3.4.1用二分法求方程的近似解江蘇省淮州中學(xué)曾寧江問題情境：

問題1:從上海到美國(guó)舊金山的海底電纜有15個(gè)接點(diǎn),現(xiàn)在某接點(diǎn)發(fā)生故障,需及時(shí)修理,為了盡快斷定故障發(fā)生點(diǎn),一般至少需要檢查幾個(gè)接點(diǎn)？123456789101112131415問題2

1.能否求解以下幾個(gè)方程

(1)x2－2x－1=0(2)2x=4－x(3)x3+3x－1=02.不解方程,能否解出它們的近似解？指出：用配方法求得方程x2－2x－1=0的解,但此法不能運(yùn)用于解另外兩個(gè)方程.可得：方程x2－2x－1=0一個(gè)根x1在區(qū)間(2,3)內(nèi),另一個(gè)根x2在區(qū)間(－1,0)內(nèi)例1不解方程,如何求方程x2－2x－1=0的一個(gè)正的近似解（精確到0.1）?xy1203y=x2-2x-1-1由此可知：借助函數(shù)f(x)=x2－2x－1的圖象,我們發(fā)現(xiàn)f(2)=－1<0,f(3)=2>0,這表明此函數(shù)圖象在區(qū)間(2,3)上穿過x軸一次,可得出方程在區(qū)間(2,3)上有惟一解.畫出y=x2－2x－1的圖象,如圖思考：如何進(jìn)一步有效縮小根所在的區(qū)間？數(shù)離形時(shí)少直觀,形離數(shù)時(shí)難入微！2-3+xy1203y=x2-2x-1-12-3+2.5+2.25--2.375-2-3+2.25-2.5+2.375-2.4375+2-2.5+3+232.52-3+2.5+2.25-22.52.25由于2.375與2.4375的近似值都為2.4,停止操作,所求近似解為2.4.1．簡(jiǎn)述上述求方程近似解的過程x1∈(2,3)∵

f(2)<0,f(3)>0x1∈(2,2.5)∴f(2)<0,f(2.5)>0x1∈(2.25,2.5)∴

f(2.25)<0,f(2.5)>0x1∈(2.375,2.5)∴

f(2.375)<0,f(2.5)>0x1∈(2.375,2.4375)∴

f(2.375)<0,f(2.4375)>0∵f(2.5)=0.25>0∵

f(2.25)=－0.4375<0∵

f(2.375)=－0.2351<0∵

f(2.4375)=0.105>0∵

2.375與2.4375的近似值都是2.4,∴x1≈2.4解：設(shè)f(x)=x2－2x－1,設(shè)x1為其正的零點(diǎn)2．二分法定義⑴自行探究定義

對(duì)于在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷,且f(a)f(b)<0的函數(shù)y=f(x),通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn),進(jìn)而得到零點(diǎn)(或?qū)?yīng)方程的根)近似解的方法叫做二分法.1、函數(shù)y=f(x)在[a,b]上連續(xù)不斷.2、

y=f(x)滿足

f(a)f(b)<0注意：

二分法求解方程f(x)=0(或g(x)=h(x))近似解的基本步驟：困難在哪里？確定第一個(gè)區(qū)間！歸納總結(jié)利用“f(m)f(n)<0,則在(m,n)內(nèi)必有零點(diǎn)”.（2）函數(shù)狀態(tài)法；2．不斷將解所在的區(qū)間一分為二;3．根據(jù)精確度得出近似解.1．尋找解所在的區(qū)間：（1）圖象法；例2：利用計(jì)算器,求方程2x=4－x的近似解（精確到0.1）12xy404y=2xy=4－x1怎樣找到它的解所在的區(qū)間呢？在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫函數(shù)y=2x

與y=4－x的圖象,如圖：提問：能否不畫圖確定根所在的區(qū)間？得:方程有一個(gè)解x0∈(0,4)如果畫得很準(zhǔn)確,可得x0∈(1,2)解：設(shè)函數(shù)f(x)=2x+x－4則易知f(x)在R上是增函數(shù)∴f(x)在(0,2)內(nèi)有惟一零點(diǎn),∴方程2x+x－4=0在(0,2)內(nèi)有惟一解x0.由f(1)=－1<0,f(2)=2>0得：x0∈(1,2)由f(1.5)=0.33>0,f(1)=－1<0得：x0∈(1,1.5)由f(1.25)=－0.37<0,f(1.5)>0得：x0∈(1.25,1.5)由f(1.375)=－0.031<0,f(1.5)>0得：x0∈(1.375,1.5)由f(1.4375)=0.146>0,f(1.375)<0得：x0∈(1.375,1.4375)∵

1.375與1.4375的近似值都是1.4,∴x0≈1.4∵f(0)=－3<0,f(2)=2>0練習(xí)：求方程x3+3x－1=0的一個(gè)近似解

(精確到0.01).畫y=x3+3x－1的圖象比較困難,變形為x3=1－3x,畫兩個(gè)函數(shù)的圖象如何？xy10y=1-3xy=x31