高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2025屆高三下學(xué)期教學(xué)情況調(diào)研（二）數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故，，故，所以，又，故.故選：A.2.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】故選：B.3.詩歌朗誦比賽共有八位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時(shí)，從8個(gè)原始評分中去掉1個(gè)最高分和1個(gè)最低分，得到6個(gè)有效評分，6個(gè)有效評分與8個(gè)原始評分相比，一定不變的數(shù)字特征是（）A.極差 B.平均數(shù) C.中位數(shù) D.標(biāo)準(zhǔn)差【答案】C【解析】根據(jù)題意，將8個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列，從8個(gè)原始評分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到6個(gè)有效評分，6個(gè)有效評分與8個(gè)原始評分相比，最中間的兩個(gè)分?jǐn)?shù)不變，而最高分、最低分、平均分、標(biāo)準(zhǔn)差都有可能發(fā)生變化，因此一定不變的數(shù)字特征是中位數(shù).故選：C.4.已知圓：，將直線：繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到直線，則（）A.直線過圓心 B.直線與圓相交，但不過圓心C.直線與圓相切 D.直線與圓無公共點(diǎn)【答案】B【解析】直線：即，斜率為，傾斜角為，將直線繞原點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到直線，則直線的傾斜角為，所以直線的方程為，即，圓：的圓心坐標(biāo)為，半徑，圓心到直線的距離，直線與圓相交但不過圓心.

故選：B.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由與聯(lián)立，結(jié)合可解得：，，，再由二倍角公式可得，故選：B.6.已知等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為，則對于，下列結(jié)論一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，，，，，A錯(cuò)；，B錯(cuò)；，C錯(cuò)；一般情況，時(shí)，，，，，此時(shí)；時(shí)，，左邊，右邊左邊，D對；故選：D．7.已知函數(shù)和的定義域均為.若是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，則，令，可得，可得，在中令得，所以，在中令得，所以，所以.故選：D.8.一個(gè)底面邊長和側(cè)棱長均為4的正三棱柱密閉容器，其中盛有一定體積的水，當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r(shí)，水面高為.當(dāng)側(cè)面水平放置時(shí)（如圖），容器內(nèi)的水形成新的幾何體.若該幾何體的所有頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】方法一：，如圖，，而，，，即，由于到距離，則到距離，設(shè)正方形外接圓圓心，則設(shè)矩形外接圓圓心，則，設(shè)外接球半徑，，故外接球表面積為，故選;A.方法二：由當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r(shí)，水面高為可知容器內(nèi)的空氣占容器體積的，于是側(cè)放時(shí)，圖中的空氣區(qū)域的“小三棱柱”的體積為容器的，因此“小三棱柱”的底面“小三角形”的面積為大三角形的，則邊長之比為，即“小三角形”邊長為1.然后如圖：設(shè)圓的半徑為，由余弦定理可得，故，故，所以外接球的半徑為，所以球的表面積為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.的展開式中，則（）A.的系數(shù)為 B.第3項(xiàng)與第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等C.所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為32 D.所有項(xiàng)的系數(shù)和為32【答案】ABC【解析】A選項(xiàng)，展開式第項(xiàng)，時(shí)，，A對；B選項(xiàng)，第3項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)為，第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，兩者相同，B對.C選項(xiàng)，所有項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為，C對.D選項(xiàng)，時(shí)，，即所有項(xiàng)的系數(shù)和為，D錯(cuò)；故選：ABC10.已知函數(shù)，則（）A.的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱B.的最小正周期為C.的最小值為D.在上有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解【答案】BD【解析】方法一：由，則，，則，所以不可能關(guān)于對稱，A錯(cuò)誤；因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，函數(shù)的最小正周期為，則的最小正周期為，B正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)大致圖象，如圖，則，C錯(cuò)誤，在有4個(gè)根，D正確.方法二：由，作出和的圖像，取位于上方的部分即可：由圖可知，AC錯(cuò)誤，B正確，對于D，計(jì)算知與在內(nèi)的交點(diǎn)坐標(biāo)為，而，結(jié)合函數(shù)的圖象特征可知函數(shù)與圖象在內(nèi)有四個(gè)交點(diǎn)，所以在上有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，故D正確.故選：BD.11.已知為曲線：上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（異于原點(diǎn)），在處的切線是指曲線在處的切線.直線為在處的切線，過作的垂線，若，分別與軸交于，兩點(diǎn)，則（）A.關(guān)于軸對稱B.到點(diǎn)的距離不小于到直線的距離C.存在，使得D.當(dāng)取得最小值時(shí)，直線的斜率為【答案】ACD【解析】A，若點(diǎn)滿足方程，則點(diǎn)也滿足方程，則關(guān)于軸對稱，故A正確；B，設(shè)，則，則到點(diǎn)的距離，到直線的距離，則，當(dāng)時(shí)，，即，所以B錯(cuò)誤；C，設(shè)，則，因，則，則曲線在點(diǎn)處切線斜率為，所以直線為，直線為，所以，，可得，，則因，故存在，使得時(shí)，故C正確；D，由C選項(xiàng)可知，，等號(hào)成立時(shí)，，即，此時(shí)的斜率為，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知平面向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為______.【答案】【解析】，，，.故答案為：13.在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，焦距長為.若和拋物線交于，兩點(diǎn)，且為正三角形，則的離心率為______.【答案】【解析】由對稱性知、關(guān)于軸對稱，為正三角形，則由正三角形對稱性可知、為與拋物線的交點(diǎn)，聯(lián)立與得或0（舍去），當(dāng)時(shí)，，故其中一個(gè)交點(diǎn)為，設(shè)雙曲線方程為，故，解得，在雙曲線上，，，故離心率為；故答案為：14.已知隨機(jī)變量，相互獨(dú)立，且，，則______；若，則______.【答案】①.②.【解析】，，.并利用，記原式，倒序相加.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.某種產(chǎn)品可以采用甲、乙兩種工藝來生產(chǎn)，為了研究產(chǎn)品的質(zhì)量與所采用的生產(chǎn)工藝的關(guān)聯(lián)性，現(xiàn)對該種產(chǎn)品進(jìn)行隨機(jī)抽查，得到的結(jié)果如下表所示.工藝甲工藝乙合計(jì)合格6040100不合格203050合計(jì)8070150（1）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析產(chǎn)品的質(zhì)量是否與采用的工藝有關(guān)；（2）在不合格的50件樣本產(chǎn)品中任選3件，求在這3件樣本產(chǎn)品中至少有1件是采用工藝甲生產(chǎn)的條件下，這3件樣本產(chǎn)品中恰有一件是采用工藝乙生產(chǎn)的概率.附：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）零假設(shè)：產(chǎn)品的質(zhì)量與采用的工藝無關(guān)，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，產(chǎn)品的質(zhì)量與采用的工藝有關(guān).（2）記事件為3件樣本產(chǎn)品中至少有1件是采用工藝甲，事件為這3件樣本產(chǎn)品中恰有一件是采用工藝乙..16.如圖，在三棱柱中，，，，.（1）證明：平面；（2）若，二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：，，，由余弦定理得，，，，又，，平面，平面；（2）解：平面，平面，且，二面角平面角為，而，，等邊三角形，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，所在平面為平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，，由，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，，解得，令，則，故，設(shè)與平面所成角為，.17.已知橢圓：的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn).，是的左、右焦點(diǎn).（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過的直線與交于，兩點(diǎn).若的內(nèi)切圓半徑為，，求的值.解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由離心率為，得，令，，橢圓：過點(diǎn)，則，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）知，設(shè)直線方程為，，，由消去得，，，，，而，，則，解得，所以.18.已知函數(shù)，，.（1）若曲線在點(diǎn)的切線也是曲線的切線，求的值；（2）討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；（3）若對任意恒成立，求的取值范圍.解：（1）由已知得，，在點(diǎn)處的切線方程為.設(shè)與切于，，，則過該點(diǎn)的切線方程為：，整理得，由于該切線與重合，則.（1）由，求導(dǎo)得，①當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，令當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增③當(dāng)時(shí)，令當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減（3）由題意得，即對恒成立.令，，令，，因?yàn)椋?，若，則在處的切線必然是上升的，又因?yàn)椋援?dāng)且靠近的函數(shù)值滿足，此時(shí)就有，從而可推導(dǎo)在且靠近的附近是遞增的，又因?yàn)?，所以在且靠近的附近必有則必然不滿足對恒有，所以要滿足對恒有，首先必需滿足在且靠近的附近，所以滿足，從而可得參數(shù)滿足的必要條件是；下面再證充分性，當(dāng)，時(shí)，則，即有，又構(gòu)造，，可得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，即，則可知，則，恒成立，符合題意，綜上：的取值范圍為.19.若無窮數(shù)列滿足：，，，則稱為“均值遞減數(shù)列”.（1）已知無窮數(shù)列的前項(xiàng)和為，若為“均值遞減數(shù)列”，求證：，；（2）若數(shù)列的通項(xiàng)公式，判斷是否為“均值遞減數(shù)列”，并說明理由；（3）若兩個(gè)正項(xiàng)數(shù)列和均為“均值遞減數(shù)列”，證明：數(shù)列也為“均值遞減數(shù)列”.（1）證明：法一：；法二：為“均值遞減數(shù)列”，關(guān)于單調(diào)遞減，即關(guān)于單調(diào)遞減，，；（2）解：法一：設(shè)的前項(xiàng)和為，令，則，判別式小于零，所以遞減，因此是“均值遞減數(shù)列”；法二：易知時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增且時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減且，且計(jì)算易得，設(shè)前項(xiàng)和為，歸納假設(shè)，，時(shí)，，即，即，，，即，，時(shí)，成立.而成立，對且恒成立