專題4.7一元一次方程章末重難點突破

。次尸史三

【考點1一元一次方程的解】

［例1］（2021春?臥龍區(qū)期末）解方程上二9-1時，小剛在去分母的過程中，右

32

邊的“?1”漏乘了公分母6,因而求得方程的解為x=2,則方程正確的解是（）

11

A.x=-3B.x=-2C.x=D.x=―^

【分析】根據(jù)“在去分母的過程中，右邊的“-I”漏乘了公分母6,因而求得方程的解

為尸2”可得x=2是方程2（2「1）=3（x+?）-1的解，進而求出。的值，再根據(jù)求

解一元一次方程的步驟進行求解即可.

【解答】解：由題意得，

x=2是方程2（2x7）=3（x+a）-1的解，

所以a=i,

則正確解為：

去分母得，2（2r-1）=3（x+義）-6,

去括號得，4x-2=3x+l-6,

移項合并同類項得，x=-3,

故選：A.

【變式2］（2021春?衡陽縣期中）如果關(guān)于x的一元一次方程級+6=0的解是x=-2,

則關(guān)于y的一元一次方程a（y+\）+8=0的解是（）

A.y=-1B.y=-3C.y=-2D.y=—

【分析】根據(jù)題中兩個方程的關(guān)系，可知），+1=-2,即可求出x的值.

【解答】解：???關(guān)于x的一元一次方程時”=0的解是x=-2,

:.-2a+b=0,

：.b=2a,

把b=2a代入關(guān)于），的一元一次方程。（y+1）+6=0得，

u（y+1）+2ci=0,

整理得，ay=-3。，

??ZW0,

解得，y=~3.

故選：B.

32

【變式1-2]（2020秋?永嘉縣校級期末）已知關(guān)于x的方程或.”m=4『2的解為x=-3,

99

32

則關(guān)于X的方程一（戶5）-m=4（x+5）-2的解為（）

99

A.2B.-5C.-6D.-8

32

【分析】根據(jù)題意知，（?3+5）是方程冗；（x+5）-m=4（x+5）?2的解.

99

32

【解答】解：???關(guān)于x的方程卷■機=4「2的解為x=-3,

99

32

???方程—（x+5）-w=4（x+5）-2的解是：x+5=-3,即x=-8.

99

故選：D.

【變式1-3]（2021秋?南崗區(qū)校級月考）已知，下列關(guān)于x的方程4.12〃?=x-5的解與

7X=〃?+2Y的解的比為5：3,求刑的值.

【分析】先解一元一次方程關(guān)于x的方程44-2相=.”5的解與7八?=〃計2匕分別求得x,

進而解決此題.

【解答】解：???41?2加=x?5,

4x-x=-5+2/〃.

^.3x=2m-5.

.2m—5

??x;一y-.

\,lx=m+2x,

'?lx-2x=rn.

??5x=m.

?m

..X=~r.

2m-5m

/.--------:-=5：3.

35

.?./〃=5.

經(jīng)檢驗：當"7=5時，3m#0.

???該方程的解為〃?=5.

【考點2根據(jù)一元一次方程解的情況求值】

（7x—19

【例2】（2021?沙坪壩區(qū)校級開學）已知關(guān)于x的方程=X+的解為偶數(shù)，則整數(shù)

22

〃的所有可能的取值的和為（）

A.8B.4C.7D.-2

【分析】先用含。的式子表示出原方程的解，再根據(jù)解為偶數(shù)，可求得。的值，則其和

可求.

ax—19

【解答】解：由]；一二'+；；得：aLl=2r+9,

22

??”的值是偶數(shù)，。是整數(shù)，

，。?2的值可能為5,1,?5,-1.

???〃的值可能為7,3,-3,1,

???符合條件的所有整數(shù)。的和是:7+3-3+1=8.

故選：A.

【變式2-1]（2021?九龍坡區(qū)校級開學）已知關(guān)于x的一元一次方程公+1=竽+3的解為

正整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)〃有（）個.

A.3B.4C.6D.8

【分析】此題可將原方程化為文關(guān)于。的二元一次方程，然后根據(jù)x>0,且工為整數(shù)來

解出。的值.

【解答】解：2VM=導+3,

6,v+3=av+9?

（6-a）x=6.

6

x~6^af

???關(guān)于A-的一元一次方程2x+l=^+3的解為正整數(shù),

6-a=1、2、3、6?

??。=5、4、3、0.

所以所有滿足條件的整數(shù)。有4個.

故選:B.

【變式2-2](2020秋?羅湖區(qū)校級期末)關(guān)于x的方程at+〃=0的解得情況如下：當

時、方程有唯一解x=-今當4=0,時，方程無解；當4=0,6=0時，，方程有無

數(shù)解.若關(guān)于X的方程〃?=有無數(shù)解，則川+〃的值為()

A.-1B.1

C.2D.以上答案都不對

2

-

【分析】首先把方程化成一般形式，然后根據(jù)關(guān)于3=4-X有無數(shù)解，對

?次項系數(shù)進行討論求得機、〃的值，再相加即可求解.

【解答】解：加x+1=S-x,

(m+1)x=-?

2

-

???關(guān)于”的方程〃LV+3當一工有無數(shù)解,

/?zzz+1=0,n_2=0,

你軍得〃7=-1,n=2,

，〃?+〃=-1+2=1.

故選：B.

【變式2?3】(2020秋?高新區(qū)期末)己知〃，〃為定值，關(guān)于x的方程笥蛆=1-9如，

無論k為何值，它的解總是1,則a+b=.

【分析】把x=l代入方程空工=1一”處，得：色蛆二1一七警，整理可得(2+ZOA+24

3636

-4=0,再根據(jù)題意可得2+/?=(),2?-4=0,進而可得。、》的值，從向可得答案.

【解答】解：把x=l代入方程第=1一笠如，得：

k+a,2+bk

-，

---3---=1------76

2a+〃)=6-(2+M),

2k+2a=6-2-bk,

2k+bk+2a-4=0,

(2+b)k+2ci-4=0,

???無論攵為何值，它的解總是1,

???2+b=0,2。-4=0,

解得：b=-2,a=2.

則a+b=0.

故答案為：0.

【考點3根據(jù)等式的性質(zhì)求值】

【例3】(2021春?瑤海區(qū)期末)己知。=：+1，則/■。的值為()

A.0B.-1C.1D.2

【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)將等式左右兩邊同時乘以小然后再變形求解.

【解答】解：將等式左右兩邊同時乘以。，得：J=l+4,

a2-a=1,

故選：C.

【變式3-1](2021秋?海淀區(qū)期中)已知2(3a-b)-3(?-2b)=5,求1-9〃?12b的

值.

【分析】先將2(3a-b)-3(a-2b)=5變形可得3a+4b=5,再把3“+48看作一個整

體并代入代數(shù)式進行計算即可得解.

【解答】解：V2C3a-b)-3(a-2b)=5,

/.6a-2b-3〃+6/?=5.

???3a+40=5.

/.1-9a-\2h

=1-3(3〃+4〃)

=1-3X5

=-14.

【變式3-2]已知2G-8=4,〃?+〃=1,利用等式的性質(zhì)求a-權(quán)-2〃?-2〃的值.

【分析】等式a—-2〃?-2〃得：~(2a-h)-2(力+〃)，然后把2a-6=4,/〃+/?=1

代入計算即可.

【解答】解：:2。-。=4,〃?+〃=1,

:.a—-2m-2〃

=i(2a-b)-2(/〃+〃)

=1x4-2Xl

=2-1

=0,

即-2m-2〃的值是0.

【變式3-3](2020秋?東西湖區(qū)期末)一般情況下/+/=翳不成立，但也有數(shù)可以使

得它成立，例如：〃尸〃=0.能使得;+7=符成立的一對數(shù)…我們稱為“相伴

數(shù)對”，記為(加，〃).若(x,3)是“相伴數(shù)對”，則x的值為.

【分析】利用新定義“相伴數(shù)對”列出算式，計算即可求出x的值.

x3x+3

【解答】解：根據(jù)題意得：-+-=

去分母，得：15x+30=6x+18,

移項，得：15x?6x=18?30,

合并同類項，得：9x=-12,

解得：x=-*

故答案為：

【考點4一元一次方程中的新定義問題】

【例4】(2021春?偃師市期末)規(guī)定一種新運算：a*b=a?-2b,若2*[l*(-x)]=6,則

x的值為.

【分析】首先根據(jù)題意，可得：1*1(-X)=12-2X(7)=l+2x,所以2*[(l+2x)

=6,所以22-2(1+2X)=6；然后根據(jù)解一元一次方程的方法，求出x的值為多少即可.

【解答】解：??Z%=J-2b,

Al*(-x)=12-2X(-x)=l+2x,

V2*[l*(-x)]=6,

；?2*(l+2x)=6,

A22-2(l+2x)=6,

去括號，可得：4-2-4.r=6?

移項，可得：-4x=6-4+2,

合并同類項，可得：?4x=4,

系數(shù)化為1,可得：x=-1.

故答案為：-I.

【變式4-1](2021春?北培區(qū)校級月考)對任意有理數(shù)人b,規(guī)定一種新運算“⑥”，使

a?b=3a-2b,例如：50(-3)=3X5-2X(-3)=21.若-1)九(x-2)=

-3,求x的值.

【分析】這種運算，等于第一個數(shù)的3倍減去第二個數(shù)的2倍，根據(jù)題中條件列出方程

求解即可.

【解答】解：根據(jù)題意得：3(2x-1)-2(x-2)=-3,

去括號得：6x-3-2x+4=-3,

移項得：6x-2x=-3+3-4,

合并同類項得：4A-=-4,

系數(shù)化為I得：x=-I.

答：x的值為-1.

【變式4-2]（2021秋?沙坪壩區(qū)校級月考）形如也。的式子叫做二階行列式，其運算法

則用公式表示為：:|=ad-be.依此法則計算：

ba1

7（一3）2

（1）計算c1|的值.

—2—

13

（2）若尹一力=1,求x的值.

42-2

【分析】（I）原式利用已知的新定義列式訂算即可；

（2）已知等式利用已知的新定義得到關(guān)于x的一元一次方程，解方程即可求出x的值.

【解答】解：（1）根據(jù)題意得：

原式=7X（―^）—（—2）X（―3）2

7

=-2-（-2）X9

7

=一升18

29

=T;

（2）根據(jù)題意得：

13

—2X—42X（—y）=1,

-x+18=h

解得x=17.

【變式4-3]（2021春?朝陽區(qū)校級月考）對于兩個非零常數(shù)〃，b,規(guī)定一種新的運算：a

^b-a-2h,例如，3張2—3-2乂2--1.根據(jù)新運算法則，解答下列問題；

（1）求（-2）的值；

（2）若2派（x+1）=10,求x的值.

【分析】（1）原式利用題中的新定義計算即可得到結(jié)果；

（2）利用題中的新定義得出關(guān)于x的一元一次方程，解方程即可.

【解答】解：⑴根據(jù)題中的新定義得：（-2）^5=-2-2X5=-2-10=-12；

（2）根據(jù)題中的新定義得：

2-2（A+1）=10,

2-2v-2=10,

-2r=10-2+2,

-2T=10,

x=-5.

【考點5一元一次方程中的同解問題】

5x-l78x-l1

【例5】（2020秋?湖濱區(qū)校級月考）-----=:與-'—=%+3:+3|m|的解相同，那么

6322

m的值是—.

【分析】先解出第一個方程的解，代入到第二個方程中，得到一個關(guān)于〃?的方程，解方

程即可.

5Y—17

【解答】解：^二:，

63

.*.5%-1=14,

把x=3代入到第二個方程中得:

231

萬=6尸〃1，

**?\m\=

5

:?m=±-.

3

故答案為：±|.

【變式5-1］（2020秋?青羊區(qū)校級月考）已知用，〃為整數(shù)，關(guān)于x的一元一次方程（2〃+1）

x=機與（〃+1）x=1的解相同，則.

m1

【分析】先分別表示出兩方程的解1=蒜，工=系由題意得,-----=-----，m=

2n+ln+1

需="罌二=2一Vl，根據(jù)〃?，〃為整數(shù)，進行分析即可求解.

【解答】解：:（2〃+1）x=m,

m

.*.x=2^+1*

*.*(〃+1)x=I,

m1

由題意得,

2n+l-n+1

2n+l

n+l

2(7t+l)T

-n+1--

n+T)

???〃?，〃為整數(shù),

/.?+1=1或-1,

/.n=0或-2,

2n+l

當時，m=-e

n=0n+1=1,

2n+l

當〃=-2時,

m=n+1

ifi911=0或-6.

故答案為：0或-6.

【變式5-2]（2020秋?朝陽區(qū)校級期中）己知關(guān)于x的方程（因-3）a-3）x+2〃?+l

=0是一元一次方程.

（1）求女的值；

（2）若已知方程與方程3x=4?5x的解相同,求〃?的值.

【分析】（1）根據(jù)一元一次方程的定義進行解答.

（2）先解方程3x=4?5x,再把方程的解代入原方程可得用的值.

【解答】解:（1）由題意得網(wǎng)-3=0,k-3#0,

:?k=-3；

（2）3x=4-5x,

3A+5X=4,

1

x=r

原方程為：6x+2/?z+1—0>

把A—2代入：3+2〃z+1=0,

m=-2.

2x—k

【變式5-3]（2021春?沙坪壩區(qū)校級月考）關(guān)于x的一元一次方程3x=6-x+4和二一=

%—3/c

--的解相同，求上的值.

【分析】分別解出這兩個方程的解，根據(jù)方程的解相同列出關(guān)于A?的方程，求出A的值.

【解答】解：3X=6RA+4,

3X-x=6A+4,

2x=6-4,

x=3k+2；

2x-kx-3k

32

2⑵-%）=3（x-3D.

4x-2k=3x-9k,

4.v-3x=-9k+2k,

x=-Ik,

???3%+2=-Ik.

答：k的值為

【考點6一元一次方程中的數(shù)形結(jié)合思想】

【例6】我們知道國的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)x對應的點與原點的距離,即國=僅?0|,也就

是說H表示在數(shù)軸上數(shù)x與數(shù)0對應點之間的距離；這個結(jié)論可以推廣為：表示在

數(shù)軸上數(shù)?。?，對應點之間的距離；在解題中，我們常常運用絕對值的幾何意義.

①解方程國=2,容易看出，在數(shù)軸上與原點距離為2的點對應的數(shù)為±2,即該方程的

解為x=±2.

②在方程h11=2中，x的值就是數(shù)軸上到1的距離為2的點對應的數(shù)，顯然x=3或x

=-1.

③在方程W-l|+k+2|=5中，顯然該方程表示數(shù)軸上與1和-2的距離之和為5的點對應

的x值，在數(shù)軸上1和-2的距離為3,滿足方程的x的對應點在1的右邊或-2的左邊.若

x的對應點在1的右邊，由圖示可知，x=2；同理，若x的對應點在-2的左邊，可得x

=-3,所以原方程的解是工=2或x=-3.根據(jù)上面的閱讀材料，解答下列問題：

（1）方程H=5的解是.

（2）方程2|=3的解是.

（3）畫出圖示,解方程|x-3|+|x+2|=9.

------4----------

—3―rb

IIIIII1I,

-5-4-3-2-101234

【分析】（I）由于兇=5表示在數(shù)軸上數(shù)x與數(shù)0對應點之間的距離，所以工=±5；

（2）由于-2|=3中，x的值就是數(shù)軸上到2的距離為3的點對應的數(shù)，顯然％=5或-

1：

（3）方程-3|+卜+2|=9表示數(shù)軸上與3和-2的距離之和為9的點對應的x值，在數(shù)

軸上3和-2的距離為5,滿足方程的x的對應點在3的右邊或-2的左邊，畫圖即可解

答.

【解答】解：（1）???在數(shù)軸上與原點距離為5的點對應的數(shù)為±5,

???方程國=5的解為x=±5；

（2）??,在方程|x?2|=3中，x的值是數(shù)軸上到2的距離為3的點對應的數(shù),

???方程b-2|=3的解是工=5或-1；

（3）???在數(shù)軸上3和-2的距離為5,5<9,

???滿足方程卜-3|+|x+2|=9的x的對應點在3的右邊或-2的左邊.

若x的對應點在3的右邊，由圖示可知，x=5：

若x的對應點在-2的左邊，由圖示可知，x=-4,

所以原方程的解是x=5或x=-4.

故答案為：x=±5：x=5或?1.

---------------7------------

-5-4-3-2-1012345

------7-----------

—5—p2-、

-4-3-2-10123456>

【變式6-1](2020秋?新邵縣期末)數(shù)軸是初中數(shù)學的一個重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)

與形進行完美地結(jié)合.研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)了很多重要的規(guī)律.譬如：數(shù)軸上點4、點B

表示的數(shù)分別為a、b,貝ijA、〃兩點之間的距離線段/W的中點表示的數(shù)為

手.如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)為-4,點B表示的數(shù)為2.

AB

???”

-402

(1)求線段A8的長和線段A8的中點表示的數(shù).

(2)找出所有符合條件的整數(shù)x,使得|x+l|+|x?2|=3.

(3)并由此探索猜想，對于任意的有理數(shù)x,|x-2|+|x+4|是否有最小值，如果有，寫出

最小值；如果沒有，請說明理由.

(4)點C在數(shù)軸上對應的數(shù)為工，且工是方程2A1=費+1的解.數(shù)軸上是否存在一點

P,使得小+P8=PC,若存在，寫出點P所對應的數(shù)；若不存在，請說明理由.

【分析】(I)根據(jù)兩點間距離公式和中點坐標公式可以直接求解.

(2)運用兩點之間距離公式，方程|x+l|+|x?2|=3意味著點x到?1和2的距離之和是3,

這樣就可以確定x的范圍，進而求出x的整數(shù)解了.

(3)當-4VxV2時,式子Q2|+|x+4|有最小值,就是-2到4的距離.

(4)運用兩點之間距離公式分別表示出PA.P8和PC的值，在根據(jù)%+PB=PC建立方

程，求出工的值.此一問需要對P點所在位置進行分類討論.

【解答】解:(1)人8=|-4-2|=6,

線段48的中點表示的數(shù)為：=-I.

(2)”表示在數(shù)軸上，到-1和2兩點之和為3的點，

所以符合條件的整數(shù)點有：0、-1.1.2.

(3)|x-2|+|x+4|在數(shù)軸上一點x到2與-4距離之和，

所以它的最小值是1-2-4|=6.

(4)當P點在A點左側(cè)時，

R\+PB=PC,

(-4-x)+(2-x)=4-x,

x=-6.

當P點在A8之間時，

PA+PB=PC,

|-4-2|=4-x,

x=-2.

當P點在8c之間時，

PA+PB=PC,

(x+4)+(x-2)=(4-x),

(不合題意，舍去).

當尸點在點C右側(cè)時，

*PB=PC,

(x+4)+(x-2)—(x-4),

x=-2(不合題意，舍去).

所以〃點作對應的數(shù)為：?6或?2.

【變式6-2](2020秋?南昌期末)閱讀下列材料，回答問題：“數(shù)形結(jié)合”的思想是數(shù)學

中一種重要的思想.例如：在我們學習數(shù)軸的時候，數(shù)軸上任意兩點A表示的數(shù)為〃，B

表示的數(shù)為4則A、B兩點的距離可用式子|a-b|表示.例如：5和-2的距離可用|5?

(-2)|或|-2-5|來表示.

【知識應用】我們解方程|x-5|=2時，可用把|x-5|看作一個點x到5的距離，則該方程

可看作在數(shù)軸上找一點P(P表示的數(shù)為x)與5的距離為2,所以該方程的解為x=7或

x=3.所以，方程以+5|=2的解為.(直接寫答案，不需過程)

備用圖

【知識拓展】我們在解方程|x-5|+|x+2|=7時，可以設(shè)A表示數(shù)5,3表示數(shù)-2,0表示

數(shù)-該方程可以看作在數(shù)軸上找一點尸使得辦+PB-7,因為A8-7,所以由圖可知，

尸在線段AB上都可，所以該方程有無數(shù)解，x的取值范圍是-2WxW5.類似的，方程

|x+4|+L16|=10的解(填“唯一”或“不唯一”)，x的取值是.("唯

一”填x的值，“不唯一”填X的取值范圍);

【拓展應用]解方程|x+4|+|x-6|=14.

【分析】【知識應用】根據(jù)數(shù)軸上兩點間距離理解舟5|所表示的含義，從而列方程求解;

【知識拓展】根據(jù)數(shù)軸上兩點間距離理解年+4|+k-6|所表示的含義，從而列方程求解并

確定X的取值范圍；

【拓展應用】根據(jù)數(shù)軸上兩點間距離理解k+41+lx-61所表示的含義，從而列方程求解.

【解答】解：【知識應用】???|x+5|=|x-（-5）|,

，|x+5|可以看成是數(shù)軸上點A所表示的數(shù)x與-5的距離，

.*.x+5=2或x+5=-2,

解得：x=-3或x=-7,

故答案為：x=-3或x=-7；

【知識拓展】設(shè)A表示數(shù)-4,B表示數(shù)6,P表示數(shù)x,

，方程伙+4|+|「6|=10可以看作在數(shù)軸上找一點尸使得出+P8=10,

:.點P必在線段AB上，

，該方程的解不唯一，x的取值范圍是-4WxW6,

故答案為：不唯一，-4WxW6,

【拓展應用]|x+4|+|x-6|=14,

設(shè)A表示數(shù)-4,3表示數(shù)6,P表示數(shù)-

①當點尸位于線段AB上時，

|x+4|+|x-6|=x+4+67=10（不合題意,舍去）,

②當點P位于A點左側(cè)時，

|x+4|+|x-6|=-x-4-x+6=-2x+2=14,

解得：x=-6,

③當點P位于B點右側(cè)時，

|A+4|+|X-6|=x+4+x-6=2x-2=14,

解得：x=8,

綜上，x=-6或x=8.

【變式6-3]（2020春?重慶期末）閱讀下列材料：

我們知道國的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)x對應的點與原點的距離；B[J|x|=h-0|；這個結(jié)論

可以推廣為陽-刈表示在數(shù)軸上數(shù)xi,X2對應點之間的距離.絕對值的幾何意義在解題

中有著廣泛的應用：

例1：解方程8=4.

容易得出，在數(shù)軸上與原點距離為4的點對應的數(shù)為±4,即該方程的解x=±4：

例2：解方程-+1I+Q2|=5.

由絕對值的幾何意義可知，該方程表示求在數(shù)軸上與7和2的距離之和為5的點對應的

x的值.在數(shù)軸上，-1和2的距離為3,滿足方程的x對應的點在2的右邊或在-I的

左邊.若x對應的點在2的右邊，如圖1可以看出x=3；同理，若x對應點在-1的左

邊，可得x=-2.所以原方程的解是x=3或x=-2.

例3：解不等式|x-1|>3.

在數(shù)軸上找出|x-1|=3的解，即到1的距離為3的點對應的數(shù)為-2,4,如圖2,在-2

的左邊或在4的右邊的x值就滿足|x-1|>3,所以卜-1|>3的解為x<-2或x>4.

參考閱讀材料，解答下列問題：

（1）方程伙+3|=5的解為；

（2）方程卜?-2017|+|x-l|=2020的解為

（3）Mv+4|+k-31^11,求x的取值范圍.

圖1圖2

【分析】（1）根據(jù)例1的方法，求出方程的解即可;

（2）根據(jù)例2的方法，求出方程的解即可；

（3）根據(jù)例3的方法，求出x的范圍即可.

【解答】解：（1）方程|.v十3|=5的解為人=2或?8；

故答案為：工=2或工=-8：

（2）方程田-2017I+W-1|=2020的解為x=-2或x=2O18；

故答案為：x=?2或x=2018；

（3）???|x+4|+|x-3|表示的幾何意義是在數(shù)軸上分別與-4和3的點的距離之和,

而-4與3之間的距離為7,當x在-4和3時之間，不存在《使b+4|+卜-3|211成立,

當x在3的右邊時，如圖所示,易知當x25時，滿足W+4I+L”3|211,

當x在-4的左邊時，如圖所示，易知當xW-6時，滿足僅+4|+k-3|211,

所以x的取值范圍是x25或xW-6.

7,

二_J±t--

-630

【考點7一元一次方程中的圖表問題】

【例7】（2020秋?張店區(qū)期末）如圖給出的是2021年某月份的口歷表，任意圈出一豎列上

相鄰的三個數(shù)，請你運用方程思想來研究，發(fā)現(xiàn)這三個數(shù)的和不可能是（)

日一二三四五六

123456

78910111213

14151617181920

21222324252627

28293031

A.27B.41C.42D.69

【分析】可設(shè)中間的數(shù)為居”應該是正整數(shù)，根據(jù)豎列上相鄰的數(shù)相隔7可得其余2個

數(shù)，相加等于各選項中數(shù)字求解即可.

【解答】解：A、設(shè)中間的數(shù)為x,則最小的數(shù)為4-7,最大的數(shù)為x+7.

x+(x-7)+(x+7)=27,

解得：x=9,不符合題意；

B、設(shè)中間的數(shù)為x,則最小的數(shù)為x-7,最大的數(shù)為x+7.

x+(A--7)+(x+7)=41,

解得：戶爭符合題意；

C、設(shè)中間的數(shù)為x，則最小的數(shù)為x-7,最大的數(shù)為x+7.

x+(x-7)+(x+7)=42,

解得：x=14,不符合題意；

D、設(shè)中間的數(shù)為心則最小的數(shù)為x-7,最大的數(shù)為x+7.

x+(X-7)+(x+7)=69,

解得：x=23,不符合題意.

故選：B.

【變式7-1](2021春?浦東新區(qū)校級期中)如圖，在2021年4月份日歷中按如圖所示的方

式任意找7個日期，那么這7個數(shù)的和可能是()

2021年04月回到今天人、

—_—四五7\B

293031123休4休

十八十九愚人節(jié)廿一廿二清明節(jié)

5休67891011

廿四廿五取tbt廿八廿九三十

121314151617518?

三月初二初三初四初五izJZ\初七

19?20?21?22232425班

初八初十1WB十二十三十四

26272829301休2休

/-l-t十八十九勞動節(jié)廿一

3休4休5休678班9

廿二青年節(jié)立夏廿五ttA廿七母親節(jié)

A.64B.72C.98D.H8

【分析】設(shè)7個日期的中間數(shù)為x,則另外6個數(shù)分別為(x-8),(A-6),(x-1),

(X+1),(x+6),(.v+8),進而可得出7個數(shù)之和為7x,結(jié)合四個選項中的數(shù)，即可

得出關(guān)于X的一元一次方程，解之即可得出X的值，再結(jié)合X為整數(shù)即可確定結(jié)論.

【解答】解：設(shè)7個E期的中間數(shù)為x,則另外6個數(shù)分別為（x-8）,（x-6）,（x

-I）>（x+1）?（x+6）?（x+8）?

???7個數(shù)之和為7x.

當7x=64時,x=竽不合題意；

7?

當7x=72時，x=7,不合題意；

當7x=98時，x=l4,符合題意；

當7x=118時，x=]芋，不合題意.

故選：C.

【變式7-2]（2（）20秋?中原區(qū)校級期中）如圖，2021年3月的日歷中有一個“M”形框，

框中包含7個數(shù).

2021年03月

123

8910

151617

222324

293031

（1）將形框上下左右平移，但一定要框住2021年3月的日歷中的7個數(shù)，若設(shè)

“M”形框框住的7個數(shù)中，從小到大排第4個數(shù)為小用含。的代數(shù)式表示形框

框住的7個數(shù)字之和；

（2）將“M”形框上下左右平移，“M”形框框住的7個數(shù)字之和能是133嗎？如果能,

請寫出此時“M”形框中最小的數(shù)，如果不能，請說明理由.

【分析】（I）上下相鄰的數(shù)：上面的數(shù)比下面的數(shù)個7,左右相鄰的數(shù)：左面的數(shù)比右

面的數(shù)小1，根據(jù)特點寫出7個數(shù)再計算即可；

（2）由（1）中求出的代數(shù)式等于（2）中每個數(shù)據(jù)的和，若是。是整數(shù)，就可以，不是

整數(shù)，就不可以.

【解答】解：（1）設(shè)形框框住的7個數(shù)中從小到大排第4個數(shù)為小

則其它的數(shù)為（a+1）、（。?8）、（4+8）、（4-6）、（"6）,

所以7個數(shù)的和為（a-1）十（〃+1）+Ca~8）十（〃+8）十（6/-6）+（a十6）十a(chǎn)=7a.

答：這7個數(shù)的和是7m

（2）依題意得：

74=133,

解得a=19.

所以最小的數(shù)4-8=I1.

【變式7-3]（2020秋?武昌區(qū)期中）如圖，是2020年11月的月歷，“L”型、“反Z”型

兩個陰影圖形分別覆蓋其中四個方格（可以重疊覆蓋），設(shè)“L”型陰影覆蓋的最小數(shù)字

為四個數(shù)字之和為Si,“反Z”型陰影覆蓋的最小數(shù)字為4四個數(shù)字之和為S2.

（1）Si=（用含〃的式子表示），52=（用含人的式子表示）；

（2）S1+S2值能否為46?若能，求。的值；若不能，說明理由.

（3）從日歷中取出1,3,6,1（）,15,21,28,尋找其規(guī)律，并按此規(guī)律繼續(xù)排列下去,

若將第1個數(shù)記為京，第2個數(shù)記為X2,……，第〃個數(shù)記為初，則工+工+工+……+

Xix2x3

]4040

-

X2020-2021—

22232425262728

29|30

【分析】（1）設(shè)“L”型陰影覆蓋的最小數(shù)字為。，其它數(shù)字分別為。+7、。+8、。+9,四

個數(shù)字之和為Si,相加即可求出值.同理求出S2.

（2）根據(jù)（1）可求出〃、。的值.不存在這樣的。、b.

（3）根據(jù)分式運算隱含地規(guī)律可得出結(jié)果.

【解答】解：（I）**d+t/+7+a+8+d+9=4f/+24,

???S=4a+24.

*/Z?+/ri-1+b+6+b+l=4b+14,

.*.S?=4/?+14.

(2)由(1)得SI+S2=4〃+24+40+14=4(〃+。)+38,

設(shè)SI+S2=4(a+b)+38=46,

得a+b=2.

又???a,。都為正整數(shù)，

.*.?=1,h=1.

??”=1時，反Z型不存在,

故S1+S2的值不可能為46.

答:S1+S2的值能為46,a=l,b=\.

(3)由題意：——+—+——+...4------

X1x2x3x2020

=1+州+轉(zhuǎn)+…+WU

_,111,1

一［t十取十1+2+3+1+2+3+4+…+1+2+3+4+…+2020

_一222,2

=1+2x3+3x4+4x5+"，+2020x2021

11111111、

1+2--+——-4-—--+???+----------)

23344520202021

11

=I+2(一一)

22021

=1+2019

1十2021

_4040

=2021,

【考點8一元一次方程中的動點問題】

【例8】（2021秋?鐵西區(qū)期中）如圖，一個點從數(shù)軸上的原點開始，先向左移動2c機到達

O

A點，再向右移動到達8點，然后再向右移動到達C點，數(shù)軸上一個單位長度

表示\cm.

????????????A

-6-54-3-2-1012345

（1）請你在數(shù)軸上表示出A,B,C三點的位置；

（2）把點C到點A的距離記為CA,則CA=cm.

（3）若點A沿數(shù)軸以每秒勻速向右運動，經(jīng)過多少秒后點A到點C的距離為3cm?

（4）若點4以每秒\cm的速度勻速向左移動，同時點8、點。分別以每秒4cm、9cm的

速度勻速向右移動.設(shè)移動時間為，秒，試探索：BA-C8的值是否會隨著,的變化而改

變？若變化，請說明理由，若無變化，請直接寫出及的值.

【分析】（1）由題意得：A點對應的數(shù)為-2,3點對應的數(shù)為1,點。對應的數(shù)為費,

將4,B,C三點在數(shù)軸上表示即可；

（2）利用數(shù)軸計算。4,OC的長度后相加即可;

（3）設(shè)經(jīng)過x秒后點A到點。的距離為30科利用分類討論的思想分兩種情形列出方程

即可得出結(jié)論；

（4）用代數(shù)式分別表示出移動，秒后線段84,CB的長度，通過計算可得結(jié)論.

【解答】解：（1）由題意得：A點對應的數(shù)為-2,8點對應的數(shù)為1,點。對應的數(shù)為

11

3

點A,從C在數(shù)軸上表示如下圖:

ABC

111iji1.II.11?

-6-5^-3-2-1012345

(2)設(shè)原點為。，如圖，

AQBC

-6-54-3-2-1012345

：.OA=2,0C=?，

17

：,AC=OA+OC=-y.

17

故答案為：—.

(3)①當點4在點C的左側(cè)時，

設(shè)經(jīng)過x秒后點A到點C的距離為3an,由題意得：

17

——3x=3,

3

解得：戶出

②當點A在點C的右側(cè)時，

設(shè)經(jīng)過x秒后點A到點C的距離為3c/〃，由題意得：

017_

3x2"-3,

解得:1=等.

o26

綜上，經(jīng)過一或一秒后點A到點C的距離為3c?〃?.

99

(4)BA-CB的值不會隨著/的變化而變化，BA-CB=

o

由題意：AB=3cm,CB=ocm,

88

J\

-一

???移動，秒后，A8=3+/+4f=(3+5/)cm,CB=9t33X

o1

：.BA-CB=(3+5，)-(5/+^)=4，

-CB的值不會隨著，的變化而變化，BA-CB=

【變式8-1](2021秋?長春期中)如圖，在數(shù)軸上點八表示數(shù)小點8表示數(shù)〃，點C表

示數(shù)c,?是最小的正整數(shù),且。、6滿足|。+2|+(c-6)2=0.

(1)a=,b=,c=.

(2)若將數(shù)軸折疊，使得點A與點C重合，則數(shù)軸上折痕所表示的數(shù)為，點B

與數(shù)表示的點重合，原點與數(shù)表示的點重合.

(3)動點P、Q同時從原點出發(fā)，點P向負半軸運動，點Q向正半軸運動，點。的速

度是點P速度的3倍，2秒鐘后，點P到達點A.

①點尸的速度是每秒個單位，則點Q的速度是每秒個單位.

②點Q到達點。后，改變方向，按原速度向負半軸方向運動，求再經(jīng)過幾秒鐘，點夕與

點。能相遇.

③在②的條件下，點。改變方向后，直接寫出又經(jīng)過幾秒鐘點尸與點Q相距3個單位.

~ABC?

【分析】（I）由。是最小的正整數(shù)，確定匕=1,再由非負數(shù)的性質(zhì)求得〃=-2,c=6；

（2）折疊數(shù)軸，當兩個點重合時，則折痕表示的數(shù)為這兩個點表示的數(shù)的平均數(shù)，根據(jù)

重合的點到折痕的距離相等，可求出相應的點表示的數(shù)；

（3）①先由點P從原點出發(fā)向數(shù)軸負半軸運動且2秒鐘到達點A求出點A的速度為1

單位長度/秒，點求出點。的速度；

②設(shè)再經(jīng)過，秒鐘點P與點Q相遇，按追及問題的數(shù)量關(guān)系列方程求出，的值；

③分兩種情況，即點尸在點Q的左側(cè)和點夕在點Q的右側(cè)進行分類討論，列方程求出/

的值.

【解答】解：（1）因為b是最不的負整數(shù)，

所以〃=1；

因為⑶220,（c-6）220,且|。+2|+（c-6）2=0,

所以|a+2|=0,（c-6）2=0?

所以a+2=0,c-6=0,

所以a=-2,c=6,

故答案為：-2,1,6.

（2）將數(shù)軸折疊，使得點4與點C重合，則產(chǎn)二2,

所以折痕表示的數(shù)是2；

點B到折痕的距離為1單位長度，則2+1=3,

所以點8與數(shù)3表示的點重合；

原點到折痕的距離為2單位長度，則2+2=4,

所以原點與數(shù)4表示的點重合，

故答案為：2,3,4.

（3）①點P從原點出發(fā)向數(shù)軸負半軸運動且2秒鐘到達點4,則