專題12多邊形與平行四邊形

目錄

01理·思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識體系。

02盤·基礎(chǔ)知識：甄選核心知識逐項分解，基礎(chǔ)不丟分。（2大模塊知識梳理）

知識模塊一：多邊形

知識模塊二：平行四邊形

03究·考點考法：對考點考法進行細致剖析和講解，全面提升。（10大基礎(chǔ)考點）

考點一：多邊形內(nèi)角和問題

考點二：多邊形外角和問題

考點三：多邊形內(nèi)角和、外角和與角平分線、平行線的綜合應(yīng)用

考點四：利用平行四邊形的性質(zhì)求解

考點五：利用平行四邊形的性質(zhì)證明

考點六：證明四邊形是平行四邊形

考點七：利用平行四邊形的性質(zhì)與判定求解或證明

考點八：平行四邊形性質(zhì)和判定的應(yīng)用

考點九：已知中點，取另一條線段的中點構(gòu)造中位線

考點十：補全圖形利用中位線定理求解

04破·重點難點：突破重難點，沖刺高分。（2大重難點）

重難點一：平行四邊形與函數(shù)綜合

重難點二：與平行四邊形有關(guān)的新定義問題

05辨·易混易錯：點撥易混易錯知識點，夯實基礎(chǔ)。（1大易錯點）

易錯點1：未掌握求多邊形邊數(shù)的方法

1

知識模塊一：多邊形

知識點一：多邊形的相關(guān)概念

多邊形的概念：在平面中，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.

多邊形的相關(guān)概念：

多邊形的邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊.

多邊形的頂點：相鄰兩邊的公共端點叫做多邊形的頂點.

多邊形的內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊所組成的在多邊形內(nèi)部的角叫做多邊形的內(nèi)角，簡稱多邊形的角.

2

多邊形的外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長線組成的角，叫做多邊形的外角.

多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線.

【補充】

1）多邊形的邊數(shù)、頂點數(shù)及角的個數(shù)相等；

2）把多邊形問題轉(zhuǎn)化成三角形問題求解的常用方法是連接對角線；

3）多邊形對角線條數(shù)：從n邊形的一個頂點可以引（n-3）條對角線，這（n-3）條對角線把多邊形分成了

nn3

(n-2)個三角形，其中每條對角線都重復(fù)算一次，所以n邊形共有條對角線.

n

正多邊形的定義：各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.

【補充】1）正n邊形有n條對稱軸．

2）對于正n邊形，當n為奇數(shù)時，是軸對稱圖形；當n為偶數(shù)時，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，

對稱中心是多邊形的中心.

知識點二：多邊形的內(nèi)角和定理與外角和定理

多邊形內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為(n2)180（n3）.

多邊形外角和定理：多邊形的外角和恒等于360°，與邊數(shù)的多少沒有關(guān)系.

易錯易混

多邊形的有關(guān)計算公式有很多，一定要牢記，代錯公式容易導(dǎo)致錯誤：

①n邊形內(nèi)角和＝（n－2）×180°（n≥3）.

②從n邊形的一個頂點可以引出（n-3）條對角線，n個頂點可以引出n（n-3）條對角線，但是每條對角線

計算了兩次，因此n邊形共有條對角線.

?(??3)

③n邊形的邊數(shù)＝（內(nèi)角和÷1802°）＋2.

④n邊形的外角和是360°.

⑤n邊形的外角和加內(nèi)角和＝n×180°.

⑥在n邊形內(nèi)任取一點O，連接O與各個頂點，把n邊形分成n個三角形；在n邊形的任意一邊上任取一點

O，連接O點與其不相鄰的其它各頂點的線段可以把n邊形分成（n－1）個三角形；連接n邊形的任一頂點

A與其不相鄰的各個頂點的線段，把n邊形分成（n－2）個三角形．

3

知識模塊二：平行四邊形

知識點一：平行四邊形的性質(zhì)

性質(zhì)符號語言圖示

∵四邊形ABCD是平行四邊形

邊平行四邊形兩組對邊平行且相等

∴AB=CD,AD=BC,AB∥CD,AD∥BC

∵四邊形ABCD是平行四邊形

角平行四邊形對角相等

∴∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC

∵四邊形ABCD是平行四邊形

對角線平行四邊形的對角線互相平分

11

∴OA=OC=AC,BO=DO=BD

22

知識點二：平行四邊形的判定

判定符號語言（同上圖）

定義一組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形∵AB∥CD，AD∥BC∴四邊形ABCD是平行四邊形

兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形∵AB=CD，AD=BC∴四邊形ABCD是平行四邊形

邊

一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形∵AB=CD，AB∥CD∴四邊形ABCD是平行四邊形

角兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形∵∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC∴四邊形ABCD是平行四邊形

對角線對角線互相平分的四邊形是平行四邊形∵OA=OC，BO=DO∴四邊形ABCD是平行四邊形

【解題技巧】

一般地，要判定一個四邊形是平行四邊形有多種方法，主要有以下三種思路：

1）已知一組對邊平行,首先要考慮證另一組對邊平行，再考慮這組對邊相等；

2）已知一組對邊相等,首先要考慮證另一組對邊相等，再考慮這組對邊平行；

3）已知條件與對角線有關(guān)，?？紤]對角線互相平分；

4)已知條件與角有關(guān)，?？紤]兩組對角分別相等.

知識點三：平行線間的距離

定義：兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線之間的距離

性質(zhì)：1）兩條平行線間的距離處處相等.

2）兩條平行線間的任何兩條平行線段都是相等的.

4

考點一：多邊形內(nèi)角和問題

1．（2024·山東青島·中考真題）為籌備運動會，小松制作了如圖所示的宣傳牌，在正五邊形和正方

形中，，的延長線分別交，于點M，N，則的度數(shù)是（）?????

????????????∠???

A．B．C．D．

2．（9020°24·四川廣元·中考真9題9°）點F是正五邊形108°邊的中點，連接135°并延長與延長線交于點G，

則的度數(shù)為．???????????

∠???

3．（2024·山東威?！ぶ锌颊骖}）如圖，在正六邊形中，，，垂足為點I．若，

則．????????∥????⊥??∠???=20°

∠???=

考點二：多邊形外角和問題

1．（2024·江蘇徐州·中考真題）正十二邊形的每一個外角等于度．

2．（2024·四川遂寧·中考真題）佩佩在“黃娥古鎮(zhèn)”研學(xué)時學(xué)習(xí)扎染技術(shù)，得到了一個內(nèi)角和為的正多

邊形圖案，這個正多邊形的每個外角為（）1080°

A．B．C．D．

3．（362°024·內(nèi)蒙古赤峰·中考40真°題）如圖，是正邊4形5°紙片的一部分，其中60，°是正邊形兩條邊的一部分，

若，所在的直線相交形成的銳角為，則?的值是（）???

??60°?5

A．B．C．D．

56810

考點三：多邊形內(nèi)角和、外角和與角平分線、平行線的綜合應(yīng)用

1．（2023·山東棗莊·中考真題）如圖，一束太陽光線平行照射在放置于地面的正六邊形上，若，

則的度數(shù)為（）∠1=44°

∠2

A．B．C．D．

2．（142°024·江蘇鹽城·二模）16問°題情境：24°26°

在綜合實踐課上，吳老師和鹿鳴學(xué)堂“數(shù)理時空”社團的同學(xué)們一起研究了對角相等的六邊形，發(fā)現(xiàn)：如圖1，

在六邊形中，若，，，則有，，，

請結(jié)合圖?11，?2證?明3?：4?5?6∠．?1=∠?4∠?2=∠?5∠?3=∠?6?1?2∥?4?5?2?3∥?5?6?3?4∥?1?6

?1?2∥?4?5

問題探究：

小銘和小紅對圖1的六邊形進行了特殊化，發(fā)現(xiàn)了以下兩個結(jié)論：

結(jié)論1：如圖2，若?1?2，?3則?4有?5：?6，．

結(jié)論2：如圖3，若對?3角?4線=?1?6、、?1?2交=于?點4?5，則?2對?3角=線?5?6平分六邊形的面積，

請證明小銘和小紅發(fā)現(xiàn)的兩?個1?結(jié)4論?．2?5?3?6??1?4?1?2?3?4?5?6

3．（2023·河北·中考真題）將三個相同的六角形螺母并排擺放在桌面上，其俯視圖如圖1，正六邊形邊長為

2且各有一個頂點在直線l上，兩側(cè)螺母不動，把中間螺母抽出并重新擺放后，其俯視圖如圖2，其中，中

間正六邊形的一邊與直線l平行，有兩邊分別經(jīng)過兩側(cè)正六邊形的一個頂點．則圖2中

（1）度．

（2）中∠?間=正六邊形的中心到直線l的距離為（結(jié)果保留根號）．

6

考點四：利用平行四邊形的性質(zhì)求解

1．（2024·山東日照·中考真題）如圖，以的頂點為圓心，長為半徑畫弧，交于點，再分別

以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧?，?兩??弧?交于點?，畫射線??，交于點，交?的?延長?線于點．

1

??2???????????

(1)由以上作圖可知，與的數(shù)量關(guān)系是_______

(2)求證：∠1∠2

(3)若??，=??，，求的面積．

2．（?2?02=4·4海南?·?中=考2真??題）∠如??圖?，=在60°△中?，??，以點D為圓心作弧，交于點M、N，分別以

???????=8??

點M、N為圓心，大于為半徑作弧，兩弧交于點F，作直線交于點E，若，，

1

則四邊形的周長是2?（?）????∠???=∠?????=4

????

A．22B．21C．20D．18

3．（2024·江蘇徐州·中考真題）如圖，在中，，，，為邊上的動點．連

接，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到?，??過?點?作??=6，??交=直10線∠?于??點=．60連°接?、??，分別取、

?的?中點??、，?連接，交60°于點??．???∥?????????????

?????????

(1)若點與點重合，則線段的長度為______．

????

7

(2)隨著點的運動，與的長度是否發(fā)生變化？若不變，求出與的長度；若改變，請說明理由．

?????????

考點五：利用平行四邊形的性質(zhì)證明

1．（2024·寧夏·中考真題）如圖，在中，點在邊上，，連接并延長交的延

長線于點，連接并延長交的延?長?線?于??點F．求?證,?：??．?小?麗=的?思?考過程如??下：??

???????=??

參考小麗的思考過程，完成推理．

2．（2023·青海西寧·中考真題）如圖，在中，點，分別在，的延長線上，且，連

接與交于點，連接，．?????????????=??

?????????

(1)求證：；

(2)若△??，?≌△???，求四邊形的周長．

3．（?2?02⊥3·?黑?龍江??哈=爾3濱2·中考真題）已??知??四邊形是平行四邊形，點在對角線上，點在邊上，

連接，，，．??????????

??????=????=??

(1)如圖，求證；

(2)如圖①，若△???，≌△???，過點作交于點，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫

出圖②中四個角??（=??除?外?≠）?，?使寫出的?每?個?角∥?都?與??相?等．

②∠???∠???

8

考點六：證明四邊形是平行四邊形

1．（2024·山東青島·中考真題）如圖，在四邊形中，對角線與相交于點O，，

于點E，于點F，且．????????∠???=∠?????⊥??

??⊥????=??

(1)求證：四邊形是平行四邊形；

????

(2)若，當?shù)扔诙嗌俣葧r，四邊形是矩形？請說明理由，并直接寫出此時的值．

??

??=??∠?????????

2．（2024·山東濰坊·中考真題）如圖，在矩形中，，點，分別在邊，上．將

沿折疊，點的對應(yīng)點恰好落在對角線上??；??將??沿>2?折?疊，?點?的對應(yīng)點?恰?好也??落在對角△線???

上．??連接，?．???△?????????

????

求證：

(1)；

(2)△四邊??形?≌△?為??平行四邊形．

3．（2024?·?四?川?達州·中考真題）如圖，線段、相交于點．且，于點．

???????∥????⊥???

(1)尺規(guī)作圖：過點作的垂線，垂足為點、連接、；（不寫作法，保留作圖痕跡，并標明相應(yīng)的

字母）????????

(2)若，請判斷四邊形的形狀，并說明理由．（若前問未完成，可畫草圖完成此問）

??=??????

考點七：利用平行四邊形的性質(zhì)與判定求解或證明

1．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖，平行四邊形中，、分別是，的平分線，且

E、F分別在邊，上．????????∠???∠???

????

9

(1)求證：四邊形是平行四邊形；

(2)若?，???，求的面積．

2．（∠2?0?24?·廣=西60·中°考?真?=題）2?如?圖=，2已知△??是?的外接圓，．點D，E分別是，的中點，

連接并延長至點F，使，連接⊙?．△?????=??????

????=????

(1)求證：四邊形是平行四邊形；

(2)求證：與??相??切；

??⊙?

(3)若，，求的半徑．

3

tan∠???=4??=12⊙?

3．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在四邊形中，，且，是的中點．下

1

面是甲、乙兩名同學(xué)得到的結(jié)論：??????∥????=??=2?????

甲：若連接，則四邊形是菱形；

乙：若連接??，則是??直?角?三角形．

請選擇一名同??學(xué)的結(jié)△論??給?予證明．

考點八：平行四邊形性質(zhì)和判定的應(yīng)用

1．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）圖1、2是一個折疊梯的實物圖．圖3是折疊梯展開、折疊過程中的一個主

視圖．圖4是折疊梯充分展開后的主視圖，此時點E落在上，已知，，點D、F、

4

????=??sin∠???≈5

G、J在上，、、、均與所在直線平行，，

??????．點?N?在??上，??、的長度固?定?不=變?．?圖=5??是折=疊??梯=完20全cm折疊時的主視圖，此

??=??=??=30cm??????

10

時、重合，點、、、、、在上的位置如圖所示．

【分??析問??題】????????

（1）如圖5，用圖中的線段填空：_________；

（2）如圖4，_________?，?由=??+??+???，且的長度不變，可得與之間

的數(shù)量關(guān)系為_s_in_∠__?_?_?__≈；??=??+??=??+????????

【解決問題】

（3）求的長．

??

2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）（1）如圖1，點O是等邊的內(nèi)心，的兩邊分別交、于點

D、E，且，若等邊的邊長為6，求四邊△形???周長的∠最??小?值．????

（2）為培養(yǎng)∠?學(xué)?生?=勞1動2實0°踐能力，某△學(xué)??校?計劃在校東南角開辟出?一?塊??平行四邊形勞動實踐基地．如圖2所示，

勞動實踐基地為，點O為其對稱中心，且，點E、F分別在邊、上，四邊形

為學(xué)校劃分給九年??級?的??實踐活動區(qū)域，九年級學(xué)生?打?算=在20四m邊形區(qū)域種植兩?種?不?同?的果蔬，即在????

、種植不同的果蔬．在點O處安裝噴灌裝置，且噴?灌??張?角為，即，并修建

△?、??、△?三??條小路．現(xiàn)要求規(guī)劃的三條小路、、總長最小的同6時0，°果蔬∠種??植?區(qū)=域60四°邊形

?的?面積??最大?．?求滿足規(guī)劃要求的三條小路、??、??總長?的?最小值，并計算同時滿足四邊形面??積?最?

大時學(xué)校應(yīng)開辟的勞動實踐基地的?面?積?．???????

?????

3．（2022·浙江金華·一模）如圖1是某一遮陽蓬支架從閉合到完全展開的一個過程，當遮陽蓬支架完全閉

合時，支架的若干支桿可看作共線．圖2是遮陽蓬支架完全展開時的一個示意圖，支桿固定在垂直于地

面的墻壁上，支桿與水平地面平行，且G，F(xiàn)，B三點共線，在支架展開過程中四邊形??始終是平行

??????

11

四邊形．

(1)若遮陽蓬完全展開時，長2米，在與水平地面呈的太陽光照射下，在地面的影子有______米（影

子完全落在地面）??60°??

(2)長支桿與短支桿的長度比（即與的長度比）是______．

????

考點九：已知中點，取另一條線段的中點構(gòu)造中位線

1．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，在中，，，，，

1

線段繞點旋轉(zhuǎn)，點為的中點，則的最R大t值△是???∠??．?=90°tan∠???=2??=2??=1

????????

2．（2023·山東東營·中考真題）（1）用數(shù)學(xué)的眼光觀察．

如圖，在四邊形中，，是對角線的中點，是的中點，是的中點，求證：

．??????=???????????∠???=

∠???

（2）用數(shù)學(xué)的思維思考．

如圖，延長圖中的線段交的延長線于點，延長線段交的延長線于點，求證：．

??????????∠???=∠?

12

（3）用數(shù)學(xué)的語言表達．

如圖，在中，，點在上，，是的中點，是的中點，連接并延長，

與的延△長?線?交?于點??，<連?接?，?若????=，?試?判?斷??的形狀?，并?進?行證明．??

?????∠???=60°△???

考點十：補全圖形利用中位線定理求解

1．（2023·遼寧鞍山·中考真題）如圖，為的兩條弦，D，G分別為的中點，的半徑為

2．若，則的長為（）??,??⊙???,??⊙?

∠?=45°??

A．2B．C．D．

3

322

2．（2023·黑龍江·中考真題）如圖，和是等邊三角形，連接，點F，G，H分別是

和的中點，連接．易證：①△???．△???????,??

若??和都??是,?等?腰直角三角??形=，且3??，如圖：若和都是等腰三

角形△，??且?△???，如圖：∠其?他??條=件∠不?變??，=判9斷0°和②之間的△數(shù)?量?關(guān)?系△，?寫?出?你的猜想，

并利用圖∠?或??圖=∠進??行?證=明12．0°③????

②③

3．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在菱形中，，，順次連接菱形各邊中點、

、、，則四邊形的周長為（）??????=4∠?=120°?????

???????

13

A．B．C．D．

4．（4+2022·3天津·中考真題）6如+圖2，3已知菱形4的+邊4長3為2，6+，4E3為的中點，F(xiàn)為的中

點，與相交于點G，則的長等于????．∠???=60°????

??????

重難點一：平行四邊形與函數(shù)綜合

1．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，一次函數(shù)．的圖象與反比例函數(shù)的圖

?

象交于點、．?=??+??≠0?=??≠0

?1,4??,?1

(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；

(2)利用圖象，直接寫出不等式的解集；

?

??+?<?

(3)已知點D在x軸上，點C在反比例函數(shù)圖象上．若以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，求點

C的坐標．

2．（2022·湖南懷化·中考真題）如圖一所示，在平面直角坐標中，拋物線y＝ax2+2x+c經(jīng)過點A(﹣1，0）、

B（3，0），與y軸交于點C，頂點為點D．在線段CB上方的拋物線上有一動點P，過點P作PEBC于點

E，作PFAB交BC于點F．⊥

∥

14

(1)求拋物線和直線BC的函數(shù)表達式，

(2)當PEF的周長為最大值時，求點P的坐標和PEF的周長．

(3)若點△G是拋物線上的一個動點，點M是拋物線△對稱軸上的一個動點，是否存在以C、B、G、M為頂點

的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點G的坐標，若不存在，請說明理由．

3．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）已知反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象相交于，

?

兩點．?=??=??+??(?1,4)

?(?,?1)

(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；

(2)點在軸上，是以為腰的等腰三角形，請直接寫出點的坐標；

(3)點??在軸△負?半?軸?上，?連?接，過點作，交的?圖象于點，連接．當時，若

?

?(?,0)??????∥???=??????=??

四邊形的面積為36，求的值．

?????

重難點二：與平行四邊形有關(guān)的新定義問題

1．（2024·江蘇揚州·二模）定義：有三個內(nèi)角相等的四邊形叫準矩形．

(1)如圖1，中，，點在上，點在的延長線上，，與交于點，則四邊

形△準??矩?形(填?“?是=”或?“?不是”?)；???????=???????

????______

15

(2)如圖2，折疊平行四邊形紙片，使頂點，分別落在邊，上的點，處，折痕分別為，，

求證：四邊形是準矩形；????????????????

????

(3)如圖3，準矩形中，且為銳角，，當長最大時，求的值．

????∠?=∠?=∠?∠???=??=4????

2．（2024·四川達州·一模）數(shù)學(xué)活動：某數(shù)學(xué)興趣小組想探究任意四邊形的中點四邊形的形狀與原四邊形

的邊、對角線的關(guān)系；

定義：順次連接四邊形各邊中點所得的四邊形叫中點四邊形．

[操作]如圖1，點E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形各邊的中點，順次連接點E，F(xiàn)，G，H得到中點四邊形．

[猜想]（1）填空：任意一個四邊形的中點?四?邊??形是___________________；