第頁，共頁合作高級中學2025屆高三學生第五次模擬考試高三數(shù)學一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若z，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】由復(fù)數(shù)除法運算法則，求出，即可求解.【詳解】，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限.故選:D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)運算及幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.2.中，若，，，則向量可用，表示為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平面向量的線性運算直接求解即可.【詳解】在中，，則.又因為，所以.故選：A3.設(shè)集合，，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷．【詳解】，，∵，∴“”是“”的充要條件.故選：C.【點睛】本題考查充分條件與必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題．4.已知直線y=x+1與曲線相切，則α的值為A.1 B.2 C.-1 D.-2【答案】B【解析】詳解】設(shè)切點，則，又，故答案選B．5.已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，則下列結(jié)論中正確的是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【詳解】A中，n還有可能在平面α內(nèi)；B中m，n可能相交、平行、異面；由線面平行的性質(zhì)定理可得C正確.D中m，n可能異面.選C.6.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題圖知且，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)即可.【詳解】由題圖，，則，可得，又，故，，所以，，又，則.綜上，，.故選：A7.有甲、乙兩個袋子，甲袋子中有3個白球，2個黑球；乙袋子中有4個白球，4個黑球．現(xiàn)從甲袋子中任取2個球放入乙袋子，然后再從乙袋子中任取一個球，則此球為白球的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)獨立事件與古典概型計算分從甲袋子取出2個白球放入乙袋子、從甲袋子取出2個黑球放入乙袋子和從甲袋子取出1個白球和1個黑球放入乙袋子三種情況討論，從而可得出答案．【詳解】解：若從甲袋子取出2個白球放入乙袋子，然后再從乙袋子中任取一個球，則此球為白球的概率為；若從甲袋子取出2個黑球放入乙袋子，然后再從乙袋子中任取一個球，則此球為白球的概率為；若從甲袋子取出1個白球和1個黑球放入乙袋子，然后再從乙袋子中任取一個球，則此球為白球的概率為．從甲袋子中任取2個球放入乙袋子，然后再從乙袋子中任取一個球，則此球為白球的概率為．故選：B.8.拋物線的焦點為，已知點，為拋物線上的兩個動點，且滿足．過弦的中點作拋物線準線的垂線，垂足為，則的最大值為（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】設(shè)，，連接、．由拋物線定義得，由余弦定理可得，進而根據(jù)基本不等式，求得的取值范圍，從而得解．【詳解】解：設(shè)，，連接、，過點、作準線的垂線，垂足分別為、，由拋物線定義得，在梯形中，．由余弦定理得，配方得，，又當且僅當時取等號，得到，當且僅當時取等號，．所以，即的最大值為．故選：A．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分.9.習總書記講到：“廣大人民群眾堅持愛國奉獻,無怨無悔,讓我感到千千萬萬普通人最偉大,同時讓我感到幸福都是奮斗出來的”.某企業(yè)年個月的收入與支出數(shù)據(jù)的折線圖如下：已知：利潤收入支出,根據(jù)該折線圖,下列說法正確的是（）A.該企業(yè)年月至月的總利潤低于年月至月的總利潤B.該企業(yè)年第一季度的利潤約是萬元C.該企業(yè)年月至月的月利潤持續(xù)增長D.該企業(yè)年月份的月利潤最大【答案】AC【解析】【分析】先根據(jù)折線圖計算每個月的大概利潤,再逐項求解即可.【詳解】解：設(shè)利潤為,收入為,支出為.由圖像可得,,,,,選項A：根據(jù)數(shù)據(jù)該企業(yè)年月至月的總利潤低于年月至月的總利潤,故A正確.選項B：根據(jù)圖像數(shù)據(jù),故B錯誤.選項C：由數(shù)據(jù)知該企業(yè)年月至月的月利潤持續(xù)增長,故C正確.選項D：根據(jù)圖像數(shù)據(jù)月的月利潤最大,故D錯誤.故選：AC【點睛】本題考查折線圖,由折線圖獲取數(shù)據(jù)再運算,看懂折線圖是解題關(guān)鍵.10.已知函數(shù)，以下四個命題中真命題是（）A.，有B.，且，有C.，，有D.，【答案】ABCD【解析】【分析】求出可判斷A；由得在區(qū)間上單調(diào)遞增可判斷B；在單調(diào)遞增可判斷C；設(shè)得在單調(diào)遞增，；由奇函數(shù)性質(zhì)可判斷D．【詳解】，且其定義域為，，，有，故A是真命題；，由，可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，即，且，有，故B是真命題；在單調(diào)遞增，，，有，故C是真命題；設(shè)，則當時，，所以在單調(diào)遞增，所以當時，，即；由奇函數(shù)性質(zhì)可知，，，故D是真命題．故選：ABCD．11.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則（）A.函數(shù)為奇函數(shù)B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.若，則的最小值為D.函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象【答案】AC【解析】【分析】利用的圖象關(guān)于直線對稱，即可求出的值，從而得出的解析式，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷四個選項即可.【詳解】因為的圖象關(guān)于直線對稱，所以，得，，因為，所以，所以，對于A：，所以為奇函數(shù)成立，故選項A正確；對于B：時，，函數(shù)在上不是單調(diào)函數(shù)；故選項B不正確；對于C：因為，，又因為，所以的最小值為半個周期，即，故選項C正確；對于D：函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到，故選項D不正確；故選：AC【點睛】本題主要考查了利用三角函數(shù)的對稱軸求函數(shù)解析式，考查了三角函數(shù)平移變換、三角函數(shù)的周期、單調(diào)性、最值，屬于中檔題三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)滿足，且在上的導數(shù)滿足，則不等式的解集為________．【答案】【解析】【分析】由已知可令，判斷其單調(diào)性，將轉(zhuǎn)化為，即可求得答案.【詳解】令，則，∴在R上單調(diào)遞減．由，得，即．又，，∴，∴，解得或，故不等式的解集為，故答案為：13.已知分別為三個內(nèi)角的對邊，，則__．【答案】60°##【解析】【分析】根據(jù)余弦定理求，再根據(jù)余弦定理求角.【詳解】由余弦定理得，由余弦定理得，因為，所以．故答案為：14.如圖，在棱長為2正方體中，已知點，分別為直線，上的動點，給出下面四個結(jié)論：①異面直線，所成的角為；②點到平面的距離為定值；③若為中點，則點到距離為；④的最小值為則其中所有正確結(jié)論的序號是________．【答案】①②④【解析】【分析】連接，，先確定即為異面直線，所成的角，求解可判斷選項①；利用線面平行的判定定理證明平面，即可判斷選項②；利用等面積法求解點到的距離，即可判斷選項③；利用異面直線間的公垂線距離最短，建立合適的空間直角坐標系，利用異面直線間的距離公式求解，即可判斷選項④．【詳解】解：①連接，，由正方體的幾何性質(zhì)可得，，所以異面直線，所成的角即為與所成的角即，因為為等邊三角形，所以，故選項①正確；因為，且平面，平面，所以平面，則直線上的點到平面的距離相等，所以點到平面的距離為定值，故選項②正確；連接，，因為，，，所以，故為直角三角形，設(shè)點到距離為，由等面積法可得，，即，解得，所以若為中點，則點到距離為，故選項③錯誤；以點為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，則，0，，，2，，，0，，，0，，由三垂線定理可得，，，故向量是異面直線與的法向量，又，所以直線，公垂線的長度為，因為異面直線間的公垂線距離最短，所以的最小值為，故選項④正確．故答案為：①②④．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知正方形的邊長為，為兩條對角線的交點，如圖所示，將Rt△BED沿BD所在的直線折起，使得點E移至點C，滿足．（1）求四面體的體積；（2）請計算：①直線與所成角的大小；②直線與平面所成的角的大?。敬鸢浮浚?）；（2）①；②（或）．【解析】【分析】（1）利用勾股定理證明，結(jié)合，證明平面，從而是三棱錐的高，由錐體的體積公式求解即可；（2）建立合適的空間直角坐標系，求出所需點的坐標和向量的坐標．①利用異面直線所成角的計算公式求解即可；②利用待定系數(shù)法求出平面的法向量，然后由線面角的計算公式求解即可．【詳解】（1）由已知，有，，又由已知，有因為，所以平面，即是三棱錐的高，所以（2）分別以、、為坐標軸建立空間直角坐標系．則有，，，，，，①設(shè)與所成角的大小為，則．故，與所成角的大小為．②設(shè)為平面的一個法向量，則即令，得．故與平面所成的角為（或）．16.某中學號召學生在今年春節(jié)期間至少參加一次社會公益活動（以下簡稱活動）．該校合唱團共有100名學生，他們參加活動次數(shù)統(tǒng)計如圖所示．（I）求合唱團學生參加活動人均次數(shù)；（II）從合唱團中任意選兩名學生，求他們參加活動次數(shù)恰好相等的概率．（III）從合唱團中任選兩名學生，用表示這兩人參加活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望．【答案】（I）合唱團學生參加活動的人均次數(shù)為；（II）；（III）．【解析】【詳解】解：由圖可知，參加活動1次、2次和3次的學生人數(shù)分別為10、50和40．（I）該合唱團學生參加活動的人均次數(shù)為．（II）從合唱團中任選兩名學生，他們參加活動次數(shù)恰好相等的概率為．（III）從合唱團中任選兩名學生，記“這兩人中一人參加1次活動，另一人參加2次活動”為事件，“這兩人中一人參加2次活動，另一人參加3次活動”為事件，“這兩人中一人參加1次活動，另一人參加3次活動”為事件．易知；；.的分布列：012的數(shù)學期望：．17.已知橢圓的左、右焦點為，，若圓的方程為，且圓心滿足．（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線交橢圓于，兩點，過與垂直的直線交圓于，兩點，為線段中點，若的面積為，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出即得橢圓的方程.（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，求出，結(jié)合圓的性質(zhì)將的面積轉(zhuǎn)化為的面積，求出點到的距離，由面積大小求出斜率并驗證得解.【小問1詳解】依題意，，則，解得，而，則，所以橢圓的方程為．【小問2詳解】如圖，設(shè)，由消去，得，，，，則，由為線段中點，得，由，得，則，又點到的距離，于是，整理得，解得，此時，圓心到的距離成立，故.18.已知函數(shù)，當時，恒有．（1）求的表達式及定義域；（2）若方程有解，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1），定義域為：；（2）．【解析】【分析】（1）由得，由得，聯(lián)立解得，從而可得的表達式，由真數(shù)大于0，解不等式可得定義域；（2）轉(zhuǎn)化為求函數(shù)，的值域可解得結(jié)果.【詳解】（1）由得，所以①，因為當時，恒有，所以時，有，所以，所以，化簡得②，聯(lián)立①②，解得，所以，由得，解得或，所以的定義域為.（2）因為方程有解，所以有解，所以在內(nèi)有解，因為，因為，所以，所以，所以，所以，即【點睛】本題考查了求函數(shù)的解析式、定義域、值域，考查了對數(shù)的運算法則，考查了方程有解問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.19.已知數(shù)列各項均為正數(shù)，為其前項的和，且成等差數(shù)列.（1）寫出、、的值，并猜想數(shù)列的通項公式；（2）證明（1）中的猜想；（3）設(shè)，為數(shù)列的前項和.若對于任意，都有，求實數(shù)的值.【答案】（1），，，；（2）詳見解析；（3）.【解析】【分析】（1）代入，求出，，，猜想出即可；（2）利用等