2025高一升高二數(shù)學(xué)暑假培優(yōu)講義6.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示-(必修第二冊(cè))含答案平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示知識(shí)點(diǎn)一平面向量的基本定理1平面向量的基本定理設(shè)

e1，e2同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，

a是該平面內(nèi)任一向量，則存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)(λ，μ)我們把{e1，如下圖，a=OM+ON=λPS唯一性的解釋若e1，e2正交分解及其坐標(biāo)表示①正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解；如上圖，重力G分解成平行斜面的力F1和垂直于斜面的壓力F②向量的坐標(biāo)表示在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量

i,j為基底，則平面內(nèi)的任一向量

a可表示為a=xi+yj=(x,y)，(x,y)向量a=(x,y)，就是以原點(diǎn)為起點(diǎn)，點(diǎn)(x,y)知識(shí)點(diǎn)二平面向量數(shù)乘運(yùn)算與數(shù)量積的坐標(biāo)表示1坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a=((1)向量的模a(2)向量的加減法運(yùn)算a+b(3)若A(x1,y1(4)實(shí)數(shù)與向量的積λ(5)數(shù)量積a(6)夾角余弦值cos<a拓展定比分點(diǎn)線段P1P2的端點(diǎn)P1、P2當(dāng)P1P=λPP2平面向量位置關(guān)系若

a(a∥a⊥【題型一】平面向量的基本定理的理解【典題1】如果e1，e2是平面內(nèi)一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是()A．e1與e1+e2 C．e1+e2→與e【典題2】已知方程ax2+bx+A．至多有一個(gè)解 B．至少有一個(gè)解 C．至多有兩個(gè)解 D．可能有無(wú)數(shù)多個(gè)解【題型二】平面向量的基本定理的運(yùn)用【典題1】已知在△ABC中，M,N分別是邊AB,AC上的點(diǎn)，且AM=2MB，AN=3NC，BN與CM相交于點(diǎn)P,記A．AP=13a+23b 【典題2】如圖，兩塊斜邊長(zhǎng)相等的直角三角板拼在一起．若AD=xAB+y【典題3】在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AB=BC=2AD=2，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，以A為圓心，AD為半徑的半圓分別交BA及其延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，N，點(diǎn)P鞏固練習(xí)1(★)下列各組向量中，可以作為基底的是()A．e1=(0,0),e2C．e1=(3,5),e22(★★)如圖，四邊形ABCD是正方形，延長(zhǎng)CD至E，使得DE=CD．若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)一周回到A點(diǎn)，其中AP=λA．滿足λ+μ=2的點(diǎn)P必為BC的中點(diǎn) B．滿足λ+μ=1的點(diǎn)P有且只有一個(gè) C．滿足λ+μ=a(a>0)的點(diǎn)P最多有3個(gè)D．λ+μ的最大值為33(★★)如圖，在△ABC中，設(shè)AB=a，AC=b，AP的中點(diǎn)為Q，BQ的中點(diǎn)為4(★★)如圖，已知|OA|=|OB|=1，|OC|=3，OC⊥OB5(★★★)在平面向量中有如下定理：設(shè)點(diǎn)O、P、Q、R為同一平面內(nèi)的點(diǎn)，則P、Q、R三點(diǎn)共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)t，使OP=(1?t)OQ+tOR．試?yán)迷摱ɡ斫獯鹣铝袉?wèn)題：如圖，在△ABC中，點(diǎn)E為AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AC邊上，且CF=2FA，BF交CE于點(diǎn)M，設(shè)AM=xAE6(★★★)在梯形ABCD中，AB=2DC，BE=13BC，P為線段DE7(★★★)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E,F分別為BC,CD的動(dòng)點(diǎn)，且設(shè)AC=xAE+yAF(x,y∈R)8(★★★)如圖，在平面四邊形ABCD中，∠CBA=∠CAD=90°，∠ACD=30°，AB=BC，點(diǎn)E在線段BC上，且BC=3BE，若AC=λAD+μ【題型三】向量位置關(guān)系【典題1】已知平面內(nèi)三向量a=(2,1)，b=(－1,3)，(1)求滿足a=mb+n(2)若(2a+kc∥(3)若(2a+kc)【典題2】設(shè)向量OA=(1,?2)，OB=(a,?1)，OC=(?b,0)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，b>0，若【典題3】已知向量a=(2，1)，b=(?1,m)，若a與b夾角為鈍角，則m的取值范圍是鞏固練習(xí)1(★★)已知兩個(gè)向量a=(cosθ,sinθ),b=(A．2 B．22 C．4 D．42(★★)已知點(diǎn)A(2,3)，B(－2,6)，A．梯形 B．鄰邊不等的平行四邊形 C．菱形 D．兩組對(duì)邊均不平行的四邊形3(★★)已知P1(2,－1)，P2(0,5)且點(diǎn)P在P14(★★)已知a=(1,2+sinx)，b=(2,cosx)，c=(?1,2)，(5(★★)已知向量a=(1,0)，b=(0,1)，若(ka+b)⊥(36(★★)在平面四邊形ABCD中，AC=(1，3)，BD=(?9,3)，則四邊形ABCD的面積為【題型四】利用建系求解數(shù)量積【典題1】如圖，在菱形ABCD中，AB=1,∠BAD=60°，且E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)．(1)求

AB?(2)若AE=2EC(3)連結(jié)BE并延長(zhǎng)，交CD于點(diǎn)F，連結(jié)AF，設(shè)CE=λEA(0≤λ≤1)．當(dāng)λ為何值時(shí)，可使AF鞏固練習(xí)1(★)已知向量a=(3，1)，b=(m－1,3)，若向量a→，2(★★)如圖所示，在梯形ABCD中，∠A=π2，AB=2，BC=2，AD=33(★★)在平直角坐標(biāo)系xOy中，A(1,0)，B(0,2)，點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，則OP?4(★★)如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為5，對(duì)角線AC=4，邊DC上點(diǎn)P與CB的延長(zhǎng)線上點(diǎn)Q滿足DP=BQ=53，則向量PA?5(★★★)P是邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD邊界或內(nèi)部一點(diǎn)，且PB+PC=PM，則6(★★★)如圖，圓O是邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的內(nèi)切圓，△PQR是圓O的內(nèi)接正三角形，若△PQR繞著圓心O旋轉(zhuǎn)，則AQ?OR的最大值是平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示知識(shí)點(diǎn)一平面向量的基本定理1平面向量的基本定理設(shè)

e1，e2同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，

a是該平面內(nèi)任一向量，則存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)(λ，μ)我們把{e1，如下圖，a=OM+ON=λPS唯一性的解釋若e1，e2正交分解及其坐標(biāo)表示①正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解；如上圖，重力G分解成平行斜面的力F1和垂直于斜面的壓力F②向量的坐標(biāo)表示在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量

i,j為基底，則平面內(nèi)的任一向量

a可表示為a=xi+yj=(x,y)，(x,y)向量a=(x,y)，就是以原點(diǎn)為起點(diǎn)，點(diǎn)(x,y)知識(shí)點(diǎn)二平面向量數(shù)乘運(yùn)算與數(shù)量積的坐標(biāo)表示1坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a=((1)向量的模a(2)向量的加減法運(yùn)算a+b(3)若A(x1,y1(4)實(shí)數(shù)與向量的積λ(5)數(shù)量積a(6)夾角余弦值cos<a拓展定比分點(diǎn)線段P1P2的端點(diǎn)P1、P2當(dāng)P1P=λPP2平面向量位置關(guān)系若

a(a∥a⊥【題型一】平面向量的基本定理的理解【典題1】如果e1，eA．e1與e1+e2 C．e1+e2→與e【解析】e1，e2是平面內(nèi)一組不共線的向量，作為基底的向量，前提為不共線向量，所以對(duì)于選項(xiàng)ABC都為不共線向量，選項(xiàng)De1?2e故選D．【典題2】已知方程ax2+bx+A．至多有一個(gè)解 B．至少有一個(gè)解 C．至多有兩個(gè)解 D．可能有無(wú)數(shù)多個(gè)解【解析】∵ax∵a，b不共線，故存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù)若λ滿足λ=?μ2，則方程有一個(gè)解；λ不滿足λ=?所以至多一個(gè)解，故選A．【點(diǎn)撥】本題考核對(duì)平面向量的基本定理中的”存在性、唯一性”的理解.【題型二】平面向量的基本定理的運(yùn)用【典題1】已知在△ABC中，M,N分別是邊AB,AC上的點(diǎn)，且AM=2MB，AN=3NC，BN與CM相交于點(diǎn)P,記A．AP=13a+23b 【解析】由題意，可知AM=23設(shè)BP=λ則有AP=AB+λ又設(shè)CP=μ則有AP=(1?μ)AC+μ?通過(guò)比較①②，可得關(guān)于λ,μ的二元一次方程組：1?λ=2解此二元一次方程組，得λ=2將結(jié)果帶入①式，可得：AP=13【點(diǎn)撥】①這里給到的方法是以不共線向量a、b為基底，通過(guò)兩個(gè)方式得到向量AP的表達(dá)式，即(1?λ)a②本題方法很多也可以用平行四邊形法則求解.【典題2】如圖，兩塊斜邊長(zhǎng)相等的直角三角板拼在一起．若AD=xAB+y【解析】以AB所在直線為x軸，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系(如圖)．令A(yù)B=2，則AB=(2,0),過(guò)D作DF⊥AB交AB的延長(zhǎng)線為F，由已知得DE=BC=22，則DF=BF=3，則∵AD=x即有x=1+3【點(diǎn)撥】①本題也可以用平行四邊形法則求解；②這里講解的方法是建系法，常見(jiàn)步驟如下(1)找到合適的方式(一般是利用題中垂直關(guān)系等)建系；(2)通過(guò)一些幾何的知識(shí)點(diǎn)求出線段的長(zhǎng)度，進(jìn)而得到關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)關(guān)鍵向量用坐標(biāo)形式表示，比如本題中的AB=(4)得到方程組求解(其實(shí)就是利用平面向量的基本定理的唯一性).③當(dāng)根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)容易建系(比如有明顯的垂直關(guān)系等)，可考慮建系法，它充分體現(xiàn)了“解析幾何的優(yōu)勢(shì)”.【典題3】在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AB=BC=2AD=2，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，以A為圓心，AD為半徑的半圓分別交BA及其延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，N，點(diǎn)P【解析】建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(2,0)，D(0,1)，C(2,2)，E(2,1)，F(xiàn)(1,3Pcosα,sinα(0≤α≤π)，(因?yàn)镻在單位圓上，α為由AP=λAE?cosα=2λ?μ,sinα=λ+?λ=∴2λ?5μ=2(3=?2∵α?即2λ－5μ的取值范圍是[－22【點(diǎn)撥】利用建系法求解，點(diǎn)P在單位圓上，巧妙的設(shè)為P(cosα,sinα)，引入?yún)?shù)α，此處要注意0≤α≤π，則2λ－5μ是α的函數(shù)，求最值不難了.鞏固練習(xí)1(★)下列各組向量中，可以作為基底的是()A．e1=(0,0),e2C．e1=(3,5),e2【答案】B【解析】只要兩向量不共線即可作為基底，A．e1→=0?B．－1×7－2×5≠0，∴e1C．3×10－5×6=0，∴e1D．2×9－3×6=0，∴e1故選B．2(★★)如圖，四邊形ABCD是正方形，延長(zhǎng)CD至E，使得DE=CD．若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)一周回到A點(diǎn)，其中AP=λA．滿足λ+μ=2的點(diǎn)P必為BC的中點(diǎn) B．滿足λ+μ=1的點(diǎn)P有且只有一個(gè) C．滿足λ+μ=a(a>0)的點(diǎn)P最多有3個(gè)D．λ+μ的最大值為3【答案】D【解析】以AB，AD所在直線分別為x，y軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，P(x，y)，則A(0，0)，B(1，0)，E(－1，1)；∴AP→∴由AP→∴λ+μ=x+2y=x∴滿足λ+μ=2的點(diǎn)P有線段BC的中點(diǎn)和D點(diǎn)；滿足λ+μ=1的點(diǎn)P有B點(diǎn)和線段AD的中點(diǎn)；滿足λ+μ=a(a>0)的點(diǎn)最多有2個(gè)；x=1，y=1時(shí)，λ+μ取最大值3．故選D．3(★★)如圖，在△ABC中，設(shè)AB=a，AC=b，AP的中點(diǎn)為Q，BQ的中點(diǎn)為【答案】m=27【解析】根據(jù)條件，BQ→CR→∴QP→=m2a∵RQ→∴(3m∴3m4?14(★★)如圖，已知|OA|=|OB|=1，|OC|=3，OC⊥OB【答案】3【解析】建立如圖所以坐標(biāo)系，根據(jù)條件不妨設(shè)A(1，0)，B(?12，32)，C(3則OC→=(32，32)=x(1，0)+y(?12，32)，所以x?5(★★★)在平面向量中有如下定理：設(shè)點(diǎn)O、P、Q、R為同一平面內(nèi)的點(diǎn)，則P、Q、R三點(diǎn)共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)t，使OP=(1?t)OQ+tOR．試?yán)迷摱ɡ斫獯鹣铝袉?wèn)題：如圖，在△ABC中，點(diǎn)E為AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AC邊上，且CF=2FA，BF交CE于點(diǎn)M，設(shè)AM=xAE【答案】7【解析】如圖，E，M，C三點(diǎn)共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使AM→∵CF=2FA，∴AC=3AF，∴AM→=λAE∴λ=x3(1?λ)=y，∴3(1－x)=y①同樣，B，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線，所以存在μ，使AM→∵E為AB邊的中點(diǎn)，∴AB=2AE，∴AM→∴x=2μy=1?μ，∴y=1?∴聯(lián)立①可得：x=45，y=356(★★★)在梯形ABCD中，AB=2DC，BE=13BC，P為線段【答案】11【解析】由題，梯形ABCD中，AB→=2DCP為線段DE上的動(dòng)點(diǎn)(包括端點(diǎn))，設(shè)AP=tAD∵AD→∴AP→=t(12AB又∵AP→=λAB→+μBC→∴λ2+μ=(1?1∴當(dāng)t=23時(shí)，λ2+μ的最小值為7(★★★)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E,F分別為BC,CD的動(dòng)點(diǎn)，且設(shè)AC=xAE+yAF(x,y∈R)【答案】2【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，并設(shè)邊長(zhǎng)為1，|CF|=a，則A(0，0)，C(1，1)，E(1，2a)，F(xiàn)(1－a，1)，故AC→又AC→∴x+(1?a)y=12ax+y=1，則x=a2a令t=1?a∈[1則x+y=t2t故答案為2+18(★★★)如圖，在平面四邊形ABCD中，∠CBA=∠CAD=90°，∠ACD=30°，AB=BC，點(diǎn)E在線段BC上，且BC=3BE，若AC=λAD+μ【答案】3【解析】如圖建立直角坐標(biāo)系設(shè)AB=BC=t，則A(－t，0)，C(0，t)，點(diǎn)E在線段BC上，且BC→=3BE→，所以E因?yàn)樵赗t△ADC中，AC=2t，∠ACD=30°，所以AD由題知Rt△ABC，是等腰三角形．所以∠DAF=45°，所以DF=AF=33t，D(－(1+33AC→=(t，t)，AD→=(?33t若AC→=λAD→+μAE則(t，t)=λ(?33t，33t)+μ(t，t3)，1=?3故答案為3．【題型三】向量位置關(guān)系【典題1】已知平面內(nèi)三向量a=(2,1)，b=(－1,3)，(1)求滿足a=mb+n(2)若(2a+kc∥(3)若(2a+kc)【解析】1m∴?m?2n=23m+2n=1，解得22a+k∵(2a+kc)∥(b(3)∵(2a+kc)⊥(b∴k=1【典題2】設(shè)向量OA=(1,?2)，OB=(a,?1)，OC=(?b,0)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，b>0，若【解析】AB=(a?1,1)∵A,B,C三點(diǎn)共線，∴2a?1?(?b?1)=0則1a當(dāng)且僅當(dāng)b=2a=1【點(diǎn)撥】A,B,C三點(diǎn)共線，即AB//【典題3】已知向量a=(2，1)，b=(?1,m)，若a與b夾角為鈍角，則m的取值范圍是【解析】向量a=(2,1)，b若a與b夾角為鈍角，則a→?b<0即2×(?1)+1?m<0?12≠m，解得∴m的取值范圍是(－∞,【點(diǎn)撥】由數(shù)量積a?a⊥b?a?b=0；a鞏固練習(xí)1(★★)已知兩個(gè)向量a=(cosθ,sinθ),b=(A．2 B．22 C．4 D．4【答案】C【解析】∵向量a→∴2a∴=4－4=8sin(θ?π當(dāng)sin(θ?π∴|2a故選C．2(★★)已知點(diǎn)A(2,3)，B(－2,6)，A．梯形 B．鄰邊不等的平行四邊形 C．菱形 D．兩組對(duì)邊均不平行的四邊形【答案】B【解析】∵AB→=(－4，3)，DC→∴AB→=DC→，可得可得四邊形ABCD是平行四邊形，又∵|AB→|=(?4)∴|AB→|≠|(zhì)AD由此可得四邊形ABCD是鄰邊不等的平行四邊形故選B．3(★★)已知P1(2,－1)，P2(0,5)且點(diǎn)P在P1【答案】(－2，11)【解析】∵點(diǎn)P在線段P1P2的延長(zhǎng)線上，且|P1P→|=2|∵P1(2，－1)，P2(0，5)設(shè)P點(diǎn)(x，y)，∴P1P→=(x－2，y+1)，PP∴x?2=?2(?x)y+1=?2(5?y)∴x=－2，∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(－2，11)．故答案為(－2，11)4(★★)已知a=(1,2+sinx)，b=(2,cosx)，c=(?1,2)，(【答案】45°【解析】由題意可得a→再由(a→?化簡(jiǎn)可得sinx=cosx，∴tanx=1，∴銳角x等于45°，5(★★)已知向量a=(1,0)，b=(0,1)，若(ka+b)【答案】1【解析】∵向量a→=(1，0)，∴ka→+b→=又(ka→+b→)⊥(3a→?b→故答案為136(★★)在平面四邊形ABCD中，AC=(1，3)，BD=(?9,3)，則四邊形ABCD的面積為【答案】15【解析】在平面四邊形ABCD中，AC→=(1，3)，∵AC→?BD→=0，∴|AC→|=10，|BD→|=∴四邊形ABCD的面積為12?10?310【題型四】利用建系求解數(shù)量積【典題1】如圖，在菱形ABCD中，AB=1,∠BAD=60°，且E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)．(1)求

AB?(2)若AE=2EC(3)連結(jié)BE并延長(zhǎng)，交CD于點(diǎn)F，連結(jié)AF，設(shè)CE=λEA(0≤λ≤1)．當(dāng)λ為何值時(shí)，可使AF【解析】(1)AB(2)∵AE=2EC∴AE(3)以AB所在直線為x軸，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0),B(1,0),D(12,32)∵CE由圖易得△ABE∽△CFE，可得CF∴DF=1?λ，則F(∴AF=∴∴當(dāng)λ=1時(shí)，AF?BF最小，最小值是【點(diǎn)撥】求數(shù)量積方法多樣①直接利用數(shù)量積的定義a?b=|②把數(shù)量積中的向量轉(zhuǎn)化為”信息量大”的向量，進(jìn)而求解，比如第二問(wèn)求AE?AB，轉(zhuǎn)化為向量③建系法，利用幾何的知識(shí)點(diǎn)求出關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)，從而數(shù)量積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，比如第三問(wèn)求AF?BF，因?yàn)橐椎肁、B的坐標(biāo)，只要求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，就可以把數(shù)量積AF?鞏固練習(xí)1(★)已知向量a=(3，1)，b=(m－1,3)，若向量a→【答案】(1?【解析】因?yàn)閍→=(3，1)，因?yàn)橄蛄縜→，b→的夾角為銳角，所以有3(m?1)+3>0又當(dāng)向量a→，b→共線時(shí)，m=1+3所以，實(shí)數(shù)m的取值范圍為(1?32(★★)如圖所示，在梯形ABCD中，∠A=π2，AB=2，BC=2，AD=3【答案】－2【解析】以B為原點(diǎn)，BC為x軸，AB為y軸建系，C(2，0)，E(0，22)，B∴CE→=(