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函數(shù)的微分一、微分概念1、引例一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響，其邊長由變到（如圖），問此薄片的面積改變了多少？一般地,如果函數(shù)y=f(x)滿足一定條件,則函數(shù)的增量可表示為其中A是不依賴于的常數(shù),因此是的線性函數(shù),且它與之差是比高階的無窮小,所以,當,且很小時,我們就可以近似地用來代替定義設函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內有定義，及在這區(qū)間內，如果函數(shù)的增量可表示為其中A是不依賴于的常數(shù)，而是比高階的無窮小，那么稱y=f(x)在點是可微的，而叫做函數(shù)y=f(x)在點相應于自變量增量的微分，記作dy，即

由定義知:定理：y=f(x)在可微的充分必要條件是f(x)在處可導，且當f(x)在點可微時，其微分一定是(1)必要性證明(2)充分性例1解例2解MNT）P幾何意義:(如圖)二、微分的幾何意義三、微分公式和法則函數(shù)的微分的表達式求法:計算函數(shù)的導數(shù),乘以自變量的微分.1.基本初等函數(shù)的微分公式2.函數(shù)和、差、積、商的微分法則3.復合函數(shù)的微分法則與復合函數(shù)的求導法則相應的復合函數(shù)的微分法則可推導如下:設及都可導,則復合函數(shù)的微分為上式說明無論是u自變量還是中間變量其微分形式不變,這一性質稱為微分形式的不變性.例3解例4解例5解應用積的微分法則,得例6在下列等式左端的括號中填入適當?shù)暮瘮?shù),

使等式成立.解(1)我們知道可見即一般地,有(C為任意常數(shù))(2)即(C為任意常數(shù))四、微分在近似計算中的應用1函數(shù)的近似計算這個式子也可以寫為或(4)(5)(6)例3解下面我們來推導一些常用的近似公式(7)應用(7)式可以推得一下幾個在工程上常用的近似公式:證明:其它幾個近似公式可用類似方法證明,這里從略了例4

解這里x=0.05,其值較小,利用近似公式,便得:如果直接開方,可得將兩個結果比較一下,可以看出

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