6.3.1二項(xiàng)式定理備注：資料包含：1.基礎(chǔ)知識(shí)歸納；考點(diǎn)分析及解題方法歸納：考點(diǎn)包含：求二項(xiàng)展開(kāi)式;二項(xiàng)展開(kāi)式的應(yīng)用;求二項(xiàng)展開(kāi)式第K項(xiàng);多項(xiàng)式的展開(kāi)式;根據(jù)二項(xiàng)式第K項(xiàng)求值課堂知識(shí)小結(jié)考點(diǎn)鞏固提升知識(shí)歸納二項(xiàng)式定理特征：=1\*GB3①右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開(kāi)式=2\*GB3②各項(xiàng)的系數(shù)叫做二項(xiàng)式系數(shù)=3\*GB3③叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，它是二項(xiàng)展開(kāi)式的第項(xiàng)即=4\*GB3④二項(xiàng)展開(kāi)式特點(diǎn)：共項(xiàng)；按字母的降冪排列，次數(shù)從到遞減；二項(xiàng)式系數(shù)中從到遞增，與的次數(shù)相同；每項(xiàng)的次數(shù)都是考點(diǎn)講解考點(diǎn)講解考點(diǎn)1：求二項(xiàng)展開(kāi)式例1．求的展開(kāi)式．【答案】【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，展開(kāi)式為.【方法技巧】根據(jù)展開(kāi)式通項(xiàng)直接寫(xiě)出結(jié)果即可.【變式訓(xùn)練】1．下列不屬于的展開(kāi)式的項(xiàng)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】按照二項(xiàng)式定理直接展開(kāi)判斷即可.【詳解】由二項(xiàng)式定理可知，，故不是展開(kāi)式的項(xiàng).故選：B2．化簡(jiǎn)（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】逆用二項(xiàng)式定理化簡(jiǎn).【詳解】．故選：B3．若，則A．60 B．70 C．80 D．90【答案】B【分析】利用二項(xiàng)展開(kāi)式化簡(jiǎn)，即可得到結(jié)果.【詳解】∴故選：B．4．若的二項(xiàng)展開(kāi)式共有8項(xiàng)，則n=___________.【答案】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：二項(xiàng)式展開(kāi)式中一共有項(xiàng)，所以，解得；故答案為：考點(diǎn)2：二項(xiàng)展開(kāi)式的應(yīng)用例2．設(shè)，，則A－B的值為（

）A．128

B．129

C．47

D．0【答案】A【詳解】，故選：A【方法技巧】根據(jù)二項(xiàng)式定理進(jìn)行求解即可.【變式訓(xùn)練】1．在的展開(kāi)式中，的系數(shù)是（

）A．35 B． C．560 D．【答案】C【分析】利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求得展開(kāi)式中的系數(shù).【詳解】二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，所以的展開(kāi)式中的系數(shù)為?24?C故選：C2．（）A．3n B．2·3nC．－1 D．【答案】D【分析】根據(jù)條件結(jié)合的展開(kāi)式即得.【詳解】.故選：D.3．若，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】運(yùn)用賦值法可求解.【詳解】令，得，令，得，則.故選：A4．化簡(jiǎn)等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由二項(xiàng)式定理寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的二項(xiàng)式，即可得答案.【詳解】由，所以.故選：B考點(diǎn)3：求二項(xiàng)展開(kāi)式第K項(xiàng)例3．若的展開(kāi)式共有項(xiàng)，則___________；展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是___________.【答案】

6

60【詳解】因的展開(kāi)式共有項(xiàng)，則，解得，的展開(kāi)式通項(xiàng)為：，由得：，所以的展開(kāi)式是.故答案為：6；60【方法技巧】根據(jù)給定條件，利用二項(xiàng)式定理直接求出n值，再利用展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求解常數(shù)項(xiàng)作答.【變式訓(xùn)練】1．展開(kāi)式中的第三項(xiàng)為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)展開(kāi)式通項(xiàng)公式寫(xiě)出第三項(xiàng)即可.【詳解】由題設(shè)，展開(kāi)式通項(xiàng)為，第三項(xiàng)有，則.故選：D2．已知命題的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為7，命題：若函數(shù)是奇函數(shù)，則，下列命題中為真命題的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先判斷的真假，再利用復(fù)合命題的真值表判斷即可【詳解】的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為，故命題為真命題，進(jìn)而為假命題；若函數(shù)為奇函數(shù)，則，則，即，故命題為假命題，為真命題．所以為假命題，為真命題，為假命題，為假命題，故選：B．3．二項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_（用具體數(shù)值表示）．【答案】【分析】寫(xiě)出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式并化簡(jiǎn)整理，令即可得到常數(shù)項(xiàng)，計(jì)算即得答案.【詳解】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：，令，則，∴常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：．4．若展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)，則的最小值是______．【答案】4【分析】寫(xiě)出通項(xiàng)公式，由常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為0得出n與k的關(guān)系式，即可進(jìn)一步得出的最小值【詳解】由二項(xiàng)式展開(kāi)項(xiàng)通項(xiàng)公式可得，要含有常數(shù)項(xiàng)且最小，則，即，∵，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，為4.故答案為：4考點(diǎn)4：多項(xiàng)式的展開(kāi)式例4．化簡(jiǎn)多項(xiàng)式的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】依題意可知，多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都可看作，故該多項(xiàng)式為的展開(kāi)式，化簡(jiǎn)．故選：D.【方法技巧】由已知，將多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都變成二項(xiàng)式展開(kāi)式的結(jié)構(gòu)，觀察結(jié)構(gòu)變化，即可進(jìn)行合并，完成求解.【變式訓(xùn)練】1．化簡(jiǎn)（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】將代數(shù)式進(jìn)行變形，結(jié)合二項(xiàng)式定理可得結(jié)果.【詳解】.故選：B.2．在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（

）A． B．21 C． D．15【答案】A【分析】含的項(xiàng)是由的6個(gè)括號(hào)中的5個(gè)括號(hào)取x，1個(gè)括號(hào)取常數(shù)，從而得到答案.【詳解】含的項(xiàng)是由的6個(gè)括號(hào)中的5個(gè)括號(hào)取x，1個(gè)括號(hào)取常數(shù)，所以展開(kāi)式含的項(xiàng)的系數(shù)為：.故選：A.3．化簡(jiǎn)(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＝________．【答案】x5－1【分析】逆用二項(xiàng)式定理即可計(jì)算.【詳解】原式＝(x－1)5＋(x－1)4＋(x－1)3＋(x－1)2＋(x－1)＋－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1．故答案為：x5－1.4．用二項(xiàng)式定理展開(kāi)下列各式：(1)；(2)．【答案】(1)；(2).【分析】（1）直接利用二項(xiàng)式定理求解；（2）先化簡(jiǎn)原式為，再利用二項(xiàng)式定理求解.(1)解：．(2)解：．考點(diǎn)5：根據(jù)二項(xiàng)式第K項(xiàng)求值例5．展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為20，則______.【答案】##【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，解得，則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為，解得.故答案為：.【方法技巧】利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求其常數(shù)項(xiàng)，解方程求即可.【變式訓(xùn)練】1．若的展開(kāi)式中第4項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，則n的值為（

）A．14 B．16 C．18 D．20【答案】C【分析】寫(xiě)出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)，令時(shí)的指數(shù)位置等于即可求解.【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令可得為常數(shù)項(xiàng)，可得，可得，故選：C.2．已知在n的展開(kāi)式中，第9項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則：（1）n的值為_(kāi)_______；（2）含x的整數(shù)次冪的項(xiàng)有________個(gè)．【答案】

10

6【分析】（1）寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，根據(jù)第9項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)求出n的值；（2）要使2nk，即為整數(shù)，得出k的取值.【詳解】二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)Tk+1==．（1）因?yàn)榈?項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，即當(dāng)k=8時(shí)，2n－k=0，解得n=10．（2）要使2n－k，即為整數(shù)，只需k為偶數(shù)，由于k=0，1，2，3，…，9，10，故符合要求的有6項(xiàng)，分別為展開(kāi)式的第1，3，5，7，9，11項(xiàng)．故答案為：10；6.知識(shí)小結(jié)知識(shí)小結(jié)二項(xiàng)式定理特征：=1\*GB3①右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開(kāi)式=2\*GB3②各項(xiàng)的系數(shù)叫做二項(xiàng)式系數(shù)=3\*GB3③叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，它是二項(xiàng)展開(kāi)式的第項(xiàng)即=4\*GB3④二項(xiàng)展開(kāi)式特點(diǎn)：共項(xiàng)；按字母的降冪排列，次數(shù)從到遞減；二項(xiàng)式系數(shù)中從到遞增，與的次數(shù)相同；每項(xiàng)的次數(shù)都是鞏固提升鞏固提升一、單選題1．的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】使用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)是，（）由題意，，因此，的系數(shù)是.故選：B.2．若的展開(kāi)式有9項(xiàng)，則自然數(shù)的值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)即可得解.【詳解】解：因?yàn)榈恼归_(kāi)式共有項(xiàng)，所以，所以，故選：B．3．已知，則（

）A． B．0 C．1 D．32【答案】A【分析】令可得．【詳解】令，則.故選：A.4．若的展開(kāi)式共有12項(xiàng)，則（

）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】A【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理可知，求出答案.【詳解】由二項(xiàng)式定理知展開(kāi)式共有項(xiàng)，所以，即．故選：A．5．的展開(kāi)式中的系數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由二項(xiàng)式定理將展開(kāi)，然后得出，即可求出的系數(shù).【詳解】由二項(xiàng)式定理：觀察可知的系數(shù)為.故選：B.6．若的展開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)，則可能的取值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用通項(xiàng)公式，令的指數(shù)為0，可得與的關(guān)系，即可求解【詳解】展開(kāi)式的第項(xiàng)令則（）所以為偶數(shù)故選：A7．在的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)的系數(shù)為（

）A．120 B．40 C．30 D．200【答案】C【分析】將整理為，根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式分析可得，對(duì)每種情況再根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式理解運(yùn)算.【詳解】，其展開(kāi)式為：根據(jù)題意可得：當(dāng)時(shí)，則，展開(kāi)式為：∴，則的項(xiàng)的系數(shù)為當(dāng)時(shí)，則，展開(kāi)式為：∴，則的項(xiàng)的系數(shù)為當(dāng)時(shí)，則，展開(kāi)式為：∴，則的項(xiàng)的系數(shù)為綜上所述：含的項(xiàng)的系數(shù)為故選：C．8．的展開(kāi)式中的系數(shù)是（

）A．45 B．84 C．120 D．210【答案】C【分析】利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，組合數(shù)的性質(zhì)，求得含項(xiàng)的系數(shù)．【詳解】解：的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)為，故選：C．二、多選題9．在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，有（）A．含x的項(xiàng) B．含的項(xiàng)C．含x4的項(xiàng) D．含的項(xiàng)【答案】ABC【分析】利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，結(jié)合所給的選項(xiàng)即可得出答案．【詳解】二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，，知A正確；當(dāng)時(shí)，，知B正確；當(dāng)時(shí)，，知C正確；當(dāng)時(shí)，，知D錯(cuò)誤．故選：ABC．10．對(duì)于二項(xiàng)式，以下判斷正確的有（

）A．存在，展開(kāi)式中有常數(shù)項(xiàng)B．對(duì)任意，展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)C．對(duì)任意，展開(kāi)式中沒(méi)有x的一次項(xiàng)D．存在，展開(kāi)式中有x的一次項(xiàng)【答案】AD【分析】利用展開(kāi)式的通項(xiàng)公式依次對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，得到答案．【詳解】設(shè)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，則，不妨令，則時(shí)，展開(kāi)式中有常數(shù)項(xiàng)，故答案A正確，答案B錯(cuò)誤；令，則時(shí)，展開(kāi)式中有的一次項(xiàng)，故C答案錯(cuò)誤，D答案正確．故選：AD三、填空題11．在展開(kāi)式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是__________．【答案】20【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可求出結(jié)果.【詳解】的展開(kāi)式中的系數(shù)為，的展開(kāi)式中的系數(shù)為，故在展開(kāi)式中，含的項(xiàng)的系數(shù)為20．故答案為：2012．若，則___________.【答案】40【分析】利用二項(xiàng)式定理得到通項(xiàng)公式，求出，得到答案.【詳解】由二項(xiàng)式定理得到通項(xiàng)公式為：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，故答案為：4013．設(shè)，且，若能被13整除，則a=___________.【答案】12【分析】直接利用二項(xiàng)式定理求解即可.【詳解】由已知得即被13整除的余數(shù)為，而，且，若能被13整除，則，即，故答案為：.14．若將函數(shù)表示成，則a3的值等于__【答案】20【分析】由，根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)理解求解.【詳解】∵，則∴當(dāng)時(shí)，則故答