高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省永州市2025屆高三下學(xué)期第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】集合，又集合，所以.故選：B.2.若復(fù)數(shù)z滿足，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋?，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為.故選：D.3.已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，，則（）A.40 B.45 C.50 D.55【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，則.故選：B.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所?故選：C.5.的展開式的第4項(xiàng)系數(shù)是（）A. B.280 C. D.560【答案】A【解析】的展開式的第4項(xiàng)系數(shù)是.故選：A6.已知橢圓E：，點(diǎn)，若直線（）與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（）A. B.4 C. D.8【答案】D【解析】橢圓E：的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，半焦距，則點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，其右焦點(diǎn)為，而直線恒過定點(diǎn)，所以的周長(zhǎng)為.故選：D7.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】已知，可得．因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立．移項(xiàng)可得在區(qū)間上恒成立，令，，則．對(duì)求導(dǎo)，可得：．令，即，因?yàn)楹愠闪ⅲ?，解得或．?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．所以在處取得極大值，也是最大值，．

因?yàn)?，所以?shí)數(shù)的最小值為．

故選：C．8.如果數(shù)列對(duì)任意的，都有成立，則稱為“速增數(shù)列”.若數(shù)列為“速增數(shù)列”，且任意項(xiàng)，，，，則正整數(shù)k的最大值為（）A.62 B.63 C.64 D.65【答案】B【解析】由題干條件，即，也即數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)之差嚴(yán)格遞增，要使得正整數(shù)最大，則數(shù)列增長(zhǎng)盡可能緩慢，需要讓相鄰兩項(xiàng)差值盡可能小，即相鄰兩項(xiàng)差值構(gòu)成公差為1的等差數(shù)列，因?yàn)?，則，，，所以，采用累加法，令，即，解得，當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，無法構(gòu)造“速增數(shù)列”滿足題意，故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法中，正確的有（）A.具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量x，y的相關(guān)系數(shù)r越大，則x，y之間的線性相關(guān)程度越強(qiáng)B已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則C.數(shù)據(jù)27，30，37，39，40，50的第30百分位數(shù)是30D.若一組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖為單峰不對(duì)稱，且在右邊“拖尾”，則樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于中位數(shù)【答案】BCD【解析】對(duì)于A，具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量x，y的相關(guān)系數(shù)越大，則x，y之間的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，故A不正確；對(duì)于B，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，又，所以，則，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以?shù)據(jù)27，30，37，39，40，50的第30百分位數(shù)是30，故C正確；對(duì)于D，由對(duì)稱性知若頻率分布直方圖左右對(duì)稱，則平均數(shù)等于中位數(shù)，而若頻率分布直方圖為單峰不對(duì)稱，且在右邊“拖尾”，則平均數(shù)大于中位數(shù)，故D正確.故選：BCD.10.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為 B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.曲線關(guān)于直線對(duì)稱 D.【答案】ABD【解析】A，，則是的周期，假設(shè)其最小正周期，則對(duì)任意恒成立，故當(dāng)時(shí)，，即①，當(dāng)時(shí)，，即②，當(dāng)時(shí)，，即③，①②兩式相加得，因，則，則或或，即或或，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)或時(shí)，①式不成立；當(dāng)時(shí)，③式不成立，故是的最小正周期，故A正確；B，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，故B正確；C，因，，則，故曲線不關(guān)于直線對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；D，先證明，令，則，則在上單調(diào)遞減，則，即，即，等號(hào)成立時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)有，又因和均為偶函數(shù)，則恒成立且等號(hào)成立時(shí)，則，等號(hào)成立時(shí)，故D正確.故選：ABD11.已知平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線l：的距離之和等于6，其軌跡為曲線，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的拋物線的一部分B.點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是C.若過點(diǎn)直線與曲線的部分圖象和部分圖象分別交于，則D.對(duì)給定的點(diǎn)（），用表示的最小值，則的最小值為【答案】ACD【解析】由于平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線l：的距離之和等于6，則，所以，整理得軌跡為曲線：；對(duì)于A，若，則軌跡為曲線化簡(jiǎn)得，則點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的拋物線的一部分，故A正確；對(duì)于B，若，則曲線為，可得，則，若，則軌跡為曲線化簡(jiǎn)得，可得，，綜合，可得，解得，所以點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是，故B不正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)B，可得曲線的圖象如圖所示：設(shè)曲線的左右端點(diǎn)為，又，所以，設(shè)直線的方程為，則，即，聯(lián)立，解得，聯(lián)立，解得，當(dāng)時(shí)，則，，所以，故；當(dāng)時(shí)，則，，所以，故；綜上，恒成立，故C正確；對(duì)于D，如圖，設(shè)直線與曲線的交點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，代入曲線中可得或，則，如圖1：當(dāng)時(shí)，，則；如圖2：當(dāng)時(shí)，，則如圖3：當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋瑒t，所以，綜上，的最小值為.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)是偶函數(shù)，則__________.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，且定義域?yàn)椋傻?，即，所以，即恒成立，所以且，解?故答案為：.13.已知直線與圓C：交于A，B兩點(diǎn)，且，則________.【答案】【解析】取中點(diǎn)，連接，因?yàn)辄c(diǎn)為中點(diǎn)，所以，所以，所以或（舍），由于圓C：的圓心，半徑，則圓心到直線的距離相交弦長(zhǎng)，則，解得.故答案為：.14.已知四棱臺(tái)的底面為矩形，上底面積為下底面積的，所有側(cè)棱長(zhǎng)均為.當(dāng)該四棱臺(tái)的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為__________.【答案】【解析】由題意設(shè)下底長(zhǎng)、寬分別為，則上底邊長(zhǎng)、寬為，如圖1，分別是上下底面的中心，連結(jié)，，，圖1，根據(jù)邊長(zhǎng)關(guān)系，知該棱臺(tái)的高為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，取得最大值；此時(shí)棱臺(tái)的高，上底面外接圓半徑，下底面半徑，設(shè)球的半徑為R，顯然球心M在所在的直線上.顯然球心M在所在直線上.圖2當(dāng)棱臺(tái)兩底面在球心異側(cè)時(shí)，即球心M在線段上，如圖2，設(shè)，則，，顯然則，有，即解得，舍去.圖3當(dāng)棱臺(tái)兩底面在球心同側(cè)時(shí)，顯然球心M在線段的延長(zhǎng)線上，如圖3，設(shè)，則，顯然即，即解得，，此時(shí)，外接球的表面積為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.且.（1）求的值；（2）若，，求的面積.解：（1）因?yàn)?，由余弦定理得，所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，所?（2）因，，由正弦定理得，所以，因?yàn)?，所以，則的面積為.16.某學(xué)校為調(diào)查高三年級(jí)的體育開展情況，隨機(jī)抽取了20位高三學(xué)生作為樣本進(jìn)行體育綜合測(cè)試，體育綜合測(cè)試成績(jī)分4個(gè)等級(jí)，每個(gè)等級(jí)對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)和人數(shù)如下表所示：等級(jí)不及格及格良優(yōu)分?jǐn)?shù)1234人數(shù)3953（1）若從樣本中隨機(jī)選取2位學(xué)生，求所選的2位學(xué)生分?jǐn)?shù)不同的概率；（2）用樣本估計(jì)總體，以頻率代替概率.若從高三年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取n位學(xué)生，記所選學(xué)生分?jǐn)?shù)不小于3的人數(shù)為X.（?。┤?，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）若，當(dāng)k為何值時(shí)，最大？解：（1）設(shè)事件“選取的2位學(xué)生分?jǐn)?shù)不同”，則，故所選的2位學(xué)生分?jǐn)?shù)不同的概率為；（2）設(shè)“學(xué)生分?jǐn)?shù)不小于3”，則，（?。┤?，的可能取值為，由題意可得,又，，，，所以的分布列為：由于，則；（ⅱ）若，則，所以，由于最大，所以，即，因?yàn)椋?，所以時(shí)，最大.17.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為菱形，，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，F(xiàn)為BC的中點(diǎn).（1）證明：；（2）若直線AP與DF的夾角的余弦值為，求直線PC與平面PAB所成角的正弦值.（1）證明：記的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)闉榱庑危?，所以為正三角形，所以，由為正三角形可得，因?yàn)槭瞧矫鎯?nèi)的兩條相交直線，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?（2）解：由（1）知，，過點(diǎn)作平面，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)槠矫妫渣c(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)，設(shè)，，則，，所以，，因?yàn)橹本€AP與DF的夾角的余弦值為，所以，解得，因?yàn)?，所以，得，所以，設(shè)平面PAB的法向量為，則，令得，記直線PC與平面PAB所成角為，則.18.已知雙曲線E：（，）的虛軸長(zhǎng)為2，離心率為.（1）求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）過點(diǎn)的直線l與E的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)，直線BC與直線交于點(diǎn)N.（?。┳C明：直線AN的斜率為定值：（ⅱ）記，分別為，的面積，求的取值范圍.解：（1）已知雙曲線的虛軸長(zhǎng)為，則，解得.又因?yàn)殡x心率，且，把代入可得.由可得，將其代入中，得到.解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）（?。┊?dāng)斜率為0時(shí)：已知，BC方程.令，則，解得，所以..當(dāng)斜率不為0時(shí)：設(shè)AB方程，與聯(lián)立：把代入得.由韋達(dá)定理得，.因?yàn)橹本€交左右兩支，有t2-3≠0Δ=12(BC方程，令，得，即.則，經(jīng)化簡(jiǎn)得，把，代入.先看分子：再看分母：此時(shí).因?yàn)?，，約分后可得.（ⅱ）當(dāng)斜率為0時(shí)，因?yàn)椋瑑扇切蜗嗨疲?當(dāng)斜率不為0時(shí)，不妨設(shè)，，，所以..，代入與的值得.因?yàn)椋?，結(jié)合，解得.所以.綜上，取值范圍是.19.已知函數(shù)（），且有唯一零點(diǎn).（1）證明：；（2）證明：；（3）判斷數(shù)列中是否存在連續(xù)三項(xiàng)按某順序構(gòu)成等比數(shù)列，并說明理由.（1）證明：要證，即證.設(shè)，對(duì)求導(dǎo)得.當(dāng)，，遞減；當(dāng)，，遞增.所以在取最小值，即，原不等式得證.（2）證明：先證：由（1）知，則，即.因?yàn)?，所以，可?當(dāng)，.，時(shí)也滿足，所以.再證：由（1）得，又，所以，即.因?yàn)椋?，則..綜上，.（3）解：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)在