高一升高二數(shù)學(xué)暑假領(lǐng)跑講義1.1.2空間向量數(shù)量積的運(yùn)算-(選擇性必修第一冊)(含答案空間向量數(shù)量積的運(yùn)算1空間向量的夾角及其表示已知兩非零向量a,b，在空間任取一點(diǎn)O，作

OA=a,OB若<a,b>=π2向量的模設(shè)OA=a，則有向線段

OA3向量的數(shù)量積已知向量a,b，則|a|即a4空間向量數(shù)量積的性質(zhì)a⊥b5空間向量數(shù)量積運(yùn)算律①②a?③a④不滿足乘法結(jié)合律:a【題型一】數(shù)量積的運(yùn)算【典題1】如圖，在三棱錐A?BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，M,N分別是AD、BC的中點(diǎn)，則AN?CM=【典題2】已知四面體ABCD，所有棱長均為2，點(diǎn)E,F分別為棱AB,CD的中點(diǎn)，則AF?A．1 B．2 C．?1 D．?2鞏固練習(xí)1(★)平面上有四個(gè)互異點(diǎn)A、B、C、D，已知(DB+DC+2A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．無法確定2(★)在空間四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA=1，AB?CDA．?1 B．0 C．1 D．不確定3(★★)如圖，在三棱錐P?ABC中，AP,AB,AC兩兩垂直，AP=2，AB=AC=1，M為PC的中點(diǎn)，則AC?BM的值為4(★★)在棱長為1的正四面體ABCD中，點(diǎn)M滿足AM=xAB+yAC+(1?x?y)AD，點(diǎn)N滿足DN=λ5(★★★★)已知三棱錐P?ABC的頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影為點(diǎn)H，側(cè)棱PA=PB=PC，點(diǎn)O為三棱錐P?ABC的外接球O的球心，AB=8，AC=6，已知AO=λAB+μAC+11+【題型二】數(shù)量積的應(yīng)用【典題1】如圖，60°的二面角的棱上有A、B兩點(diǎn)，直線AC、BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB．已知AB=2，AC=3【典題2】已知：正四面體ABCD(所有棱長均相等)的棱長為1，E、F、G、H分別是四面體ABCD中各棱的中點(diǎn)，求EF，GH的夾角．鞏固練習(xí)1(★★)在平行六面體(底面是平行四邊形的四棱柱)ABCD?A1∠BAD=∠BA2(★★)如圖，三棱錐O－ABC各棱的棱長都是1，點(diǎn)D是棱AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱OC上，且OE記OA=a，OB=b，3(★)如圖所示，在正方體ABCD?A1B1C4(★★)如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，將它沿對角線AC折起，使AB與CD成60°角，求B、D間的距離．5(★★)已知空間四邊形OABC各邊及對角線長都相等，E，F(xiàn)分別為AB，OC的中點(diǎn)，求6(★★)在三棱錐O－ABC中，已知側(cè)棱OA，OB，OC兩兩垂直，用空間向量知識證明：底面三角形ABC是銳角三角形．7(★★★)在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，底面(1)求側(cè)棱AA(2)M,N分別為D1C1,C1B【題型三】數(shù)量積的最值【典題1】已知MN是正方體內(nèi)切球的一條直徑，點(diǎn)P在正方體表面上運(yùn)動，正方體的棱長是2，則PM?PNA．[0，4] B．[0，2] C．[1，4] D．[1，2]鞏固練習(xí)1(★★)已知球O內(nèi)切于正四面體A－BCD，且正四面體的棱長為26，線段MN是球O的一條動直徑(M，N是直徑的兩端點(diǎn))，點(diǎn)P是正四面體A－BCD的表面上的一個(gè)動點(diǎn)，則2(★★★)已知球O是棱長為2的正八面體(八個(gè)面都是全等的等邊三角形)的內(nèi)切球，MN為球O的一條直徑，點(diǎn)P為正八面體表面上的一個(gè)動點(diǎn)，則PM?PN的取值范圍是3(★★★★)如圖，在三棱錐D－ABC中，已知AB=2，AC?BD=?3，設(shè)AD=a，BC=b，CD=c，則c2空間向量數(shù)量積的運(yùn)算1空間向量的夾角及其表示已知兩非零向量a,b，在空間任取一點(diǎn)O，作

OA=a,OB若<a,b>=π2向量的模設(shè)OA=a，則有向線段

OA3向量的數(shù)量積已知向量a,b，則|a|即a4空間向量數(shù)量積的性質(zhì)a⊥b5空間向量數(shù)量積運(yùn)算律①②a?③a④不滿足乘法結(jié)合律:a【題型一】數(shù)量積的運(yùn)算【典題1】如圖，在三棱錐A?BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，M,N分別是AD、BC的中點(diǎn)，則AN?CM【解析】在三棱錐A?BCD中，連結(jié)ND，取ND的中點(diǎn)為E，連結(jié)ME，則ME//AN，異面直線AN,CM所成的角就是∠EMC∵AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，點(diǎn)M,N分別是AD、BC的中點(diǎn)，∴AN=22又∵EN⊥NC,∴EC=Ncos?由圖可知，AN與CM所成角為鈍角，則cos??∴AN故答案為：?7．【典題2】已知四面體ABCD，所有棱長均為2，點(diǎn)E,F分別為棱AB,CD的中點(diǎn)，則AF?A．1 B．2 C．?1 D．?2【解析】∵四面體ABCD，所有棱長均為2，∴四面體ABCD為正四面體，∵E,F分別為棱AB,CD的中點(diǎn)，∴AF=1故選：D．【點(diǎn)撥】求空間向量數(shù)量積，第一個(gè)念頭是利用定義a?b=|a|b|cos<a,b>；但若兩個(gè)向量的?；蚱鋳A角其一交難求解，可把所求向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為其他具有較多性質(zhì)向量的數(shù)量積，比如本題把AF鞏固練習(xí)1(★)平面上有四個(gè)互異點(diǎn)A、B、C、D，已知(DB+DCA．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．無法確定【答案】C【解析】∵((DB∴(AB+AC)?(AB則△ABC的形狀是等腰三角形．故選：C．2(★)在空間四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA=1，AB?A．?1 B．0 C．1 D．不確定【答案】B【解析】根據(jù)題意，AB?故選：B．3(★★)如圖，在三棱錐P?ABC中，AP,AB,AC兩兩垂直，AP=2，AB=AC=1，M為PC的中點(diǎn)，則AC?BM的值為【答案】12【解析】由題意得BM=故AC?4(★★)在棱長為1的正四面體ABCD中，點(diǎn)M滿足AM=xAB+yAC+(1?x?y)AD，點(diǎn)N滿足DN=λ【答案】?1【解析】∵AM=xAB∴M∈平面BCD，N∈直線AB，當(dāng)AM,DN最短時(shí)，AM⊥平面BCD，DN⊥AB，∴M為△BCD的中心，N為線段AB如圖：又正四面體的棱長為1，∴AM=6∵AM⊥平面BCD，∴AM∴AM=15(★★★★)已知三棱錐P?ABC的頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影為點(diǎn)H，側(cè)棱PA=PB=PC，點(diǎn)O為三棱錐P?ABC的外接球O的球心，AB=8，AC=6，已知AO=λAB+μAC+11+【答案】150π【解析】由于三棱錐P?ABC的頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影為點(diǎn)H，O為球心，OA=OB=OC=OP=R，即有PH⊥AB,PH⊥AC，∴HP由AO=λAB則有AO?AB=λAB同理對①兩邊取點(diǎn)乘AC，可得18=36μ+λAB?又μ+λ=1④由②③④解得，λ=12,μ=即有AO?即為AH又AO2即R2=又在直角三角形AOH中，R2=(HP?R)由⑤⑥解得R2則有球O的表面積S=4πR【題型二】數(shù)量積的應(yīng)用【典題1】如圖，60°的二面角的棱上有A、B兩點(diǎn)，直線AC、BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB．已知AB=2，AC=3【解析】方法一如圖過點(diǎn)A作AE//BD，過D作DE//AB，則易得∠CAE=60°，在?CAE中，C在Rt?CED中，CD方法二如圖，CDCD===9+4+16+2×4×3×cos120°=17∴CD的長為17．【點(diǎn)撥】①a⊥②方法一利用了二面角的概念和平幾的知識進(jìn)行求解，方法二直接利用向量的運(yùn)算顯得更簡潔，也體現(xiàn)了向量的威力！【典題2】已知：正四面體ABCD(所有棱長均相等)的棱長為1，E、F、G、H分別是四面體ABCD中各棱的中點(diǎn)，求EF，GH的夾角．【解析】(1)如圖所示，正四面體ABCD的棱長為1，E、F、G、H分別是四面體ABCD中各棱的中點(diǎn)，設(shè)AB=∴BE=1∴EF同理可得GH=∴EF=1∴EF與GH的夾角為90°鞏固練習(xí)1(★★)在平行六面體(底面是平行四邊形的四棱柱)ABCD?A1B1C1【答案】6【解析】∵則A=1+1+1+3×2×1×1×cos60°=6．∴|A2(★★)如圖，三棱錐O－ABC各棱的棱長都是1，點(diǎn)D是棱AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱OC上，且OE=λOC，記OA=a，OB【答案】22【解析】根據(jù)題意，連接OD，CD，點(diǎn)D是棱AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱OC上，且OE=λ記OA=a，OB=∴DE根據(jù)題意，點(diǎn)D是棱AB的中點(diǎn)，則|OD|=32，且|DE=(λc則當(dāng)λ=12時(shí)，|DE|2取得最小值13(★)如圖所示，在正方體ABCD?A1B1C【答案】60°【解析】不妨設(shè)正方體的棱長為1，設(shè)AB=則|aA1∴A而A1B=|AC所以異面直線A1B與AC所成的角為4(★★)如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，將它沿對角線AC折起，使AB與CD成60°角，求B、D間的距離．【答案】2或2【解析】由題可知BD=∵∠ACD=90°，∵AB與CD成60°角，∴∠BA又BD=∴BD=3+2×1×1×cos∴|BD|=2或2.即B、D之間的距離為2或2.5(★★)已知空間四邊形OABC各邊及對角線長都相等，E，F(xiàn)分別為AB，OC的中點(diǎn)，求【答案】2【解析】設(shè)OA=a,則a?因?yàn)镺E=12(a+b所以O(shè)E?所以cos<OE∴OE與BF6(★★)在三棱錐O－ABC中，已知側(cè)棱OA，OB，OC兩兩垂直，用空間向量知識證明：底面三角形ABC是銳角三角形．【證明】∵OA,OB,OC兩兩互相垂直．AB?∴<AB,AC>同理∠ABC，∠BCA均為銳角，∴△ABC為銳角三角形．7(★★★)在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，底面(1)求側(cè)棱AA(2)M,N分別為D1C1,C1B【答案】(1)4；(2)0,【解析】(1)設(shè)側(cè)棱AA∵在平行六面體ABCD?A1B1C1D∴AB2=AD2=1，又∵A∴A=AB∴x2+2x?24=0即側(cè)棱AA(2)∵A∴A=1∴兩異面直線AC1和MN的夾角為【題型三】數(shù)量積的最值【典題1】已知MN是正方體內(nèi)切球的一條直徑，點(diǎn)P在正方體表面上運(yùn)動，正方體的棱長是2，則PM?A．[0，4] B．[0，2] C．[1，4] D．[1，2]【解析】設(shè)正方體內(nèi)切球球心為S，MN是該內(nèi)切球的任意一條直徑，則內(nèi)切球的半徑為1，所以PM?所以PM?PN的取值范圍是故選：B．鞏固練習(xí)1(★★)已知球O內(nèi)切于正四面體A－BCD，且正四面體的棱長為26，線段MN是球O的一條動直徑(M，N是直徑的兩端點(diǎn))，點(diǎn)P是正四面體A－BCD的表面上的一個(gè)動點(diǎn)，則【答案】8【解析】由正四面體棱長為26，的其內(nèi)切圓的半徑為1由題意，M,N是直徑的兩端點(diǎn)，可得OM+ON=則PM=P當(dāng)點(diǎn)P在正四面體頂點(diǎn)時(shí)，PO2最大，且最大值為9則PO2?1的最大值為2(★★★)已知球O是棱長為2的正八面體(八個(gè)面都是全等的等邊三角形)的內(nèi)切