2025年高二升高三數學暑假培優(yōu)講義5.2導數的幾何意義-(選擇性必修第二、三冊)含答案2025年高二升高三數學暑假培優(yōu)講義5.2導數的幾何意義-(選擇性必修第二、三冊)含答案2025年高二升高三數學暑假培優(yōu)講義5.2導數的幾何意義-(選擇性必修第二、三冊)含答案導數的幾何意義1導數的幾何意義函數y=f(x)在點x=x0處的導數的幾何意義是曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的斜率切線l的方程為y?f(x2"過點x=x0”與"在點x=曲線C：y=f(x)在點P(x0,過點P(x0,y0)的切線是指切線過點P，點P是否切點【題型一】在某點處的切線【典題1】函數y=f(x)的圖象如圖所示，f'(x)是函數f(x)的導函數，下列數值排序正確的是()A．f'2<fC．f6?f(2)<f【典題2】若直線y=x是曲線f(x)=x3－3x【典題3】已知M(1,0)，N是曲線y=ex上一點，則|MN|的最小值為.鞏固練習1(★)已知函數f(x)在R上可導，其部分圖象如圖所示，設k=f(A．k<f'(x1)<f'(C．f'(x2)<f'(x2(★)曲線y=x3+lnx+1在點(1,2)處的切線方程為3(★★)曲線y=lnx?1x在x=1處的切線的傾斜角為α，則sin2α=4(★★★)已知函數y=ex的圖象在點(ak,eak)處的切線與x軸的交點的橫坐標為5(★★★)若函數f(x)=ax+sinx的圖象上存在互相垂直的切線，則實數a的值為．【題型二】過某點處的切線【典題1】已知曲線f(x)=2x3+4，曲線過點【典題2】若過點P(－1,m)可以作三條直線與曲線C:y=xex相切，則m的取值范圍是鞏固練習1(★★)已知曲線y=lnx的切線過原點，則此切線的斜率為.2(★★)過點A(2,1)做曲線f(x)=x3－3x的切線，最多有3(★★)已知曲線f(x)=4x2的一條切線經過點(0,－1)4(★★)已知函數f(x)=x3－4x2【題型三】兩曲線的公切線【典題1】若直線y=kx+b是曲線y=ex?2的切線，也是曲線y=ex－1【典題2】若曲線C1:y=x2與曲線C2鞏固練習1(★★)已知曲線f(x)=xlnx在點(e,f(e))處的切線與曲線y=x2+a相切，則a=2(★★)若存在過點(1,0)的直線與曲線y=x3和y=ax2+1543(★★★)若二次函數f(x)=x2+1的圖象與曲線C:g(x)=aex+1(a>0)4(★★★)若曲線y=x2與y=alnx(a≠0)存在公共切線，則實數a的取值范圍是導數的幾何意義1導數的幾何意義函數y=f(x)在點x=x0處的導數的幾何意義是曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的斜率切線l的方程為y?f(x2"過點x=x0”與"在點x=曲線C：y=f(x)在點P(x0,過點P(x0,y0)的切線是指切線過點P，點P是否切點【題型一】在某點處的切線【典題1】函數y=f(x)的圖象如圖所示，f'(x)是函數f(x)的導函數，下列數值排序正確的是()A．f'2<fC．f6?f(2)<f【解析】根據題意，設M(2,f(2))、N(6,f(6))為函數的上的點，則f'(2)為函數f(x)在x=2處切線的斜率k1f'6為函數f(x)在x=6處切線的斜率f(6)－f(2)=f(6)?f(2)3?2為直線MN的斜率結合圖象分析可得k1<k故選：D．【點撥】k=tanα，直線越靠近y軸，斜率|k|越大.【典題2】若直線y=x是曲線f(x)=x3－3x【解析】依題意得f設切點P(則由導數的幾何意義可得f'∵點P在切線y=x上∴y0∵點P在曲線上∴y0由①，②,③聯(lián)立得&3x02?6∴a的值為1或134【點撥】由于本題不知道切點，由待定系數法的想法，設切點P(x0,【典題3】已知M(1,0)，N是曲線y=ex上一點，則|MN|的最小值為【解析】y=ex的導數為設N(m,em)，可得過N當MN垂直于切線時，|MN|取得最小值，可得emm?1?e因為fx=e所以m=0，即N(0,1)，所以|MN|的最小值為2．【點撥】當MN垂直切線時，|MN|取得最小值；如圖，MN≤MA≤MN鞏固練習1(★)已知函數f(x)在R上可導，其部分圖象如圖所示，設k=f(A．k<f'(x1)<f'(C．f'(x2)<f'(x【答案】B【解析】函數的增長越來越快，所以函數在該點的斜率越來越大，∴f′(x1)<k<f′(x2)．故選：B．2(★)曲線y=x3+lnx+1在點(1,2)處的切線方程為【答案】4x－y－2=0【解析】由y=x3+lnx+1，得y'=3x∴曲線在(1，2)處的斜率k=y'|x=1=4，∴曲線在點(1，2)處的切線方程為y－2=4(x－1)，即4x－y－2=0．3(★★)曲線y=lnx?1x在x=1處的切線的傾斜角為α，則sin2α=【答案】4【解析】由y=lnx?1x，得y'∴曲線y=lnx?1x在x=1處的切線斜率∵曲線y=lnx?1x在∴tanα=2，∴sin2α=2sinαcosα=2tanα故答案為：454(★★★)已知函數y=ex的圖象在點(ak,eak)處的切線與x軸的交點的橫坐標為【答案】?6【解析】∵y=ex，∴y′=ex，∴y=ex在點(ak，eak)處的切線方程是：y－eak=eak(x－ak)，整理，得eakx－y－akeak+eak=0，∵切線與x軸交點的橫坐標為ak+1，∴ak+1=ak－1，∴{an}是首項為a1=0，公差d=－1的等差數列，∴a1+a3+a5=0－2－4=－6．故答案為：－6．5(★★★)若函數f(x)=ax+sinx的圖象上存在互相垂直的切線，則實數a的值為．【答案】0【解析】∵∴f'(x)=a+cosx假設函數f(x)=ax+sinx的圖象上存在互相垂直的切線，不妨設在x=m與x=n處的切線互相垂直則(a+cosm)(a+cosn)=－1∴a2因為a的值必然存在，即方程(?)必然有解，所以判別式△所以cos解得cosm－cosn≥2或cosm－cosn≤－2由于|cosx|≤1，所以有cosm=1，cosn=－1或cosm=－1，cosn=1，且△所以(?)變?yōu)椋篴2=0故答案為：0【題型二】過某點處的切線【典題1】已知曲線f(x)=2x3+4，曲線過點【解析】∵f(x)=2x設切點為x0,2x切線方程為y?∵切線過點P(－1,2)∴解得x0=?1或則切線方程為y=6x+8或y=3【點撥】①本題點P(?1,2)不一定是切點，故可先設切點x0,2x03+4，利用“在某點處的切線”方法求出含參數②如何求解方程2x方法一拆項分組因式分解2?3?3???x0方法二待定系數法先由方程特點猜出有一個解是x0=?1,則可知x0設2x03則2∴x0【典題2】若過點P(－1,m)可以作三條直線與曲線C:y=xex相切，則m的取值范圍是【解析】y設切點為(x過點P的切線方程為y=(x代入點P坐標化簡為m=(?x即這個方程有三個不等根即可，令f(x)=?x2函數在(－∞,－2)上單調遞減，在(－2,－1)上單調遞增，在(－1,+∞)上單調遞減，故得到f－2答案為(?3【點撥】過某點作曲線的切線可以有多條，先求在曲線上一點處的切線方程，把問題轉化為方程解的個數.鞏固練習1(★★)已知曲線y=lnx的切線過原點，則此切線的斜率為.【答案】1【解析】設切點坐標為(a，lna)，∵y=lnx，∴y′=1x，切線的斜率是切線的方程為y－lna=1a(x－將(0，0)代入可得lna=1，∴a=e，∴切線的斜率是1a2(★★)過點A(2,1)做曲線f(x)=x3－3x的切線，最多有【答案】3【解析】設切點為P(x0，x03－3x0)，f′(x0)=3x02－3，則切線方程y－x03+3x0=(3x02－3)(x－x0)，代入A(2，1)得，2x03－6x02+7=0．令y=2x03－6x02+7=0，則由y′=0，得x0=0或x0=2，且當x0=0時，y=7>0，x0=2時，y=－1<0．所以方程2x03－6x02+7=0有3個解，則過點A(2，1)作曲線f(x)=x3－3x的切線的條數是3條．3(★★)已知曲線f(x)=4x2的一條切線經過點(0,－1)【答案】y=2x－1或y=－2x－1【解析】設切點為(m，n)，y=4x2的導數為y′=8x，則切線的斜率為k=8m，切線方程為y－n=8m(x－m)，代入(0，－1)可得n=8m2－1，又n=4m2．則有4m2－1=0，解得m=12或則切線的斜率為2或－2．即有過點(0，－1)的切線方程為y=2x－1或y=－2x－1．4(★★)已知函數f(x)=x3－4x2【答案】y+2=0或x－y－4=0【解析】設切點坐標為P(a，a3－4a2+5a－4)，∵f(x)=x3－4x2+5x－4，∴f′(x)=3x2－8x+5，∴切線的斜率為f′(a)=3a2－8a+5，由點斜式可得切線方程為y－(a3－4a2+5a－4)=(3a2－8a+5)(x－a)，①又根據已知，切線方程過點A(2，－2)，∴－2－(a3－4a2+5a－4)=(3a2－8a+5)(2－a)，即a3－5a2+8a－4=0，∴(a－1)(a2－4a+4)=0，即(a－1)(a－2)2=0，解得a=1或a=2，將a=1和a=2代入①可得，切線方程為y+2=0或x－y－4=0，故經過點A(2，－2)的曲線f(x)的切線方程為y+2=0或x－y－4=0【題型三】兩曲線的公切線【典題1】若直線y=kx+b是曲線y=ex?2的切線，也是曲線y=ex【解析】設直線y=kx+b與y=ex?2和y=ex－1則切線分別為y?ex1化簡得：y=ex1依題意有：ex由方程①得x1=2+x2，代入方程則b=e故答案為：12【點撥】先分別求出兩條切線，由于是公切線，所以它們是同一直線，兩切線的斜率和y軸上的截距相等.【典題2】若曲線C1:y=x2與曲線C2【解析】y=x2在點(m,m切線方程為y=2mx?my=aex在點(n,aen)如果兩個曲線存在公共切線，那么兩切線相同，則有2m=ae∵a≠0，∴m由②÷①，得?m=2(1?n)，即代入2m=aen得存在公共切線，等價于方程(?)有解，由y=4x－4,y=ae設它們剛好相切，切點為P(s,t)，則aes=4解得s=2,t=4,a=由圖易得要滿足題意a≤4又a≠0，故答案為(－∞,0)∪(0,4【點撥】得到”4n－4=aen有解”，可用分離參數法轉化為即y=a與f(x)=4x－4ex∵f'x=8x?4ex∴a≤4e2鞏固練習1(★★)已知曲線f(x)=xlnx在點(e,f(e))處的切線與曲線y=x2+a相切，則a=【答案】1－e【解析】f(x)=x?lnx的導數為y′=lnx+1，曲線f(x)=x?lnx在x=e處的切線斜率為k=2，則曲線f(x)=x?lnx在點(e，f(e))處的切線方程為y=2x－e．由于切線與曲線y=x2+a相切，故y=x2+a可聯(lián)立y=2x－e，得x2－2x+a+e=0，所以由△=4－4(a+e)=0，解得a=1－e，故答案為：1－e．2(★★)若存在過點(1,0)的直線與曲線y=x3和y=ax2+154【答案】a=?25【解析】設直線與曲線y=x3的切點坐標為(x0，y0)，則y0=x03y0x0?1若k=0，此時切線的方程為y=0，由y=0y=消去y，可得ax2+154其中△=0，即(154)2+36a解可得a=?若k=274，其切線方程為y=27由y=27消去y可得ax2－3x?9又由△=0，即9+9a=0，解可得a=－1．故a=?2564或－13(★★★)若二次函數f(x)=x2+1的圖象與曲線C:g(x)=aex+1(a>0)【答案】(0，【解析】f(x)=x2+1的導數為f′(x)=2x，g(x)=aex+1的導數為g′(x)=aex，設公切線與f(x)=x2+1的圖象切于點(x1，x12+1)，與曲線C：g(x)=aex+1切于點(x2，aex2+1)，∴2x1=aex2=a化簡可得，2x1=2x1?x12x2?∵2x1=aex2，且a>0，∴x1>0，則2x2=x1+2>2，即x2>1，由2x1=aex2，得a=2設h(x)=4(x?1)ex(x>1)，則h′(x∴h(x)在(1，2)上遞增，在(2，+∞)上遞減，∴h(x)max=h(2)=4∴實數a的取值范圍為(0，4e故答案為：(0，4e4(★★★)若曲線y=x2與y=alnx(a≠0)存在公共切線，則實數a的取值范圍是【答案】(－∞，0)∪(0，2e]【解析】y=alnx在點(n，alnn)(n>0)的切線斜率為an，切線方程為：y－alnn=an(x因為切線方程也是曲線y=x2的切線方程，所以x2－alnn=an(x－n)，可得△=a2n2?4a(1?lnn)=0，可得令f(n)=4(1－lnn)n2，(n>0)，可得f′(n)=4n(1－2lnn)，當n∈(0，e)時，f′(n)>0，函數是增函數，當n∈(e，+∞)時，f′(n)＜0，函數是減函數，所以f(e)=2e是函數的最大值，所以a∈(－∞，0)∪(0，2e]．導數的幾何意義1導數的幾何意義函數y=f(x)在點x=x0處的導數的幾何意義是曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的斜率切線l的方程為y?f(x2"過點x=x0”與"在點x=曲線C：y=f(x)在點P(x0,過點P(x0,y0)的切線是指切線過點P，點P是否切點【題型一】在某點處的切線【典題1】函數y=f(x)的圖象如圖所示，f'(x)是函數f(x)的導函數，下列數值排序正確的是()A．f'2<fC．f6?f(2)<f【解析】根據題意，設M(2,f(2))、N(6,f(6))為函數的上的點，則f'(2)為函數f(x)在x=2處切線的斜率k1f'6為函數f(x)在x=6處切線的斜率f(6)－f(2)=f(6)?f(2)3?2為直線MN的斜率結合圖象分析可得k1<k故選：D．【點撥】k=tanα，直線越靠近y軸，斜率|k|越大.【典題2】若直線y=x是曲線f(x)=x3－3x【解析】依題意得f設切點P(則由導數的幾何意義可得f'∵點P在切線y=x上∴y0∵點P在曲線上∴y0由①，②,③聯(lián)立得&3x02?6∴a的值為1或134【點撥】由于本題不知道切點，由待定系數法的想法，設切點P(x0,【典題3】已知M(1,0)，N是曲線y=ex上一點，則|MN|的最小值為【解析】y=ex的導數為設N(m,em)，可得過N當MN垂直于切線時，|MN|取得最小值，可得emm?1?e因為fx=e所以m=0，即N(0,1)，所以|MN|的最小值為2．【點撥】當MN垂直切線時，|MN|取得最小值；如圖，MN≤MA≤MN鞏固練習1(★)已知函數f(x)在R上可導，其部分圖象如圖所示，設k=f(A．k<f'(x1)<f'(C．f'(x2)<f'(x【答案】B【解析】函數的增長越來越快，所以函數在該點的斜率越來越大，∴f′(x1)<k<f′(x2)．故選：B．2(★)曲線y=x3+lnx+1在點(1,2)處的切線方程為【答案】4x－y－2=0【解析】由y=x3+lnx+1，得y'=3x∴曲線在(1，2)處的斜率k=y'|x=1=4，∴曲線在點(1，2)處的切線方程為y－2=4(x－1)，即4x－y－2=0．3(★★)曲線y=lnx?1x在x=1處的切線的傾斜角為α，則sin2α=【答案】4【解析】由y=lnx?1x，得y'∴曲線y=lnx?1x在x=1處的切線斜率∵曲線y=lnx?1x在∴tanα=2，∴sin2α=2sinαcosα=2tanα故答案為：454(★★★)已知函數y=ex的圖象在點(ak,eak)處的切線與x軸的交點的橫坐標為【答案】?6【解析】∵y=ex，∴y′=ex，∴y=ex在點(ak，eak)處的切線方程是：y－eak=eak(x－ak)，整理，得eakx－y－akeak+eak=0，∵切線與x軸交點的橫坐標為ak+1，∴ak+1=ak－1，∴{an}是首項為a1=0，公差d=－1的等差數列，∴a1+a3+a5=0－2－4=－6．故答案為：－6．5(★★★)若函數f(x)=ax+sinx的圖象上存在互相垂直的切線，則實數a的值為．【答案】0【解析】∵∴f'(x)=a+cosx假設函數f(x)=ax+sinx的圖象上存在互相垂直的切線，不妨設在x=m與x=n處的切線互相垂直則(a+cosm)(a+cosn)=－1∴a2因為a的值必然存在，即方程(?)必然有解，所以判別式△所以cos解得cosm－cosn≥2或cosm－cosn≤－2由于|cosx|≤1，所以有cosm=1，cosn=－1或cosm=－1，cosn=1，且△所以(?)變?yōu)椋篴2=0故答案為：0【題型二】過某點處的切線【典題1】已知曲線f(x)=2x3+4，曲線過點【解析】∵f(x)=2x設切點為x0,2x切線方程為y?∵切線過點P(－1,2)∴解得x0=?1或則切線方程為y=6x+8或y=3【點撥】①本題點P(?1,2)不一定是切點，故可先設切點x0,2x03+4，利用“在某點處的切線”方法求出含參數②如何求解方程2x方法一拆項分組因式分解2?3?3???x0方法二待定系數法先由方程特點猜出有一個解是x0=?1,則可知x0設2x03則2∴x0【典題2】若過點P(－1,m)可以作三條直線與曲線C:y=xex相切，則m的取值范圍是【解析】y設切點為(x過點P的切線方程為y=(x代入點P坐標化簡為m=(?x即這個方程有三個不等根即可，令f(x)=?x2函數在(－∞,－2)上單調遞減，在(－2,－1)上單調遞增，在(－1,+∞)上單調遞減，故得到f－2答案為(?3【點撥】過某點作曲線的切線可以有多條，先求在曲線上一點處的切線方程，把問題轉化為方程解的個數.鞏固練習1(★★)已知曲線y=lnx的切線過原點，則此切線的斜率為.【答案】1【解析】設切點坐標為(a，lna)，∵y=lnx，∴y′=1x，切線的斜率是切線的方程為y－lna=1a(x－將(0，0)代入可得lna=1，∴a=e，∴切線的斜率是1a2(★★)過點A(2,1)做曲線f(x)=x3－3x的切線，最多有【答案】3【解析】設切點為P(x0，x03－3x0)，f′(x0)=3x02－3，則切線方程y－x03+3x0=(3x02－3)(x－x0)，代入A(2，1)得，2x03－6x02+7=0．令y=2x03－6x02+7=0，則由y′=0，得x0=0或x0=2，且當x0=0時，y=7>0，x0=2時，y=－1<0．所以方程2x03－6x02+7=0有3個解，則過點A(2，1)作曲線f(x)=x3－3x的切線的條數是3條．3(★★)已知曲線f(x)=4x2的一條切線經過點(0,－1)【答案】y=2x－1或y=－2x－1【解析】設切點為(m，n)，y=4x2的導數為y′=8x，則切線的斜率為k=8m，切線方程為y－n=8m(x－m)，代入(0，－1)可得n=8m2－1，又n=4m2．則有4m2－1=0，解得m=12或則切線的斜率為2或－2．即有過點(0，－1)的切線方程為y=2x－1或y=－2x－1．4(★★)已知函數f(x)=x3－4x2【答案】y+2=0或x－y－4=0【解析】設切點坐標為P(a，a3－4a2+5a－4)，∵f(x)=x3－4x2+5x－4，∴f′(x)=3x2－8x+5，∴切線的斜率為f′(a)=3a2－8a+5，由點斜式可得切線方程為y－(a3－4a2+5a－4)=(3a2－8a+5)(x－a)，①又根據已知，切線方程過點A(2，－2)，∴－2－(a3－4a2+5a－4)=(3a2－8a+5)(2－a)，即a3－5a2+8a－4=0，∴(a－1)(a2－4a+4)=0，即(a－1)(a－2)2=0，解得a=1或a=2，將a=1和a=2代入①可得，切線方程為y+2=0或x－y－4=0，故經過點A(2，－2)的曲線f(x)的切線方程為y+2=0或x－y－4=0【題型三】兩曲線的公切線【典題1】若直線y=kx+b是曲線y=ex?2的切線，也是曲線y=ex【解析】設直線y=kx+b與y=ex?2和y=ex－1則切線分別為y?ex1化簡得：y=ex1依題意有：ex由方程①得x1=2+x2，代入方程則b=e故答案為：12【點撥】先分別求出兩條切線，由于是公切線，所以它們是同一直線，兩切線的斜率和y軸上的截距相等.【典題2】若曲線C1:y=x2與曲線C2【解析】y=x2在點(m,m切線方程為y=2mx?my=aex在點(n,aen)如果兩個曲線存在公共切線，那么兩切線相同，則有2m=ae∵a≠0，∴m由②÷①，得?m=2(1?n)，即代入2m=aen得存在公共切線，等價于方程(?)有解，由y=4x－4,y=ae設它們剛好相切，切點為P(s,t)，則aes=4解得s=2,t=4,a=由圖易得要滿足題意a≤4又a≠0，故答案為(－∞,0)∪(0,4【點撥】得到”4n－4=aen有解”，可用分離參數法轉化為即y=a與f(x)=4x－4ex∵f'x=8x?4ex∴a≤4e2鞏固練習1(★★)已知曲線f(x)=xlnx在點(e,f(e))處的切線與曲線y=x2+a相切，則a=【答案】1－