第頁，共頁四川省新高考2022級高三適應性考試數學考試時間120分鐘，滿分150分注意事項：1．答題前，考生務必在答題卡上將自己的姓名、班級、考場/座位號用0.5毫米黑色簽字筆填寫清楚，考生考試條形碼由監(jiān)考老師粘貼在答題卡上的“貼碼區(qū)”．2．選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡上對應題目標號的位置上，如需改動，用橡皮擦擦干凈后再填涂其它答案；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡的對應區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域答題的答案無效；在草稿紙上、試卷上答題無效．3．考試結束后由監(jiān)考老師將答題卡收回．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據題意利用一元二次不等式求集合B，進而求交集.【詳解】因為，，所以．故選：C.2.已知i為虛數單位，復數滿足，則（）A.2 B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】先根據已知等式求出復數，再根據復數的模的計算公式求出.【詳解】由，有，所以，故．故選：B3.下列四個函數中，以為最小正周期，且在區(qū)間上單調遞增的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由三角函數的周期性以及單調性，逐一判斷，即可得到結果.【詳解】對于A，最小正周期為，由，得，則單調遞減，故A錯誤；對于B，最小正周期為，由，得，則單調遞減，故B錯誤；對于C，最小正周期為，當時，單調遞減，故C錯誤；對于D，最小正周期為，當時，單調遞增，故D正確；故選：D4.已知函數，則函數的圖象（）A.關于點對稱 B.關于點對稱C.關于直線對稱 D.關于直線對稱【答案】A【解析】【分析】由函數的奇偶性可得為奇函數，再結合函數的平移變換即可得到結果.【詳解】因為，則為奇函數，所以的圖象關于原點對稱，函數的圖象可由的圖象先向左平移2個單位，再向上平移2個單位得到，所以函數的圖象關于點對稱．故選：A5.已知向量，則“”是“向量共線”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據充分條件、必要條件判斷即可.【詳解】當時，向量，因，所以向量共線成立；由向量，共線，有，此時，所以“”是“向量共線”的充分不必要條件．故選：A6.趙爽是我國古代數學家，他為《周髀算經》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成）．如圖的“趙爽弦圖”中小正方形的面積為49，大正方形的面積為169，直角三角形中較大的銳角為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】根據題意，由條件可得，再由同角三角函數的平方關系以及二倍角公式，代入計算，即可得到結果.【分析】由題意，大、小正方形的邊長分別為13，7，于是有，即有，兩邊平方得，所以．故選：D7.甲、乙等6人參加某次會議，會議安排其前后兩排入座，每排3人（如圖所示），其中甲坐后排，乙與甲前后、左右均不相鄰，則不同的坐法種數共有（）A.144種 B.168種 C.192種 D.216種【答案】C【解析】【分析】討論甲坐的位置，然后根據分類加法計數原理求解即可.【詳解】如圖所示，甲坐位置①，乙有3種選擇，其他人不同坐法有種，共有種不同坐法；甲坐位置②，乙有2種選擇，其他人不同坐法有種，共有種不同坐法；甲坐位置③，乙有3種選擇，其他人不同坐法有種，共有種不同坐法，所以不同坐法種數共有種．故選：C8.設拋物線C：的焦點為F，P為拋物線C上任意一點，O為坐標原點，M為線段的中點，則直線斜率的最大值為（）A. B.1 C. D.p【答案】B【解析】【分析】先根據已知條件得出直線斜率的表達式，然后利用基本不等式求出其最大值.【詳解】由已知，，設（因為需要確定最大值，不妨設），則，于是直線的斜率滿足：，當且僅當即時取等．另解：可取點，連接，則，直線的斜率．由圖形直觀可得，直線與拋物線相切時（點在第一象限），其斜率最大．故選：B.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．9.已知袋裝食鹽標準質量為400g，設甲、乙兩品牌袋裝食鹽質量的誤差分別為隨機變量X，Y，且，，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】由正態(tài)曲線的性質，逐一判斷，即可得到結果.【詳解】對于A，作出隨機變量的正態(tài)分布密度曲線草圖，根據對稱性，選項A正確；對于B，，選項B錯誤；對于C，，選項C錯誤；對于D，對于正態(tài)分布，給定是一個只與有關的定值，則，選項D正確．故選：AD10.已知在中，角的對邊分別為，若，則（）A.的周長為12 B.角的最大值為C.面積最小值為 D.的面積最大值為【答案】ABD【解析】【分析】根據正弦定理得可判斷A；利用基本不等式得，再由余弦定理得可判斷B；根據，當角接近0時，的面積也接近0可判斷C；由得在時取得最大值，可判斷D．【詳解】對于A，由根據正弦定理得的周長為，選項A正確；對于B，因為，由余弦定理，因為，當且僅當等號成立，所以，選項B正確；對于C，，當角接近0時，的面積也接近0，所以選項C錯誤；對于D，，由得在時取得最大值，故在時取得最大值，選項D正確．故選：ABD.11.已知是函數的極大值點，則（）A.函數的極小值為0B.若，則C.若，則有3個相異的零點D.若（其中），則【答案】ACD【解析】【分析】根據題意，求得，得到，求得，得出函數的單調性與極值（點），可判定A正確；當時，得到，結合函數的單調性，可判定B錯誤；作出函數的圖象，結合圖象，可得判定C正確；根據題意，轉化為證明，構造，利用導數求得函數的單調性，結合函數的單調性，即可求解.【詳解】對于A中，由函數，可得，因為是的極大值點，所以，解得，所以，可得，當時，，單調遞增；當時，單調遞減；當時，單調遞增，所以函數的極大值點為，極小值點為0，所以A正確；對于B中，當時，，則，因為在區(qū)間上單調遞減，所以，所以B錯誤；對于C中，由，且當時，，當時，，可得的圖象，如圖所示，當時，有3個相異零點，所以C正確；對于D中，因為，要證，只需證明，由在上單調遞增，需證明，即當時，證明，構造函數（其中），則，當時，，則在上單調遞增，所以，即當時，，所以，所以，所以D正確．故選：ACD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知雙曲線，O為坐標原點，過雙曲線C的右焦點且與x軸垂直的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別相交于點M，N，則的面積為_______．【答案】【解析】【分析】求出雙曲線的焦點和漸近線，進而可求的面積，再乘以2即可.【詳解】，故雙曲線C的右焦點為，由已知，一條漸近線的方程為，其傾斜角為，所以，的面積為．故答案為：13.若，，則實數m的取值范圍為_______．【答案】【解析】【分析】根據題意，轉化為，令，結合基本不等式，求得函數的最小值，即可求解.【詳解】由，可得，因為，故只需，令，則，當且僅當，即時取等號，所以，所以實數的取值范圍為．故答案為：.14.已知正四面體ABCD的棱長為，其頂點都在球O的球面上，點M在棱CD上，且，則過點M的平面截球O所得截面的面積最小值為_______．【答案】【解析】【分析】根據題意，把正四面體放置在一個棱長為1的正方體中，取的中點，得到，由，求得，再由過點且垂直于的截面為面積最小，結合球的截面的性質，求得截面圓的半徑，利用圓的面積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，由題可知棱長為1的正方體的頂點也都在球面上，所以球的半徑為，取的中點，連接，則，由且正四面體的棱長為，可得，，則，因為過點的平面截球所得截面為圓，則過點且垂直于的截面為面積最小，設該截面圓半徑為，則，可得所得截面的圓面積最小值為．故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知在各項為正的等比數列中，，是與的等差中項．（1）求數列的通項公式；（2）若，，求數列的前n項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由等差中項的定義代入計算，即可得到結果；（2）由錯位相減法代入計算，即可得到結果.【小問1詳解】設各項為正的等比數列的公比為，由，所以，因為是與的等差中項，所以，化簡得，解得（舍去），所以數列的通項公式為；【小問2詳解】由（1）可得，，所以，，兩式相減得，所以．16.某工廠生產了兩批次的某種產品，現從兩批次的產品中共抽取500件進行檢測，根據檢測結果（“次品”或“合格品”）得到如下列聯表：生產批次產品檢測結果合計次品合格品第一批次10190200第二批次40260300合計50450500（1）根據小概率值的獨立性檢驗，能否認為產品檢測結果與生產批次有關聯？（2）用樣本估計總體，頻率估計概率．現等可能地從兩批次中選一批次，再從該批次中隨機抽取1件產品．（?。┣笕〕龅漠a品是次品的概率；（ⅱ）已知取出的產品是次品，求它是從第一批次的產品中取出的概率．參考公式：，其中．參考數據：0.150.100.050.0102.0722.7063.8416.635【答案】（1）有關聯（2）（?。?；（ⅱ）【解析】【分析】（1）計算出卡方，即可判斷；（2）（?。┰O事件“取出的產品是次品”，事件“被選出的是第一批次”，由全概率公式計算可得；（ⅱ）由條件概率公式計算可得.【小問1詳解】提出零假設：產品檢測結果與生產批次沒有關聯，由，根據小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即產品檢測結果與生產批次有關聯，此推斷犯錯誤的概率不大于；【小問2詳解】設事件“取出的產品是次品”，事件“被選出的是第一批次”，（?。┮李}意，，，由全概率公式得：；（ⅱ）取出的是次品，則它是從第一批次的產品中取出的概率為：．17.動點與定點的距離和點到定直線的距離的比是常數，記點的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）若直線與曲線交于兩點，（ⅰ）求取值范圍；（ⅱ）是否存在實數，使得點在線段的中垂線上？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）存在【解析】【分析】（1）根據題意，得到，化簡整理，即可得到曲線的方程；（2）設，聯立方程組，得到，（?。┙Y合弦長公式，求得，進而求得的取值范圍；（ⅱ）由（i）得到的中點坐標為，求得，結合點在線段的中垂線上，可得，求得的值，即可求解.【小問1詳解】解：因為動點與定點的距離和點到定直線的距離的比是常數，可得，化簡整理得，即曲線的方程為.【小問2詳解】解：聯立方程組，整理得，設，可得，且，所以，（ⅰ）由弦長公式，可得，即，因為，所以，的取值范圍為；（ⅱ）由且，可得的中點坐標為，所以的斜率，因為點在線段的中垂線上，可得，解得，所以存在，使得點在線段的中垂線上.18.如圖，在直四棱柱中，四邊形為正方形，，分別為的中點，是棱上的動點（包含端點）．（1）請說明當點在何處時，四點在同一平面內；（2）當點滿足時，求三棱錐的體積；（3）設二面角的大小為，求的最大值．【答案】（1）當且僅當點位于點的位置時，四點在同一平面內（2）（3）．【解析】【分析】（1）方法一根據面面平行結合線線平行得出四點在同一平面內；方法二應用空間向量法得出即可證明四點共面；（2）應用空間向量法計算點到平面的距離即可計算三棱錐體積；（3）方法一應用面面角定義得出的最大值為，方法二應用空間向量法計算二面角計算結合值域求解.【小問1詳解】方法一：如圖，取的中點，連接，由已知，，，所以，，易知，當點位于點的位置時，，此時四點在同一平面內，平面，若四點在同一平面內，則，當點不在點的位置時，與不平行，從而與不平行，因此四點不在同一平面內，所以，當且僅當點位于點的位置時，四點在同一平面內；方法二：根據已知，以為原點，為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設，又因為，則，所以，顯然，與不共線，令，由上可得，，于是有解得此時，，所以，當且僅當點在點的位置時，四點在同一平面內；【小問2詳解】由（1），，設平面的法向量為，則不妨設，可得，，所以為平面的一個法向量，由已知，當時，可得，則，所以點到平面的距離為，在中，，所以，，；【小問3詳解】方法一：由（1）可知，四點在同一平面內，則二面角的平面角與二面角的平面角互補，所以，設點到平面的距離為，點到直線的距離為，則，在矩形中，，又因為，則，又因為，所以，是異面直線與的公垂線，故當點運動至點時，點到直線距離最小，且，此時點到平面的距離最大，即等于點到平面的距離，所以，的最大值為，在中，，邊上的高為，由，得，即，所以，，解得，所以，的最大值為；方法二：由（2）可知平面的一個法向量為，設，則，設平面的法向量為，則不妨設，可得，，所以為平面的一個法向量，則，令，則，所以，所以，當且僅當，即時，取得最小值，此時，取得最大值．19.定義二元函數，且同時滿足：①；②兩個條件．（1）求的值；（2）當時，比較和0的大小；（3）若為的極大值點，求的取值范圍．附：參考公式：【答案】（1）（2）（3）．【解析】【分析】（1）根據函數新定義結合特殊角三角函數值計算求解；（2）應用定義解裂項相消及不等式的性質證