蘄春實(shí)高2025屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)★祝考試順利★本試卷共19題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1.若集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)集合的表示法可發(fā)現(xiàn)集合是點(diǎn)集，集合是數(shù)集，所以交集為空集.【詳解】因?yàn)榧媳硎局本€上所有點(diǎn)的集合，其元素是點(diǎn)，集合表示直線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合，其元素是數(shù)，所以.故選：D.2.已知，且，其中，實(shí)數(shù)，則（）A.1 B.3 C. D.5【答案】C【解析】【分析】先利用算出，則能通過(guò)得到關(guān)于，的方程組，解出，，即可求出答案【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以由可得，解得，所以，故選：C3.已知，為單位向量，且在上的投影向量為，則（）A.5 B. C.3 D.【答案】D【解析】【分析】先確定與的夾角，再求，進(jìn)而可解出.【詳解】解：因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛椋耘c的夾角為，所以，所以，所以.故選：D．4.已知為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（）①若，則；②過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面與這條直線平行；③若，則必垂直于面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線；④若為異面直線且點(diǎn)，則存在兩條直線過(guò)點(diǎn)且與都相交.A.④ B.③ C.② D.①【答案】B【解析】【分析】根據(jù)線面垂直性質(zhì)可知①錯(cuò)誤，由點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系以及線面平行的性質(zhì)可得②錯(cuò)誤，利用面面垂直判定定理及其性質(zhì)可判斷③正確，由異面直線定義以及基本定理可得僅有一條直線過(guò)點(diǎn)且與都相交，即④錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于①，若，則可知或，如下圖中所示：即①錯(cuò)誤；對(duì)于②，不妨取正方體為例，如下圖所示：直線外一點(diǎn)，此時(shí)平面與均與直線平行，因此過(guò)直線外一點(diǎn)，可以作與這條直線平行的平面并不唯一，即②錯(cuò)誤；對(duì)于③，若，不妨設(shè)，作，且，所以可知，顯然這樣的直線可以作出無(wú)數(shù)條，如下圖所示：所以必垂直于面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，即③正確；對(duì)于④，在直線上取兩點(diǎn)，在直線上取兩點(diǎn)，如下圖所示:因?yàn)闉楫惷嬷本€且點(diǎn)，所以過(guò)三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面，同理過(guò)三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面，此時(shí)兩平面僅有一條過(guò)點(diǎn)的交線，所以④錯(cuò)誤；綜上可知，僅有③正確.故選：B5.已知雙曲線的一條漸近線方程為，、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線上一點(diǎn)，若，則（）A. B.或 C.或 D.【答案】D【解析】【分析】求出的值，利用雙曲線的定義可求得.【詳解】由題意知，所以，所以，所以，所以點(diǎn)在雙曲線的左支上，所以，所以，故選：D.6.函數(shù)的最小正周期為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出函數(shù)的定義域，再利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)，求出周期作答.【詳解】函數(shù)中，，且，即有，且，于是得原函數(shù)定義域?yàn)榍?，又，函?shù)最小正周期為，顯然區(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，原函數(shù)都有意義，而區(qū)間內(nèi)取不為的實(shí)數(shù)原函數(shù)才有意義，因此原函數(shù)的周期不是，又，經(jīng)驗(yàn)證任取長(zhǎng)度為的區(qū)間，每個(gè)單位平移，不在定義域內(nèi)的實(shí)數(shù)呈周期性，如區(qū)間中，且，區(qū)間中，且，不取的實(shí)數(shù)依次相差，所以原函數(shù)的最小正周期為.故選：B7.如圖，某池塘里浮萍的面積（單位：）與時(shí)間（單位：月）的關(guān)系為，關(guān)于下列說(shuō)法，其中正確的說(shuō)法是（）①浮萍每月的增長(zhǎng)率相同；②若函數(shù)與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則函數(shù)的值域?yàn)榈某湟獥l件是；③若，則當(dāng)時(shí)，恒成立；④若浮萍蔓延到所經(jīng)過(guò)的時(shí)間分別是，則.A.①③④ B.③④ C.②③④ D.①②④【答案】A【解析】【分析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入可求出，通過(guò)增長(zhǎng)率計(jì)算可判斷①；根據(jù)反函數(shù)的定義可知，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可判斷②；利用基本不等式計(jì)算判斷③；利用指數(shù)冪的運(yùn)算判斷④.【詳解】由圖象可知，函數(shù)過(guò)點(diǎn)，則，即.對(duì)于①，浮萍每月的增長(zhǎng)率為，故①正確；對(duì)于②，若函數(shù)與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則，則，要使其值域?yàn)椋瑒t函數(shù)的值域要包含，因?yàn)槎魏瘮?shù)開(kāi)口向上，所以即可，解得或，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，，設(shè)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以，故③正確；對(duì)于④，由題意知，，，，所以，，則，故，故④正確.故選：A.8.已知實(shí)數(shù)，且，則下列四個(gè)結(jié)論中，正確的有（）A. B.C. D.的最小值是【答案】D【解析】【分析】由題意構(gòu)造函數(shù)構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得函數(shù)單調(diào)性、極值情況，即可判斷A，B，C，將目標(biāo)式子轉(zhuǎn)換為關(guān)于的函數(shù)即可求解.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，由可得或，由可得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)閍，b，c為函數(shù)的三個(gè)零點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，所以由零點(diǎn)存在定理可得，，，而與矛盾，由不能得到，由不能得到或；故A、B、C錯(cuò)誤；由條件可得，，所以，所以當(dāng)時(shí)取得最小值，故D正確.故選：D.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.為研究光照時(shí)長(zhǎng)（小時(shí)）和種子發(fā)芽數(shù)量（顆）之間的關(guān)系，某課題研究小組采集了10組數(shù)據(jù)，繪制散點(diǎn)圖如圖所示，并進(jìn)行線性回歸分析，若去掉點(diǎn)后，下列說(shuō)法正確的是（）A.決定系數(shù)變大B相關(guān)系數(shù)變小C.殘差平方和變小D.這些數(shù)據(jù)中的x的平均值變小，的平均值變大【答案】AC【解析】【分析】由圖可知：點(diǎn)較其他的點(diǎn)偏離直線最大，所以去掉點(diǎn)后，回歸效果更好.結(jié)合相關(guān)系數(shù)、決定系數(shù)、殘差平方和以及點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)平均值逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】由圖可知：較其他的點(diǎn)偏離直線最大，所以去掉點(diǎn)后，回歸效果更好.對(duì)于A，決定系數(shù)越接近于1，擬合效果越好，所以去掉點(diǎn)后，決定系數(shù)變大，故A正確；對(duì)于B，相關(guān)系數(shù)越接近于1，線性相關(guān)性越強(qiáng)，因?yàn)樯Ⅻc(diǎn)圖是遞增的趨勢(shì)，所以去掉點(diǎn)后，相關(guān)系數(shù)變大，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，殘差平方和變大，擬合效果越差，所以去掉點(diǎn)后，殘差平方和變小，故C正確；對(duì)于D，由圖可知，點(diǎn)在所有點(diǎn)中，橫坐標(biāo)較小，縱坐標(biāo)較大，所以去掉點(diǎn)后，x的平均值變大，的平均值變小，故D錯(cuò)誤；故選：AC.10.四照花美觀而鮮艷，具有清熱解毒、收斂止血的功能.曲線的軌跡和四照花頗為相似，下列說(shuō)法正確的是：（）A.曲線C所表示的圖形有條對(duì)稱軸B.能完全覆蓋曲線C的最小圓的面積為C.直線是曲線C與圓的公切線D.P為曲線C上第一象限的點(diǎn)，直線與坐標(biāo)軸交于E、F兩點(diǎn)，不存在點(diǎn)P使得的直角【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，將代入方程即可判斷，對(duì)于B，確定第一象限曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值即可判斷；對(duì)于C，由第一象限圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系即可判斷；對(duì)于D，確定以為直徑的圓的方程為：，聯(lián)立第一象限曲線，進(jìn)而可求解.【詳解】對(duì)于A：設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，將點(diǎn)方程，顯然滿足，所以曲線關(guān)于對(duì)稱，故A正確，當(dāng)時(shí)，，再結(jié)合A中對(duì)稱性，可得：曲線圖像，對(duì)于B：在第一象限，可知曲線對(duì)應(yīng)的圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以曲線在第一象限內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離最大值為，所以能完全覆蓋曲線C的最小圓，應(yīng)該是以為圓心，以為半徑的圓，面積為，B正確；對(duì)于C：在第一象限，可知曲線對(duì)應(yīng)的圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到的距離為：，所以直線是曲線C不相切，錯(cuò)誤；對(duì)于D：，則以為直徑的圓，圓心坐標(biāo)為：，半徑為：，所以圓的方程為：，即：，第一象限曲線，兩方程相減可得：，代入，可得：，解得：，此點(diǎn)在軸上，所以不存在點(diǎn)P使得的直角，D正確，故選：ABD11.在三棱錐中，，，，，且，則（）A.點(diǎn)的軌跡為橢圓B.當(dāng)平面固定時(shí)，點(diǎn)的軌跡對(duì)應(yīng)曲線的離心率為C.當(dāng)二面角為時(shí)，的面積與的面積之和有最大值D.二面角的余弦值的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A，可根據(jù)橢圓定義來(lái)判斷；對(duì)于B，根據(jù)雙曲線的定義判斷點(diǎn)C的軌跡，然后根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求出離心率；對(duì)于C，首先將兩個(gè)三角形的面積表達(dá)式列出來(lái)，然后根據(jù)二面角是120°，利用正弦定理，將的表達(dá)式列出來(lái)，然后根據(jù)角的范圍求出最大值；對(duì)于D，將二面角的余弦值表示出來(lái)后，通過(guò)化簡(jiǎn)求出最小值.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：在三棱錐中，因?yàn)?，根?jù)橢圓的定義：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（大于兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離）的點(diǎn)的軌跡叫橢圓.這里為兩個(gè)定點(diǎn)，為定值且大于，而點(diǎn)在空間中，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢球.所以A錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，根?jù)雙曲線的定義可知點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支.設(shè)雙曲線方程為，，則，則，所以離心率為，B正確.對(duì)于選項(xiàng)C：作，連接.因?yàn)槠矫?，所以平?所以，所以為的二面角，根據(jù)題意為120°..要求其最大值，即是求的最大值.在中，設(shè),根據(jù)正弦定理得.所以，所以.因?yàn)?，所以，所?所以的最大值為.所以的最大面積為，所以C正確.對(duì)于選項(xiàng)D：在平面中，因?yàn)?，，所以在該平面?nèi)點(diǎn)的軌跡是橢圓.所以，，所以橢圓方程為設(shè)為中點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的橢圓為：橢圓方程可變換為，所以可設(shè)，，在平面中，因?yàn)?，，所以在該平面?nèi)點(diǎn)的軌跡是雙曲線.所以，，所以雙曲線方程為.圖像如下：因?yàn)殡p曲線方程為，所以.所以，所以，根據(jù)余弦定理，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，二面角的余弦值的最小值為.D正確.故選：BCD.三.填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若是奇函數(shù),則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,得到,即可求出的值,求出函數(shù)的定義域，再由奇函數(shù)的性質(zhì),求出的值,即可得到結(jié)果。【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù),定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,由,可得,所以且,所以,解得,所以函數(shù)的定義域?yàn)?則,即,解得,此時(shí),,符合題意;故答案為:.13.甲、乙等5人去三個(gè)不同的景區(qū)游覽，每個(gè)人去一個(gè)景區(qū)，每個(gè)景區(qū)都有人游覽，若甲、乙兩人不去同一景區(qū)游覽，則不同的游覽方法的種數(shù)為_(kāi)______種.【答案】114【解析】【分析】由題意，根據(jù)分組分配的解題方法，結(jié)合正難則反的思想，可得答案.【詳解】由題意人去三個(gè)地方，不同分組有或，則不同的游覽方法的種數(shù)為，若甲乙去到同一景區(qū)，則不同的游覽方法的種數(shù)為，符合題意的不同的游覽方法的種數(shù)為.故答案為：.14.已知數(shù)列的首項(xiàng)為，前項(xiàng)和為，且，若，則的取值范圍為_(kāi)______________【答案】【解析】【分析】利用已知寫(xiě)出奇數(shù)、偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式，再應(yīng)用分組求和及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求，結(jié)合已知求的取值范圍.【詳解】當(dāng)為奇數(shù)，則，即，所以的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，則，即，當(dāng)為偶數(shù)，則，即，所以的偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，則，即，所以，若，則，即.故答案為：四.解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.如圖，銳角的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為，直線與的邊AB，AC分別相交于點(diǎn)D，E，設(shè)，滿足.（1）求角的大小；（2）若且，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理和三角恒等變換的公式，化簡(jiǎn)得到，進(jìn)而得到，即可求解；（2）由正弦定理，得到，化簡(jiǎn)，根據(jù)銳角三角形，求得，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，可得，可得，所以，可得，又因?yàn)椋傻?，所以，因?yàn)?，所?【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)椋傻们?，由正弦定理得，可得，則，在銳角三角形中，可得，可得，可得，所以，所以，所以，所以的取值范圍為.16.如圖，在四棱錐中，平面．（1）求的長(zhǎng)；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先根據(jù)平行和垂直的性質(zhì)得，，再利用線面垂直的判定與性質(zhì)得，，最后利用勾股定理求出線段長(zhǎng)；（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，最后再利用線面角的空間向量法即可得到答案.【小問(wèn)1詳解】取中點(diǎn)，連，，由，所以四邊形為平行四邊形，故.由平面，平面，有，所以.又，所以，又，平面，所以平面.由平面，所以.由平面，平面，有，故.又，故.【小問(wèn)2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為，軸的正方向，以過(guò)且與平面垂直向上為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.由，得為正三角形，故.又，.設(shè)平面的法向量，由，即，取，得到平面的一個(gè)法向量.又，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】17.已知函數(shù).（1）若函數(shù)在點(diǎn)處的切線與軸平行，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)的極大值為，求證：.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出，即可得出實(shí)數(shù)值；（2）對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，分析函數(shù)的單調(diào)性，求出的表達(dá)式，再利用導(dǎo)數(shù)證明出即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閯t.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，得.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，由可得或，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，由可得或，由可得，此時(shí)函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為，則的極大值等于；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，無(wú)極大值；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，由可得或，由可得，此時(shí)函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為，所以的極大值等于，令，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以故，綜上所述，.18.在某場(chǎng)乒乓球比賽中，甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員進(jìn)入到了比賽決勝局，且在該局中的比分為10:10，接下來(lái)比賽規(guī)則如下：兩人輪流各發(fā)一個(gè)球，誰(shuí)贏此球誰(shuí)就獲得1分，直到有一方得分超過(guò)對(duì)方2分時(shí)即可獲得該局的勝利.已知甲先發(fā)球，且甲此球取勝的概率為0.6.比賽既是實(shí)力的較量，也是心態(tài)的比拼，以后每球比賽，若上一球甲獲勝則甲在下一球比賽中獲勝的概率為0.8，若上一球乙獲勝則甲在下一球比賽中獲勝的概率為.記甲運(yùn)動(dòng)員在第球比賽中獲勝的概率為.（1）求甲以的比分贏得比賽的概率；（2）求與的關(guān)系；（3）若要使甲運(yùn)動(dòng)員以后每球比賽獲勝的概率都大于0.6，求的取值范圍.（參考知識(shí)：當(dāng)時(shí)，若，則.）【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件概率以及乘法公式直接計(jì)算即可；（2）依題意得出第次和第甲獲勝的概率，求出其遞推公式即可得出結(jié)論；（3）依據(jù)（2）中結(jié)論，利用等比數(shù)列定義得出的通項(xiàng)公式，再由數(shù)列單調(diào)性得出對(duì)應(yīng)不等式，解不等式即可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】記第一球比賽甲運(yùn)動(dòng)員獲勝的事件為，第二球比賽甲運(yùn)動(dòng)員獲勝的事件為，由題意知，且，可知；即甲以的比分贏得比賽的概率為.【小問(wèn)2詳解】記甲運(yùn)動(dòng)員在第球比賽中獲勝的概率為，則乙運(yùn)動(dòng)員在第球比賽中獲勝的概率為，所以，即【小問(wèn)3詳解】由（2）可知,可知數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則有，,①