PAGEPAGE8第2節(jié)過(guò)程評(píng)價(jià)與案例賞析一測(cè)量學(xué)校內(nèi)、外建筑物的高度項(xiàng)目的過(guò)程性評(píng)價(jià)[目的]給出過(guò)程性評(píng)價(jià)，體現(xiàn)如何讓學(xué)生在溝通過(guò)程中呈現(xiàn)特性、學(xué)會(huì)溝通、歸納總結(jié)，發(fā)覺(jué)問(wèn)題、積累閱歷、提升素養(yǎng).[評(píng)價(jià)過(guò)程]在每一個(gè)學(xué)生都完成“測(cè)量報(bào)告”后，支配溝通講評(píng)活動(dòng).支配講評(píng)的報(bào)告應(yīng)當(dāng)有所側(cè)重.例如，測(cè)量結(jié)果精確，測(cè)量過(guò)程清楚，測(cè)量方法有創(chuàng)意，誤差處理得當(dāng)，報(bào)告書(shū)寫(xiě)細(xì)致等；或誤差明顯而學(xué)生自己沒(méi)有察覺(jué)，測(cè)量過(guò)程中構(gòu)建的模型有待商榷等.事實(shí)表明，這種形式的溝通講評(píng)，往往是數(shù)學(xué)建模過(guò)程中學(xué)生收獲最大的環(huán)節(jié).附件：某個(gè)小組的探討報(bào)告的展示片段摘錄.測(cè)量不行及“志向大廈”的方法1.兩次測(cè)角法(1)測(cè)量并記錄測(cè)量工具距離地面hm；(2)用大量角器，將一邊對(duì)準(zhǔn)大廈的頂部，計(jì)算并記錄仰角α；(3)后退am，重復(fù)(2)中的操作，計(jì)算并記錄仰角β；(4)樓高x的計(jì)算公式為：x＝eq\f(atanαtanβ,tanα－tanβ)＋h，其中α，β，a，h如圖所示.兩次測(cè)角法示意圖2.鏡面反射法(1)將鏡子(平面鏡)置于平地上，人后退至從鏡中能夠看到房頂?shù)奈恢?，測(cè)量人與鏡子的距離；(2)將鏡子后移am，重復(fù)(1)中的操作；(3)樓高x的計(jì)算公式為x＝eq\f(ah,a2－a1)，其中a1，a2是人與鏡子的距離，a是兩次觀測(cè)時(shí)鏡面之間的距離，h是人的“眼高”，如圖所示.依據(jù)光的反射原理，利用相像三角形的性質(zhì)聯(lián)立方程組，可以得到這個(gè)公式.鏡面反射法示意圖實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)和計(jì)算結(jié)果，測(cè)量誤差簡(jiǎn)要分析.(1)兩次測(cè)角法實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)：第一次其次次仰角67°52°后退距離為25m，人的“眼高”為1.5m，計(jì)算可得志向大廈的高度約為71.5m，結(jié)果與期望值(70m～80m)相差不大.誤差的緣由是鉛筆在紙板上畫(huà)出度數(shù)時(shí)不夠精確.減小誤差的方法是幾個(gè)人分別測(cè)量高度及仰角，再求平均值，誤差就能更小.(2)鏡面反射法實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)：第一次其次次人與鏡子的距離3.84m3.91m鏡子的相對(duì)距離10m，人的“眼高”為1.52m.計(jì)算可得志向大廈的高度約為217m，結(jié)果與期望值相差較大.產(chǎn)生誤差有以下幾點(diǎn)緣由：鏡面放置不能保持水平；兩次放鏡子的相對(duì)距離太短，簡(jiǎn)潔造成誤差；人眼看鏡內(nèi)物像時(shí)，兩次不肯定都看準(zhǔn)鏡面上的同一個(gè)點(diǎn)；人體不肯定在兩次測(cè)量時(shí)保證高度不變.綜上所述，要做到?jīng)]有誤差很難，但可以通過(guò)某些方法使誤差更小，我們準(zhǔn)備用更多的測(cè)量方法找出志向的結(jié)果.對(duì)上面的測(cè)量報(bào)告，老師和同學(xué)給出評(píng)價(jià).例如，對(duì)測(cè)量方法，老師和同學(xué)評(píng)價(jià)均為“優(yōu)”，因?yàn)閷?duì)不行及的測(cè)量對(duì)象選取了兩種可行的測(cè)量方法；對(duì)測(cè)量結(jié)果，老師評(píng)價(jià)為“良”，同學(xué)評(píng)價(jià)為“中”，因?yàn)閮煞N方法得到的結(jié)果相差較大.對(duì)測(cè)量結(jié)果的評(píng)價(jià)，老師和同學(xué)產(chǎn)生差異的緣由是，老師對(duì)測(cè)量過(guò)程的部分項(xiàng)目實(shí)施加分，包括對(duì)自制測(cè)量仰角的工具等因素作了誤差分析；同學(xué)則進(jìn)一步分析產(chǎn)生誤差的主要緣由，包括：(1)測(cè)量工具問(wèn)題.兩次測(cè)角法的同學(xué)，自制量角工具比較粗糙，角度的刻度誤差較大；鏡面反射法的同學(xué)，選用的鏡子尺寸太大，造成鏡間距測(cè)量有較大誤差.(2)間距差的問(wèn)題.這是一個(gè)普遍的問(wèn)題.間距差a值是測(cè)量者自己選定的，因?yàn)闆](méi)有較長(zhǎng)的卷尺測(cè)量距離，有的同學(xué)甚至選間距差a是1m.由于間距太小，兩次測(cè)量的角度差或者人與鏡的距離差太小，最終導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生巨大誤差.當(dāng)學(xué)生意識(shí)到了這個(gè)問(wèn)題后，他們利用運(yùn)動(dòng)場(chǎng)100m跑道的自然長(zhǎng)度作為間距差a，使得測(cè)量精度得到較大提高.(3)不少學(xué)生用自己的身高代替“眼高”，反映了學(xué)生沒(méi)有很好地理解測(cè)量過(guò)程中的“眼高”應(yīng)當(dāng)是測(cè)量的高度，如照片所示.在結(jié)題溝通過(guò)程中，老師通過(guò)測(cè)量的現(xiàn)場(chǎng)照片，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)覺(jué)問(wèn)題，讓學(xué)生分析測(cè)量誤差產(chǎn)生的緣由.學(xué)生們?cè)诨顒?dòng)中意識(shí)到，書(shū)本學(xué)問(wèn)和實(shí)踐實(shí)力的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化是有效的學(xué)習(xí)方式.測(cè)量現(xiàn)場(chǎng)的照片和視察說(shuō)明：照片說(shuō)明左圖：測(cè)量角的工具(量角器)太小，造成仰角的測(cè)量誤差很大.右上圖：用腕尺法測(cè)量時(shí)，腕尺應(yīng)與地面垂直，手臂水平，否則就沒(méi)有相像的直角三角形.右下圖：用鏡子反射法時(shí)，要保持鏡面水平，否則入射三角形和反射三角形就不相像.測(cè)量仰角的工具好：把一個(gè)量角器放在復(fù)印機(jī)上放大4倍復(fù)印.在中心處綁上一個(gè)鉛垂，這樣測(cè)量視線和鉛垂線之間的夾角可以在圖上干脆讀出，這個(gè)角是待測(cè)仰角的余角.測(cè)量工具好：用自行車(chē)來(lái)測(cè)距離，解決了皮尺長(zhǎng)度不夠的問(wèn)題.[分析]建模活動(dòng)的評(píng)價(jià)要關(guān)注結(jié)果，更要關(guān)注過(guò)程.對(duì)測(cè)量方法和結(jié)果的數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)可以占總評(píng)價(jià)的60%，主要由老師作評(píng)價(jià).評(píng)價(jià)依據(jù)是現(xiàn)場(chǎng)視察和學(xué)生上交的測(cè)量報(bào)告，關(guān)注的主要評(píng)價(jià)點(diǎn)有：(1)測(cè)量模型是否有效；(2)計(jì)算過(guò)程是否清楚精確，測(cè)量結(jié)果是否可以接受；(3)測(cè)量工具是否合理、有效；(4)有創(chuàng)意的測(cè)量方法(可獲加分)；(5)能削減測(cè)量誤差的思索和做法(可獲加分)；(6)有數(shù)據(jù)處理的意識(shí)和做法(可獲加分)；……非數(shù)學(xué)的評(píng)價(jià)可以占總評(píng)價(jià)的40%，主要評(píng)價(jià)點(diǎn)有：(1)每一名成員在小組測(cè)量和計(jì)算過(guò)程中的工作狀態(tài)；(2)測(cè)量過(guò)程中解決困難的機(jī)靈和方法；(3)探討發(fā)言、成果匯報(bào)中的表現(xiàn)等.非數(shù)學(xué)的評(píng)價(jià)主要是在同學(xué)之間進(jìn)行，可以要求學(xué)生給出本小組以外其他匯報(bào)小組的成果，并寫(xiě)出評(píng)價(jià)的簡(jiǎn)潔理由.二黃金數(shù)的應(yīng)用班級(jí)：高三()班指導(dǎo)老師：組長(zhǎng)：組員：探討背景：黃金數(shù)不僅僅是那簡(jiǎn)簡(jiǎn)潔單的一串?dāng)?shù)字，它在美術(shù)、建筑甚至是人的飲食都可以起到作用.那些世界建筑大師設(shè)計(jì)的作品中經(jīng)常會(huì)用到黃金數(shù)的學(xué)問(wèn).我們?cè)跀?shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物及美學(xué)中都存在很多的最好、最優(yōu)化的問(wèn)題，如何實(shí)現(xiàn)最優(yōu)化從而達(dá)到我們的要求，使得我們?cè)诟鞣矫娑寄苋〉煤芎玫某晒?探討目的和意義：1.培育學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)愛(ài)好；2.提高學(xué)習(xí)的查找、分析、集中實(shí)力；3.拓寬學(xué)生的學(xué)問(wèn)面，感受古代數(shù)學(xué)家超群的證題思想和刻苦鉆研的精神；4.通過(guò)集體協(xié)作較好完成對(duì)本課題的探討，增加同學(xué)間團(tuán)結(jié)合作的精神.探討分工：搜集整理資料；撰寫(xiě)探討方案；寫(xiě)開(kāi)題報(bào)告；撰寫(xiě)結(jié)題報(bào)告.探討步驟：查閱資料、實(shí)際調(diào)查、計(jì)算、總結(jié).預(yù)期成果：在這次探討性學(xué)習(xí)中，我們組成員相互合作，共同完成了這一課題探討.從中我們了解到黃金數(shù)不僅僅是那簡(jiǎn)簡(jiǎn)潔單的一串?dāng)?shù)字，它在美術(shù)、建筑甚至是人的飲食都可以起到作用.那些世界建筑大師設(shè)計(jì)的作品中經(jīng)常會(huì)用到黃金數(shù)的學(xué)問(wèn).探討結(jié)果：一、黃金數(shù)的發(fā)展“歷史”黃金數(shù)是公元前六世紀(jì)古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯所發(fā)覺(jué)的.一天，畢達(dá)哥拉斯從一家鐵匠鋪路過(guò)，被鋪?zhàn)又心怯泄?jié)奏的叮叮當(dāng)當(dāng)?shù)拇蜩F聲所吸引，便停下來(lái)細(xì)致傾聽(tīng)，好像這聲音中隱匿著什么隱私.他走進(jìn)作坊，拿出一把尺量了一下鐵錘和鐵砧的尺寸，發(fā)覺(jué)它們之間存在著一種非常和諧的關(guān)系.回到家里，畢達(dá)哥拉斯拿出一根線，想將它分為兩段.怎樣分才最好呢？經(jīng)過(guò)反復(fù)比較，他最終確定1∶0.618的比例截?cái)嘧蠲利?0.618在數(shù)學(xué)中叫黃金比值，又稱(chēng)黃金數(shù).這是意大利著名畫(huà)家達(dá)·芬奇給它的美稱(chēng).其實(shí)數(shù)學(xué)上有很多幾何圖形蘊(yùn)涵了黃金比，如五角星等.代數(shù)上也有很多黃金數(shù)的學(xué)問(wèn)，其中最出名的裴波那契數(shù)列，也就是1，1，3，5，8，13，21，34，55，89…，或許大家要問(wèn)這里面沒(méi)有黃金數(shù)啊，其實(shí)假如用前一項(xiàng)比后一項(xiàng)，它的比值將會(huì)在0.618上下波動(dòng)，假如你有愛(ài)好還可以算下去，最終你還會(huì)得到一個(gè)數(shù)，一個(gè)無(wú)限接近于黃金數(shù)的比值，不信你可以試一試.二、黃金數(shù)的廣泛應(yīng)用1.藝術(shù)中的黃金數(shù)“0.618”，這個(gè)比值因具有美學(xué)價(jià)值而被古希臘美學(xué)家運(yùn)用到造型藝術(shù)中，因?yàn)榉卜宵S金分割律的形體總是最美的形體.在美術(shù)史上曾經(jīng)把它作為經(jīng)典法則來(lái)應(yīng)用.有很多美術(shù)家運(yùn)用它創(chuàng)建了不少不朽的名著.例如達(dá)·芬奇的《蒙娜麗莎》、拉斐爾筆下溫柔俊秀的圣母像，都有意無(wú)意地用上了這個(gè)比值.黃金分割對(duì)攝影畫(huà)面構(gòu)圖可以說(shuō)有著自然聯(lián)系.例如照相機(jī)的片窗比例：135相機(jī)就是24×36即2∶3的比例，這是很典型的.只要我們翻開(kāi)影集看一看，就會(huì)發(fā)覺(jué)，大多數(shù)的畫(huà)幅形式，都是近似這個(gè)比例.2.飲食、生活作息中的黃金數(shù)“黃金分割”的比值為0.618，它不僅是美學(xué)造型方面常用的一個(gè)比值，也是一個(gè)飲食參數(shù).日本人的平均壽命多年來(lái)穩(wěn)居世界首位，合理的膳食是一個(gè)主要因素.在他們的膳食中，谷物、素菜、優(yōu)質(zhì)蛋白、堿性食物所占的比例基本上達(dá)到了黃金分割的比值.醫(yī)學(xué)專(zhuān)家分析后還發(fā)覺(jué)，飯吃六七成飽的人幾乎不生胃病.還有喝5杯水.人體內(nèi)的水分占體重的61.8%，不計(jì)出汗，每天失去和須要補(bǔ)充的水達(dá)2500毫升.其中半固體食物供應(yīng)的水和人體內(nèi)部合成的水約1500毫升，大約占61.8%.其余1000毫升須要補(bǔ)充，才能保持水平衡.因此，每人一天要喝5杯水.一天合理的生活作息也應(yīng)當(dāng)符合黃金分割，24小時(shí)中，2/3時(shí)間是工作與生活，1/3時(shí)間是休息與睡眠；在動(dòng)與靜的關(guān)系上，原委是“生命在于運(yùn)動(dòng)”，還是“生命在于靜養(yǎng)”？從辯證觀和大量的生活實(shí)踐證明，動(dòng)與靜的關(guān)系同一天休息與工作的比例一樣，動(dòng)四分，靜六分，才是最佳的保健之道.駕馭與運(yùn)用好黃金分割，可使人體節(jié)約能耗，延緩蒼老，提高生命質(zhì)量.3.植物中的黃金數(shù)植物葉子，千姿百態(tài)，朝氣盎然，給大自然帶來(lái)了漂亮的綠色世界.盡管葉子形態(tài)隨種而異，但它在莖上的排列依次(稱(chēng)為葉序)，卻是極有規(guī)律的.你從植物莖的頂端向下看，經(jīng)細(xì)心視察，發(fā)覺(jué)上下層中相鄰的兩片葉子之間約為137.5°.假如每層葉子只畫(huà)一片來(lái)代表，第一層和其次層的相鄰兩葉之間的角度差約是137.5°，以后二到三層，三到四層，四到五層……兩葉之間都成這個(gè)角度數(shù).植物學(xué)家經(jīng)過(guò)計(jì)算表明：這個(gè)角度對(duì)葉子的采光、通風(fēng)都是最佳的.葉子的排布，多么精致葉子間的137.5°中，藏有什么“密碼”呢？我們知道，一周是360°，360°－137.5°＝222.5°，137.5°∶222.5°≈0.618.瞧，這就是“密碼”！葉子的精致而奇妙的排布中，竟然隱藏著0.618.有些植物的花瓣及主干上枝條的生長(zhǎng)，也是符合這個(gè)規(guī)律的.4.建筑中的黃金數(shù)世界上最出名的建筑物中幾乎都包含“黃金分割比”.遍布全球的眾多優(yōu)秀近現(xiàn)代建筑，盡管其風(fēng)格各異，但在構(gòu)圖布局設(shè)計(jì)方面，都有意無(wú)意地運(yùn)用了黃金分割的法則，給人以整體上的和諧與悅目之美.著名遐邇的巴特農(nóng)神廟也是這樣一個(gè)例子，神廟外部呈長(zhǎng)方形，長(zhǎng)228英尺，寬101英尺，有46根多立克式環(huán)列圓柱構(gòu)成柱廊.文明古國(guó)埃及的金字塔，形似方錐，大小各異.但這些金字塔底面的邊長(zhǎng)與高之比都接近于0.618，能使平直單調(diào)的塔身變得豐富多彩；在現(xiàn)代建筑中，一些摩天建筑中運(yùn)用“黃金分割點(diǎn)”進(jìn)行處理，在這類(lèi)高層建筑物的黃金分割處布置腰線或裝飾物，則可使整個(gè)樓群顯得宏偉雅致.如著名遐邇的法國(guó)巴黎埃菲爾鐵塔、當(dāng)今世界最高建筑之一的加拿大多倫多電視塔(553.33米)，都是依據(jù)黃金分割的原則來(lái)建立的.上海的東方明珠廣播電視塔，塔身高達(dá)468米.為了美化塔身，設(shè)計(jì)師奇妙地在上面裝置了晶瑩刺眼的上球體、下球體和太空艙，既可供游人登高俯瞰地面景色，又使筆直的塔身有了曲線改變.更妙的是，上球體所選的位置在塔身總高度5∶8的地方，即從上球體到塔頂?shù)木嚯x，同上球體到地面的距離大約是5∶8這一符合黃金分割之比的支配，使塔體挺立秀美，具有審美效果.三、開(kāi)展生活中實(shí)際調(diào)查的探討及成果經(jīng)過(guò)我們的探討，我們覺(jué)得應(yīng)當(dāng)自己去找尋生活中的黃金數(shù).1.下面就是我們實(shí)地測(cè)量結(jié)果的統(tǒng)計(jì)表格，從中我們發(fā)覺(jué)其實(shí)黃金數(shù)就在我們的身邊.只要略微留心一下便可發(fā)覺(jué)它離我們的生活有多近！在生活中，只要我們擅長(zhǎng)視察，擅長(zhǎng)思索，將所學(xué)的學(xué)問(wèn)與生活結(jié)合起來(lái)將會(huì)感到數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，生活中到處都應(yīng)用著數(shù)學(xué)的學(xué)問(wèn).物品寬(cm)長(zhǎng)(cm)比值教室墻體磚塊18290.621一片葉子0.91040.6428學(xué)生921500.613安中學(xué)生證6.1100.61安中校內(nèi)雕像51830.614安中課桌40650.6152.在實(shí)地調(diào)查、相關(guān)問(wèn)題的訪問(wèn)、同學(xué)們之間相互溝通探討后，我們從中獲得了不少的生活小學(xué)問(wèn).如(1)報(bào)幕員應(yīng)站在舞臺(tái)的什么地方報(bào)幕最佳？答：依據(jù)黃金分割，應(yīng)站在舞臺(tái)寬度的0.618處以站在舞臺(tái)長(zhǎng)度的黃金分割點(diǎn)的位置最美觀，聲音傳播得最好.(2)假如您準(zhǔn)備買(mǎi)臺(tái)25寸的國(guó)產(chǎn)彩色電視機(jī)，要想物美價(jià)廉，最佳價(jià)位是多少？答：如上所述，要想確定最佳價(jià)格，我們得知道同一品牌的最高價(jià)與最低價(jià)，然后依據(jù)公式：(最高價(jià)位－最低價(jià)位)×0.618＋最低價(jià)位＝最佳價(jià)位.以下是我們的調(diào)查結(jié)果名牌高檔的價(jià)格(元)低檔的價(jià)格(元)最佳的價(jià)格(元)長(zhǎng)虹彩電135012801320創(chuàng)維彩電129511001221(3)請(qǐng)問(wèn)在夏季，人們?yōu)槭裁刺貏e留戀春天的感覺(jué)？答：人在春季感到安逸，那是因?yàn)檫@時(shí)的環(huán)境溫度正好在22至24攝氏度之間，而這種氣溫與人的正常體溫37攝氏度正呈現(xiàn)微妙之處：人的正常體溫37攝氏度與0.618的乘積為22.8攝氏度，人在這一環(huán)境溫度中，機(jī)體的新陳代謝、生理活動(dòng)均處于最佳狀態(tài).四、問(wèn)題與建設(shè)在這次探討性學(xué)習(xí)