9.3

二項式定理第九章課標要求1.能用多項式運算法則和計數(shù)原理證明二項式定理.2.會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題.備考指導(dǎo)二項式定理是高考命題的重點,高考中以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),難度不大,主要體現(xiàn)在對二項式定理的通項、二項式系數(shù)的性質(zhì)及二項展開式系數(shù)和問題的考查.本節(jié)常用的方法有通項公式法、代入法、賦值法、類比法;素養(yǎng)方面要加強邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的培養(yǎng).內(nèi)容索引010203第一環(huán)節(jié)必備知識落實第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成第三環(huán)節(jié)學(xué)科素養(yǎng)提升第一環(huán)節(jié)必備知識落實【知識篩查】

1.二項式定理

問題思考1(a+b)n與(b+a)n的展開式有何區(qū)別與聯(lián)系?(a+b)n與(b+a)n的展開式的項完全相同,但對應(yīng)的項不相同,且兩個展開式的通項不同.2.二項式系數(shù)的性質(zhì)

問題思考2當二項展開式的項的二項式系數(shù)最大時,該項的系數(shù)一定最大嗎?不一定.【知識鞏固】

1.下列說法正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)(a-b)n的展開式中第k+1項的系數(shù)為

.(

)(2)(a+b)n的展開式中某一項的二項式系數(shù)與a,b無關(guān).(

)(3)二項展開式中,系數(shù)最大的項為中間一項或中間兩項.(

)(4)(x-1)n的展開式的各二項式系數(shù)和為-2n.(

)×√××2.

的展開式中二項式系數(shù)最大的項是(

)A.35x2

B.20x2

C.70x4

D.35x4CBD2405.已知(3x2+3x-2)(x-1)5=a0+a1x+…+a7x7,則a0+a2+a4+a6=

.

32當x=1時,a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=0,當x=-1時,a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=64,兩式相加,得2(a0+a2+a4+a6)=64,即a0+a2+a4+a6=32.第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成能力形成點1二項展開式

命題角度1求展開式中的特定項(或系數(shù))例1

(1)若(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,則a2+a4=(

)A.100 B.110

C.120

D.130C

(2)(2021天津,11)在

的展開式中,x6的系數(shù)是

.

160

280命題角度2根據(jù)展開式的項求參數(shù)A解題心得1.求二項展開式中的項或項的系數(shù)的方法:求二項展開式的特定項問題,實質(zhì)是考查通項

的特點,一般需要先建立方程求k,再將k的值代回通項求解,注意k的取值范圍(k=0,1,2,…,n).特定項的系數(shù)問題及相關(guān)參數(shù)值的求解等都可依據(jù)上述方法求解.2.求三項展開式中某些特殊項的系數(shù)的方法:(1)通過變形先把三項式轉(zhuǎn)化為二項式,再用二項式定理去解;(2)兩次利用二項式定理的通項公式求解;(3)由二項式定理的推證方法知,可用排列組合的基本原理去求.對點訓(xùn)練1(1)在(x+2)(x-1)6的展開式中,x4的系數(shù)為(

)A.-20 B.-10

C.10

D.20C因為(x-1)6=x6-6x5+15x4-20x3+15x2-6x+1,所以(x+2)(x-1)6的展開式中,x4的系數(shù)為-20+2×15=10.DB能力形成點2二項式系數(shù)的性質(zhì)與各項系數(shù)和命題角度1二項式系數(shù)的最值問題例3

在(1+2x)4的展開式中,二項式系數(shù)最大的項為

.

24x2命題角度2項的系數(shù)的最值問題-8064-15360x4命題角度3求二項展開式中系數(shù)的和例5(1)(多選)已知(1-2x)2021=a0+a1x+a2x2+…+a2021x2021,則(

)A.a0=1

B.a1+a2+a3+…+a2021=32021C.

D.a1-a2+a3-a4+…+a2021=1-32021AD(2)(a+x)(1+x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32,則實數(shù)a的值為

.

3設(shè)(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5=16(a+1),①令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5=0.②①-②,得2(a1+a3+a5)=16(a+1),故展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為a1+a3+a5=8(a+1),所以8(a+1)=32,解得a=3.3.求二項展開式中系數(shù)和的常用方法(1)對形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子,求其展開式的各項系數(shù)之和,常用賦值法,只需令x=1即可;對形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子,求其展開式各項系數(shù)之和,只需令x=y=1即可.對點訓(xùn)練2(1)已知

的展開式中,只有第6項的二項式系數(shù)最大,則展開式中有理項的項數(shù)為(

)A.8 B.7

C.6

D.5C(2)已知

的展開式中第3項與第6項的二項式系數(shù)相等,則展開式中系數(shù)最大的項為(

)A.第5項

B.第4項C.第4項或第5項

D.第5項或第6項A(3)已知xn=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+an(x+1)n(n∈N*)對任意x∈R恒成立,則|a0|=

;若a4+a5=0,則n=

.

19因為xn=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+an(x+1)n(n∈N*)對任意x∈R恒成立,所以令x=-1,得a0=(-1)n,所以|a0|=1.因為xn=[-1+(x+1)]n=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+an(x+1)n,能力形成點3二項式定理的綜合應(yīng)用A.i B.-i

C.-1+i D.-1-iC(2)設(shè)a∈Z,且0≤a<13,若511012+a能被13整除,則a的值為(

)A.0 B.1

C.11

D.12D解題心得1.整除問題是二項式定理中常見的應(yīng)用問題,用二項式定理處理整除問題,通常先把冪的底數(shù)寫成除數(shù)與某數(shù)的和或差的形式,再用二項式定理展開,切記余數(shù)不能為負.2.二項式定理可以正用或逆用,注意選擇合適的形式.對點訓(xùn)練3A.-1 B.1

C.-87 D.87B第三環(huán)節(jié)學(xué)科素養(yǎng)提升楊輝三角的性質(zhì)與應(yīng)用典例1

(多選)我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》就給出了著名的楊輝三角,由此可見我國古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的.如圖,以下根據(jù)楊輝三角的性質(zhì)得到的猜想正確的有(

)答案:ABC解析:由楊輝三角的性質(zhì)及二項式系數(shù)的性質(zhì),可知A,B,C顯然正確.因為115是一個六位數(shù),所以D錯誤.典例2

楊輝三角是我國數(shù)學(xué)史上的一個偉大成就.如圖,在楊輝三角中,去除所有為1的項,依此構(gòu)成數(shù)列2,3,3,4,6,4,5,