微積分轉(zhuǎn)專業(yè)試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=x^2\)在\(x=1\)處的導(dǎo)數(shù)是（）A.1B.2C.3D.42.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)的值為（）A.0B.1C.-1D.不存在3.函數(shù)\(f(x)=e^x\)的原函數(shù)是（）A.\(e^x+C\)B.\(-e^x+C\)C.\(xe^x+C\)D.\(\frac{e^x}{x}+C\)4.定積分\(\int_{0}^{1}x^2dx\)的值為（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.1D.25.曲線\(y=x^3\)的拐點(diǎn)是（）A.\((0,0)\)B.\((1,1)\)C.\((-1,-1)\)D.無拐點(diǎn)6.若\(y=\lnx\)，則\(y^\prime\)等于（）A.\(\frac{1}{x}\)B.\(x\)C.\(-\frac{1}{x}\)D.\(x^2\)7.函數(shù)\(f(x)=2x^2+3x+1\)的極小值點(diǎn)是（）A.\(x=-\frac{3}{4}\)B.\(x=\frac{3}{4}\)C.\(x=0\)D.\(x=1\)8.\(\int\cosxdx\)等于（）A.\(\sinx+C\)B.\(-\sinx+C\)C.\(\tanx+C\)D.\(-\tanx+C\)9.已知\(y=x^n\)，則\(y^{(n)}\)（\(n\)階導(dǎo)數(shù)）為（）A.\(n!\)B.\(x^n\)C.\(nx^{n-1}\)D.010.函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的定義域是（）A.\(x\neq0\)B.\(x\neq1\)C.\(x\gt1\)D.\(x\lt1\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\lnx\)2.下列極限存在的是（）A.\(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\)B.\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\)C.\(\lim_{x\to\infty}x\)D.\(\lim_{x\to0}x\)3.以下哪些是基本積分公式（）A.\(\intx^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C(n\neq-1)\)B.\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)C.\(\inte^xdx=e^x+C\)D.\(\int\sinxdx=-\cosx+C\)4.函數(shù)\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處可導(dǎo)的必要條件有（）A.函數(shù)在\(x_0\)處連續(xù)B.左右導(dǎo)數(shù)存在C.左右導(dǎo)數(shù)相等D.函數(shù)在\(x_0\)處有定義5.下列曲線中，有水平漸近線的是（）A.\(y=\frac{1}{x}\)B.\(y=e^x\)C.\(y=\arctanx\)D.\(y=x^2\)6.關(guān)于函數(shù)\(y=x^4\)，正確的說法有（）A.是偶函數(shù)B.在\((-\infty,0)\)上單調(diào)遞減C.在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增D.有最小值7.下列哪些是求導(dǎo)的運(yùn)算法則（）A.\((u+v)^\prime=u^\prime+v^\prime\)B.\((uv)^\prime=u^\primev+uv^\prime\)C.\((\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\primev-uv^\prime}{v^2}(v\neq0)\)D.\((u^n)^\prime=nu^{n-1}\)8.定積分的性質(zhì)包括（）A.\(\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx\)（\(k\)為常數(shù)）B.\(\int_{a}^[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx+\int_{a}^g(x)dx\)C.\(\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx\)D.\(\int_{a}^f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^f(x)dx\)（\(a\ltc\ltb\)）9.函數(shù)\(y=\cosx\)的特點(diǎn)有（）A.周期為\(2\pi\)B.值域?yàn)閈([-1,1]\)C.是偶函數(shù)D.在\([0,\pi]\)上單調(diào)遞減10.以下哪些點(diǎn)可能是函數(shù)\(f(x)\)的極值點(diǎn)（）A.駐點(diǎn)B.導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)C.區(qū)間端點(diǎn)D.函數(shù)值為0的點(diǎn)三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sqrt{x}\)在\(x=0\)處可導(dǎo)。（）2.\(\lim_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}=1\)。（）3.若\(f^\prime(x_0)=0\)，則\(x_0\)一定是\(f(x)\)的極值點(diǎn)。（）4.\(\int_{0}^{2\pi}\sinxdx=0\)。（）5.函數(shù)\(y=x^3+1\)的圖像關(guān)于\(y\)軸對稱。（）6.常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0。（）7.函數(shù)\(y=\ln(x^2+1)\)的定義域?yàn)閈(R\)。（）8.若\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定有最大值和最小值。（）9.曲線\(y=\frac{1}{x}\)沒有鉛直漸近線。（）10.\(\intf^\prime(x)dx=f(x)\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+1\)的單調(diào)區(qū)間。答案：先求導(dǎo)\(y^\prime=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(y^\prime\gt0\)，解得\(x\lt0\)或\(x\gt2\)，此為單調(diào)遞增區(qū)間；令\(y^\prime\lt0\)，解得\(0\ltx\lt2\)，此為單調(diào)遞減區(qū)間。2.計(jì)算定積分\(\int_{1}^{2}(x+\frac{1}{x})dx\)。答案：根據(jù)積分公式\(\int(x+\frac{1}{x})dx=\frac{1}{2}x^2+\ln|x|+C\)，則\(\int_{1}^{2}(x+\frac{1}{x})dx=(\frac{1}{2}x^2+\lnx)\big|_{1}^{2}=(\frac{1}{2}\times2^2+\ln2)-(\frac{1}{2}\times1^2+\ln1)=\frac{3}{2}+\ln2\)。3.求函數(shù)\(y=\sin(2x+1)\)的導(dǎo)數(shù)。答案：令\(u=2x+1\)，則\(y=\sinu\)。根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，\(y^\prime_y=\cosu\)，\(u^\prime_x=2\)，所以\(y^\prime=y^\prime_y\cdotu^\prime_x=2\cos(2x+1)\)。4.簡述函數(shù)連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系。答案：可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)。即函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)，則在該點(diǎn)必定連續(xù)；而函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，在該點(diǎn)不一定可導(dǎo)，比如\(y=|x|\)在\(x=0\)處連續(xù)但不可導(dǎo)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的圖像特點(diǎn)。答案：定義域?yàn)閈(x\neq1\)。當(dāng)\(x\gt1\)時，\(y\gt0\)且單調(diào)遞減；當(dāng)\(x\lt1\)時，\(y\lt0\)且單調(diào)遞減。\(x=1\)是鉛直漸近線，\(y=0\)是水平漸近線，圖像分布在一、三象限。2.談?wù)劺脤?dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的步驟。答案：首先求函數(shù)定義域，再求導(dǎo)數(shù)并令導(dǎo)數(shù)為0得到駐點(diǎn)，同時找出導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。然后將駐點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值。3.說明定積分與不定積分的聯(lián)系與區(qū)別。答案：聯(lián)系：定積分計(jì)算常通過求不定積分找到原函數(shù)，再用牛頓-萊布尼茨公式計(jì)算。區(qū)別：不定積分是所有原函數(shù)的集合，結(jié)果含常數(shù)\(C\)；定積分是一個數(shù)值，與積分區(qū)間有關(guān)，無常數(shù)\(C\)。4.討論如何判斷函數(shù)的凹凸性。答案：先求函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)，若在某區(qū)間內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)大于0，則函數(shù)在該區(qū)間是凹的；若二階導(dǎo)數(shù)小于0，則函數(shù)在該區(qū)間是凸的。若二階導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)為0或不存在，該點(diǎn)可能是拐點(diǎn)，需進(jìn)一步判斷兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)符號。答案一、單項(xiàng)選擇題1.B