠ABD+∠BDC=180°，結(jié)合角平分線的定義得到12∠ABD+1【詳解】（1）解：∵BF平分∠ABD，∴∠ABF=∠1．∵∠1=∠3，∴∠ABF=∠3，∴AB∥CD：（2）解：∵DE平分∠BDC，∠2=25°，∴∠BDF=2∠2=50°，∵∠BDF+∠1+∠3=180°,∠1=∠3，∴∠3=1（3）證明：由1得AB∥CD，∴∠ABD+∠BDC=180°∴1∵BF平分∠ABD,DE平分∠BDC，∴∠1+∠2=90°，∴∠BED=90°，∴DE⊥BF．21．（24-25八年級上·四川綿陽·階段練習(xí)）如圖，D是三角形ABC外一點(diǎn)，E，F(xiàn)是BC上的點(diǎn)，G，H分別是AB，AC上的點(diǎn)，連接AD,AE,FH,DH,GE，已知∠1=∠2，∠3+∠4=180°，∠AEF=∠CFH．(1)判斷GE與AC的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若∠C=36°，∠DHC=105°，求∠B的度數(shù)．【答案】(1)平行，理由見解析(2)69°【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）先根據(jù)平行線的判定可得AE∥FH，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠1=∠CAE，從而可得∠2=∠CAE，再根據(jù)平行線的判定即可得；（2）先求出∠3=∠DHC=105°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BAC=180°?∠3=75°，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求解即可得．【詳解】（1）解：GE∥AC，理由如下：∵∠AEF=∠CFH，∴AE∥FH，∴∠1=∠CAE，∵∠1=∠2，∴∠2=∠CAE，∴GE∥AC．（2）解：∵∠3+∠4=180°，∠DHC+∠4=180°，∠DHC=105°，∴∠3=∠DHC=105°，由（1）已證：GE∥AC，∴∠BAC=180°?∠3=75°，∵∠C=36°，∴∠B=180°?∠BAC?∠C=69°．【題型6】全等三角形性質(zhì)的有關(guān)計算22．（24-25八年級上·安徽合肥·期末）如圖，點(diǎn)B，C，D在同一直線上，若△ABC≌△CDE，AB=9，BD=14，則BC等于（）A．9 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是全等三角形性質(zhì)的熟練掌握，利用全等三角形的性質(zhì)“全等三角形對應(yīng)邊相等”即可求解．【詳解】解：∵△ABC≌△CDE，∴CD=AB，∵AB=9，∴CD=9，∵BD=14，∴DE=BC=BD?CD=14?9=5，∴BC=5，故選：C．23．（23-24八年級下·安徽淮南·期末）如圖，△ABC≌△DEF，若BF=8，BE=1.5，則EC的長為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】本題考查全等三角形性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．利用全等三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：由全等三角形的性質(zhì)得：EF=BC，∴BE+CE=CF+CE，即BE=CF，∵BF=8，BE=1.5，∴EC=BF?BE?CF=BF?2BE=8?2×1.5=5，故選：C．24．（24-25八年級上·河北滄州·期末）如圖，點(diǎn)B,E在AD上，△ABC≌△DEF，AD=8,?BE=5，則AE的長為（A．1.5 B．2 C．2.5 D．3【答案】A【分析】本題主要考查了三角形全等的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形對應(yīng)邊相等．由△ABC≌△DEF得AB=DE，進(jìn)而可得AE=BD，利用線段的和差即可求解．【詳解】解：∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE，∴AB?BE=DE?BE，∴AE=BD，∵AD=8,?∴AE+BD=3，∴AE=1.5．故答案為：A．25．（24-25八年級上·安徽合肥·期末）如圖，△ABC≌△DBE，若AB=10,BE=4，則CD的長為（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意得到AB=DB=10,BC=BE=4，即可得到答案．【詳解】解：∵△ABC≌△DBE，∴AB=DB=10,BC=BE=4，∴CD=DB?CB=10?4=6．故選C．26．（24-25八年級上·江蘇泰州·期末）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AC，AB上，若△ABE≌△ACF，且AB=10，【答案】6【分析】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AE=AF=4，AB=AC=10，再結(jié)合線段的和差可得答案．【詳解】解：∵△ABE≌△ACF，∴AE=AF=4，AB=AC=10，∴EC=AC?AE=10?4=6，故答案為：627．（24-25七年級上·山東煙臺·期末）如圖AB=4cm，∠A=∠B=60°，AC=BD=3cm．點(diǎn)P在線段AB上以1cms的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q在線段BD上以xcms的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動，它們運(yùn)動的時間為t(s)．若△ACP與【答案】1或3【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，路程、速度、時間之間的關(guān)系．能求出符合題意的所有情況是解題的關(guān)鍵．由題意知當(dāng)△ACP與△BPQ全等時，分△ACP≌△BPQ和△APC≌△BPQ兩種情況，根據(jù)全等的性質(zhì)列方程求解即可．【詳解】解：∵點(diǎn)P的運(yùn)動速度為1cms，點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為xcms，它們運(yùn)動的時間為ts∴AP=t，BP=4?t，BQ=xt，∵∠A=∠B，∴當(dāng)△ACP與△BPQ全等時，有兩種情況：①當(dāng)△ACP≌△BPQ時，AP=BQ，AC=BP，∴t=tx，4?t=3，解得t=1，x=1；②當(dāng)△APC≌△BPQ時，AP=BP，AC=BQ，∴t=4?t，xt=3，解得t=2，x=3綜上所述，x的值是1或32故答案為：1或3【題型7】添加條件使三角形全等28．（24-25八年級上·福建漳州·期末）如圖，AC和BD相交于點(diǎn)O，若OA=OD，仍無法判定△AOB≌△DOC的是（）A．OB=OC B．AB=DC C．∠A=∠D D．∠B=∠C【答案】B【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理逐項判斷即可．本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：在△AOB與△DOC中，A、∵OA=OD，∠AOB=∠DOC，OB=OC，∴△AOB≌△DOCSASB、由OA=OD，∠AOB=∠DOC，AB=DC，不能判定△AOB≌△DOC，符合題意；C、∵∠AOB=∠DOC，OA=OD，∠A=∠D，∴△AOB≌△DOCASAD、∵∠AOB=∠DOC，∠B=∠C，OA=OD，∴△AOB≌△DOCAAS故選：B．29．（24-25八年級上·浙江臺州·期末）如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AD．添加下列哪個條件，不能使△ABC≌△ADE的是（

）A．∠B=∠D B．∠ACB=∠AED C．AC=AE D．BC=DE【答案】D【分析】本題考查了三角形全等的判定，依據(jù)三角形全等的判定定理逐一判斷即可，熟記三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、在△ABC和△ADE中，∠A=∠A∴△ABC≌△ADEASAB、在△ABC和△ADE中，∠ACB=∠AED∴△ABC≌△ADEAASC、在△ABC和△ADE中，AC=AE∠A=∠A∴△ABC≌△ADESASD、添加BC=DE，又AB=AD，∠A=∠A，都無法判定△ABC≌△ADE，原選項符合題意；故選：D．30．（23-24八年級下·安徽宣城·期末）如圖，在△ABC和△DEF中，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)共線，已知A．AB∥DE，AC∥DF C．∠A=∠D，AC=DF D．AB=DE，AC=DF【答案】C【分析】本題考查了全等三角形的判定，由已知得BC=EF，再根據(jù)全等三角形的判定定理逐項判斷即可求解，掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，A、當(dāng)AB∥DE，AC∥DF時，∴由ASA可得△ABC≌△DEF，該選項不合題意；B、當(dāng)∠A=∠D=90°，AB=DE時，由HL可得Rt△ABC≌C、當(dāng)∠A=∠D，AC=DF時，由兩邊及一邊的對角相等不能得到△ABC≌△DEF，該選項符合題意；D、當(dāng)AB=DE，AC=DF時，由SSS可得△ABC≌△DEF，該選項不合題意；故選：C．31．（24-25八年級上·陜西西安·期末）如圖，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，還需添加兩個條件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一組條件是（

）A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DCC．BC=EC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠ACD=∠BCE【答案】C【分析】本題考查全等三角形的判定定理，根據(jù)全等三角形的判定定理逐個判定即可．能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL．【詳解】解：A．AB=DE，∠B=∠E，BC=EC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEC，故此選項不符合題意；B．AB=DE，AC=DC，BC=CE，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出△ABC≌△DEC，故此選項不符合題意；C．AB=DE，BC=EC，∠A=∠D，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEC，故此選項符合題意；D．∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE，即∠ACB=∠DCE，∠ACB=∠DCE，∠B=∠E，AB=DE，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DEC，故此選項不符合題意．故選：C．32．（24-25八年級上·安徽滁州·期末）如圖，在△ABC和△DEF中，點(diǎn)B、F、C、D在同一條直線上，已知∠A=∠D，AB=DE，添加以下條件，不能判定△ABC≌△DEF的是（

）A．BC=EF B．AC=DF C．∠ACB=∠DFE D．∠B=∠E【答案】A【分析】本題考查了全等三角形的判定，根據(jù)全等三角形的判定法則即可得出答案，掌握全等三角形的判定法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵∠A=∠D，AB=DE，∴當(dāng)BC=EF不能判定△ABC≌△DEF，故A選項符合題意；當(dāng)AC=DF，根據(jù)SAS能判定△ABC≌△DEF，故B選項不符合題意；當(dāng)∠ACB=∠DFE，根據(jù)AAS能判定△ABC≌△DEF，故C選項不符合題意；當(dāng)∠B=∠E，根據(jù)ASA能判定△ABC≌△DEF，故D選項不符合題意；故選：A．33．（24-25八年級上·江西上饒·期末）如圖，已知AB=DC,BE⊥AD,CF⊥AD，垂足分別為E，F(xiàn)，下列條件：①∠B=∠C；②AB∥CD；③BE=CF；④AF=DE，選擇一個就可以判定Rt△ABE≌A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④【答案】D【分析】本題考查了三角形全等的判定方法，解題的關(guān)鍵在于掌握判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS，SAS，ASA，HL．根據(jù)相關(guān)判斷判定方法逐項判斷，即可解題．【詳解】解：∵BE⊥AD于點(diǎn)E，CF⊥AD于點(diǎn)F，∴∠AEB=∠DFC=90°，∵AB=CD，∠B=∠C，∴Rt△ABE≌故①可以判定Rt△ABE≌∵AB∥∴∠A=∠D，∵∠AEB=∠DFC=90°，AB=CD，∴Rt△ABE≌故②可以判定Rt△ABE≌∵BE=CF，∠AEB=∠DFC=90°，AB=CD，∴Rt△ABE≌故③可以判定Rt△ABE≌∵AF=DE，∴AF?EF=DE?EF，即AE=DF，∵∠AEB=∠DFC=90°，AB=CD，∴Rt△ABE≌故③可以判定Rt△ABE≌綜上所述，①②③④可以判定Rt△ABE≌故選：D．【題型8】全等三角形性質(zhì)與判定的綜合34．（22-23八年級下·廣東清遠(yuǎn)·期中）在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D為AB延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊上，且BE=BD，連接AE、DE、DC．(1)求證：△ABE≌△CBD；(2)若∠CAE=30°，求∠BDC的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)75°【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形等邊對等角．（1）利用SAS即可得證；（2）由全等三角形對應(yīng)角相等得到∠AEB=∠CDB，利用外角的性質(zhì)求出∠AEB的度數(shù)，即可確定出∠BDC的度數(shù)．【詳解】（1）證明：∵∠ABC=90°，D為AB延長線上一點(diǎn)，∴∠ABC=∠CBD=90°，在△ABE和△CBD中，AB=CB∠ABC=∠CBD∴△ABE≌△CBDSAS（2）解：∵在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，∴∠BAC=∠ACB=45°，由（1）得：△ABE≌△CBD，∴∠AEB=∠BDC，∵∠AEB為△AEC的外角，∴∠AEB=∠ACB+∠CAE=30°+45°=75°，∴∠BDC=∠AEB=75°．35．（23-24八年級上·浙江嘉興·期末）如圖，已知AB∥CF，DE=EF．(1)求證：△ADE≌△CFE；(2)若AB=7，CF=4，求BD的長．【答案】(1)見解析(2)3【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．（1）根據(jù)AAS證明△ADE≌△CFE即可；（2）利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問題；【詳解】（1）證明：∵AB∥CF，∴∠A=∠FCE，在△ADE和△CFE中，∠A=∠FCE∠AED=∠CEF∴△ADE≌△CFE(AAS（2）解：∵△ADE≌△CFE，∴AD=CF=4，∴BD=AB?AD=7?4=3．36．（23-24七年級下·山西臨汾·期末）如圖所示，△ABC≌△ADE，且∠CAD=30°，∠EAB=120°，DE∥(1)求∠CAB的度數(shù)；(2)求∠DFB的度數(shù)．【答案】(1)45°(2)105°【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：∵△ABC≌△ADE，∴∠DAE=∠CAB，∵∠EAB=120°，∠CAD=30°，∴∠DAE=∠CAB=1（2）解：∵DE∥∴∠D=∠DAC=30°，∵△ABC≌△ADE，∴∠B=∠D=30°，∴∠DFB=∠B+∠FAB=30°+45°+30°=105°．37．（23-24九年級上·湖北宜昌·期末）如圖，△ABE和△ACD都是等邊三角形，△EAC旋轉(zhuǎn)后能與△ABD重合，EC與BD相交于點(diǎn)F．(1)試說明△AEC≌(2)求∠DFC的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)60°【分析】本題考查了等邊三角形性質(zhì)，全等三角形性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，對頂角，三角形外角性質(zhì)等知識點(diǎn)的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，題目綜合性比較強(qiáng)，難度適中．（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)推出AE=AB，AD=AC，∠EAB=∠DAC=60°，求出∠EAC=∠BAD，根據(jù)（2）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)推出∠EAB=60°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)推出∠AGC=∠AEC+60°=∠ABD+∠GFB，求出∠GFB的度數(shù)，根據(jù)對頂角相等求出即可．【詳解】（1）證明：∵△ABE和△ACD都是等邊三角形，∴AE=AB，∴∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，在△AEC和△ABD中AE=AB∠EAC=∠BAD∴△AEC≌（2）證明：如圖，AB與EC交于點(diǎn)G，∵△AEC≌△ABD∴∠AEC=∠ABD，∵∠AGC=∠AEG+∠EAB=∠AEC+60°，∴∠AGC=∠GFB+∠ABD=∠GFB+∠AEC，∴∠AEC+60°=∠GFB+∠AEC，∴∠GFB=60°，∴∠DFC=∠GFB=60°．38．（24-25八年級上·廣西來賓·期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，點(diǎn)E在邊AD上，延長BE交AC于點(diǎn)F，且△ACD≌(1)求證：∠AFE=90°；(2)若S△BCF=20，S四邊形【答案】(1)見詳解(2)4【分析】（1）先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ADC=∠BDE，∠CAD=∠DBE，再根據(jù)平角的定義計算出∠ADC=∠BDE=90°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可證明∠AFE=∠BDE=90°；（2）先計算出S△BDE=12，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到S△ACD本題考查了三角形內(nèi)角和性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)角相等，全等三角形的面積相等．【詳解】（1）解：∵△ACD∴∠ADC=∠BDE，∠CAD=∠DBE，∵∠ADC+∠BDE=180°，∴∠ADC=∠BDE=90°，∵∠AEF+∠AFE+∠EAF=∠BED+∠BDE+∠DBE，而∠AEF=∠BED，∴∠AFE=∠BDE=90°；（2）解：∵S△BCF=20∴S∵△ACD≌∴S∴S

【題型9】全等三角形綜合39．（24-25八年級上·安徽六安·期中）如圖，AB=AD，∠BAD=140°，AB⊥CB于點(diǎn)B，AD⊥CD于點(diǎn)D，E、F分別是CB、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=70°，下列結(jié)論中①BC=DC，②△ADF≌△ABE，③FA平分∠DFE，④EF平分∠AEC，⑤BE+DF=EF．其中正確的結(jié)論是（

）A．②③⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤【答案】C【分析】此題重點(diǎn)考查角平分線的定義，線段的和差運(yùn)算，角的和差運(yùn)算，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確地作出輔助線并且證明△EAG≌△EAF是解題的關(guān)鍵．連接AC，可證明Rt△ABC≌Rt△ADCHL，得到BC=DC，故①正確；由E、F分別是CB、CD上的任意點(diǎn)，可知DF與BE不一定相等，△ADF與△ABE也不一定全等，可判斷，②錯誤；延長CB到點(diǎn)G，使BG=DF，連接AG，先證明△ABG≌△ADF得AG=AF，∠BAG=∠DAF，∠G=∠AFD，由∠BAD=140°，∠EAF=70°，可以推導(dǎo)出∠EAG=70°，則∠EAG=∠EAF，即可證明△EAG≌△EAF，得【詳解】解：如圖所示，連接AC，∵AB⊥CB于點(diǎn)B，AD⊥CD于點(diǎn)∴∠D=∠B=90°，∵AB=AD，AC=AC，∴Rt△ABC≌∴BC=DC，故①正確；∵DF與BE不一定相等，∴△ADF與△ABE不一定全等，故②錯誤；延長CB到點(diǎn)G，使BG=DF，連接AG，則∠ABG=180°?∠ABE=90°，∴∠ABG=∠D，在△ABG和△ADF中，AB=AD∠ABG=∠D∴△ABG≌△ADFSAS∴AG=AF，∵∠BAD=140°，∴∠EAG=∠BAE+∠BAG=∠BAE+∠DAF=∠BAD?∠EAF=70°，∴∠EAG=∠EAF，在△EAG和△EAF中，AG=AF∠EAG=∠EAF∴△EAG≌△EAFSAS，∴∠G=∠AFE∴∠AFD=∠AFE，∴FA平分∠DFE，故③⑤正確；若EF平分∠AEC，而∠AEF=∠AEG，∴∠CEF=∠AEF=∠AEG=60°，與題干信息矛盾，故④錯誤；故選C.40．（24-25八年級上·廣西百色·期末）如圖，在△ABE和△BCD中，AB=BE=EA,BC=CD=DB，且兩個三角形在線段AC同側(cè)，①△ABD≌△EBC；②△NBC≌△MBD；③△ABM≌△EBN；④△AME≌△BCD．則上述結(jié)論中正確的是（

）A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④【答案】B【分析】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，即可推出△ABD≌△EBC，可得∠BDM=∠BCN，∠BEN=∠BAM，即可推出△NBC≌△MBD，然后可得BM=BN，即可推出△ABM≌△EBN．【詳解】解：∵AB=BE=EA，BC=CD=DB，∴△ABE和△BCD為等邊三角形，∴∠ABE=∠DBC=∠DCB=∠EBD=60°，∴∠ABD=∠EBC=120°，則在△ABD和△EBC中，AB=EB∠ABE=∠EBC∴△ABD≌△EBCSAS∴∠ADB=∠ECB，則在△NBC和△MBD中，∠MDB=∠NCB∠MBD=∠NBC∴△NBC≌△MBDAAS∴BM=BN，則在△ABM和△EBN中，AB=EB∠ABM=∠EBN∴△ABM≌△EBNSAS但△AME≌△BCD不一定成立，故④不符合題意；故選：B．41．（22-23八年級上·吉林長春·期中）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，則下列結(jié)論：①DA平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB；⑤A、D兩點(diǎn)一定在線段EC的垂直平分線上，其中正確的有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，由條件可證明△ACD≌【詳解】解：∵DE⊥AB，∴∠C=∠DEA=90°，∵AD平分∠BAC，∴CD=DE，在Rt△ACD和RtCD=DEAD=AD∴Rt△ACD∴∠EDA=∠CDA，∴DA平分∠CDE故①正確；∵AB=AE+BE，且AC=AE，∴AC+BE=AB；故④正確；∵AE=AC，DE=DC，∴A、D都在線段CE的垂直平分線上，∴AD是線段CE的垂直平分線，故⑤正確；∵∠BAC+∠B=∠BDE+∠B=90°，∴∠BAC=∠BDE，故②正確；若DE平分∠ADB，則E應(yīng)為AB中點(diǎn)，由條件無法得出，故③不正確；綜上可知正確的結(jié)論有：①②④⑤，共四個，故選：C．42．（24-25八年級上·山東濱州·期末）如圖所示，直線AB交x軸于點(diǎn)Aa,0，交y軸于點(diǎn)B0,b,a,b(1)求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；(2)如圖1，若C的坐標(biāo)為(?1,0)，且AH⊥BC于點(diǎn)H,AH交OB于點(diǎn)P．①求證：△OAP≌△OBC．②試求點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)如圖2，若點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M為y軸正半軸上一動點(diǎn)，連接MD，過D作DN⊥DM交x軸于N點(diǎn)，當(dāng)M點(diǎn)在y軸正半軸上運(yùn)動的過程中，式子S△BDM【答案】(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,?4)(2)①見解析；②(0,?1)(3)S△BDM【分析】本題主要考查平面直角坐標(biāo)系和全等三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平方根和平方的非負(fù)性即可求出答案；（2）①根據(jù)坐標(biāo)得到OA=OB，再通過等角的余角相等證明∠APO=∠BPH和∠OAP=∠OBC，即可證明結(jié)論；②由①得到OC=OP，即可求出答案；（3）連接OD，證明△ODM≌△ADNASA，得到他們的面積相等，即可得到S【詳解】（1）解：∵∴a?4=0,b+4=0；∴a=4,b=?4；∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,?4)；（2）①證明：∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,?4)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0)，∴OA=OB，∵AH⊥BC，∠AOP=90°，∴∠BHP=∠AOP=90°，∵∠APO=∠BPH，∴∠OAP=∠OBC，在△OAP和△OBC∠OAP=∠OBCOA=OB∴△OAP≌△OBCASA②解：∵△OAP≌△OBC，∴OP=OC=1，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,?1)；（3）解：S△BDM理由如下：如圖，連接OD，∵OA=OB,D為AB的中點(diǎn)，∠AOB=90°，∴OD⊥AB,∠BOD=∠AOD=∠OAD=45°,OD=OA=OB，∴∠NAD=135°,∠MOD=135°，∴∠MOD=∠NAD，∵∠ODA=∠MDN=90°，∴∠MDO=∠NDA，在△ODM與△ADN中，∠MOD=∠NAD∴△ODM≌△ADNASA∴S∴S43．（24-25八年級上·山東濱州·期末）【教材呈現(xiàn)】在人教版八年級上冊數(shù)學(xué)教材P53活動2

用全等三角形研究：“箏形”如圖，四邊形ABCD中，AD=CD,AB=CB．我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．請你自己畫一個箏形，