專題七三角恒等變換與解三角形

考綱專題解讀

考點(diǎn)分布考點(diǎn)分頻考綱內(nèi)容命題趨勢(shì)

—

1和與差的三角函數(shù)公式內(nèi)容探究：1.三角恒等變換是三角變換的

(1/用向■糠■積推導(dǎo)出兩角差的余笠公式工具.主要考查利用兩角和與差的三角公式、

(2)能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角差的正弦、二倍角公式進(jìn)行三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值.

正切公式.

1.三角恒等變換可單獨(dú)考查，也可與三角函數(shù)的知識(shí)除合

(3)能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的正弦,考查.

余弦、正切公式,導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公

■5年北考

式,了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.2.正、余弦定理是超三角形的主要工具高

2.簡(jiǎn)單的三角恒等變換考中主要考查用其求三角形中的邊和角及

能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的怕等變換(包括導(dǎo)出實(shí)施邊、角之間的轉(zhuǎn)化.

積化和差、和差化積、半角公式，但對(duì)這三組公式不3角三角版是三角函數(shù)的知識(shí)在三角彩中的

要求記憶).

應(yīng)用,高考中可單獨(dú)考查,也可以與三角的

3.正弦定理和余弦定理及應(yīng)用

2.正、余弦定理及解數(shù)、不等式、向■等綜合考查.

二角形(1)掌握正弦定理、余弦定理,并能解決一些簡(jiǎn)單

的三角形度量問(wèn)題.形式探究：高考中此專題多以中低檔題出

■T5年76考(2)能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解現(xiàn)，選擇短、填空題、解答題均有涉及，

決一些與泅■和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題選擇題、填空題為5分.胡答JH12分左右.

J

考點(diǎn)題組訓(xùn)練

點(diǎn)三角恒等變換“40

第n步試代題

A組新題速遞

(2015?課標(biāo)I,2,易)sin2()'cos100-UUS160°sin10°=()

百c西一Icl

A.一勺B.勺C.-5D.T

【答案】D原式=sin20°cos10°4-cos20°sin100=sin300=5.

B組經(jīng)典回顧

1.(2013?重慶，9,易)4cos500-tan40°=()

A.\5B也、小,c.^3D.2yf2~\

.。。。sin40°

【答案】C4cos50°-tan40°=4sin40°一一不「

cos40

4cos40°sin400-sin400

cos40°

2sin800-sin40°

cos40°

2sin(120°—40°)—sin400

=cos40°

\^3cos400+sin40°-sin400

cos40°

\GcOS40"r-J,_

=cos400=小’故選C.

2.(2012?重慶，5,易)設(shè)tan。，tan￡是方程f-31+2=0的兩根，則lan(a+/?)的值為()

A.-3B.-1C.1D.3

[tana+tan3=3,

【答案】A由根與系數(shù)關(guān)系知Q。

Itana-tan￡=2,

,門(mén)tan。+lan￡3

ffijtan(?+^)=-----------77=-—-=—3,故選A.

3.(2012?四川，4,易)如圖，正方形ABCZ)的邊長(zhǎng)為1,延長(zhǎng)84至E,使AE=1,連接EC,ED,

則sinNCEQ=()

C需D.雪

【答案】B方法一：由題意可得sinNAE￡)=cosNAEO=乎,

1V5

sinZAEC=5，

2

cosZAEC—

5，

???sinZCED=sin(ZAED-ZAEC)

_0,2#5)

2八52八5—10.

方法二：在RtZ\E4。和RlZ\EBC中，易知ED=p,EC=#),在△DEC中，由余弦定理得cosN

EU+Ed—CD?2+5-13VT6yio

CED=故選B.

2ED?EC=2X6X4=10吁10，

侍，JI),則tan2a的值是,

4.(2013?四川，13,易)設(shè)sin2。=一sina,aS

【解析】方法一■：sin2a=—sin4n

2sinacosa=-sina,

\?Q￡停，n),

V3

sin。于0,cosa=—?jiǎng)tsina=2，

2tana一2小

tana=一小,而tan2a=

1-tan2a1-3

方法二：同方法一，得cosa=—

修，n),則a=2n

又ae

3.

4n

tan2a=tan^-=\3r.

【答案】小

5.(2013?課標(biāo)I,15,中)設(shè)當(dāng)工=〃時(shí)，函數(shù)/U)=sini—2csx取得最大值，貝ijcos0=

【解析】由輔助南公式得

,?制=小停5吊x—2^5

-cosx

=\Gsin(x一夕),

2而cosV，

其占sin0=

5，

由時(shí),y(x)取得最大值得sin(。一夕)=1,

n

/.d—(p=2kn+^~,kGZ,

即9=9+,+2&n,

cos0=cosl(p+；=-sin0一唔

【答案】一羋

6.(2013?課標(biāo)II,15,中)設(shè)。為第二象限角，若tan(夕+總=今則sin夕+cos°=

【解析】tan8=tan|J8+三一十~p=—

1+2

sin0=—geos0,將其代入sin70+cos'0=1得^^^'。=1,

.*.cos2=Y(j，易知cos8<0,

0=sin8=^^,

cos

故sin0+cos8=—

【答案】一呼

7.(2014江西，16,12分,易)已知函數(shù)兀Y)=sin(x+0)+acos(x+2<9),其中。WR,

(1)若4=地，■時(shí)，求段)在區(qū)間。n］上的最大值與最小值;

(2)若4司=0,/(冗)=1，求〃，〃的值.

解：⑴/(x)=sinQ+3+啦COSQ+T-,

=子(sinx+cosx)—^/2sinx

、傷啦.

=^-cosx_2sinx

因?yàn)閤6[0,n],

所以寧―3nn

丁，7

故JU)在[0,n]上的最大值為方最小值為-1.

⑵由陟。，

/(n)=1

cos8(1—2〃sin0)=0,

得＜

[2t7sin26-sin0—a=1,

,(nn),

由。知cose*0,

a=-\,

解得n

8=—T

第?步提能力

考向二角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值

1.兩角和與差的三角函數(shù)公式

sin(a+/?)=sinacosP+cosasin￡；(S,；+/?)

sin(a-^)=sinacosP-cosasin￡.(S。-4)

cos(a4-/^)=cosacos￡-sinasin￡；(C?+/?)

cos(a-/?)=cosacos￡+sinasin￡.(€\一6)

tana+tanB

tan(a+/?)=--;------------石；(T?！?/p>

r1—tantanP'

tana—tanB

tan-S)=[+ta…tan4。")

2.二倍角公式

sin2a=2sinacosa；(S2J

cos2a=cos2a—sin2a=2cos2a—1=1-2sin2a；(C2O

2tana

tan2a=-1;—=0

1—tan-Q

3.公式的變形與應(yīng)用

(1)兩角和與差的正切公式的變形

tana+tanfi=tan(a+/^)(l-tanatan￡)；

tana-tan=tan(a-//)(1+tanatan￡).

(2)升舞公式

1+cosa=2cos_^_；1—cosa=2sin~^~.

(3)降籍公式

、1—cos2a1-Feos2a

sin-a=------2------；cos0a=-------------.

(4)其他常用變形

2sinacos。2tana

sin2ct—~~7;5-T~;5；

sin*-a+cos2a1+tan~a

cos2——sin,a1-tan〉a

2

cos2acos2a-|-sjn2a?+tana'

a42

1±sina=sin-2-±cos-2-1；

asin。1-cosa

tan'

21+cosasina

4.輔助角公式

osina+Z?cosa=\?2+/?2sin(a+^),

b

其中cos(p=sin(p=

5.角的拆分與組合

(1)己知的表示未知角

例如,2a=(a+￡)+(a—尸),2￡=(a+0一(a一4),

a=(a+/?)—￡=(a一份+夕,

a=(T+?[-2="-總+拼

(2)互余與互補(bǔ)關(guān)系

例如，(十+。)+J)=n，

jiHJi

—a

16

⑶非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角

例如,15°=45°-30°,75°=45。+30。,

□回目口(1)(2013?浙江，6)已知a￡R,sina+2cos則lan2a=()

4334

--c-D-

A.3B.4*3

-4

(JIA(JTA14-sin0

(2)(2014?課標(biāo)I,8)設(shè)a￡[0,句，￡￡[()，引，且tana=￡，貝蟲(chóng))

n

A.3a-B.3a+0=?

C.2a—￡=5D.2a+/?=v

4

16,12分)已知函數(shù)凡Y)=AsinQ+w),x￡R,且

(3)(2014?廣東，

①求A的值；

②若.做)+./(一。)=,，？《()，3，求#千一〃)

53

【解析】(l)(sina+2cosa)2=^,展開(kāi)得3cos2a+4sina?cosa=^,再由二倍角公式得

3

1cos2a+2sin2a=0,

sin2a3

故tan2a=故選C.

cos2a4,

1+sinBsina1+sinB

⑵由tan得

cosBcosacosB

即sinacosZ?=cosa+cosasin￡,

(n、

/.sin(?—p)=cosa=

?"o,y,6￡(0,yj,

fnnAn_n'

???Q一夕十7,可，T—a?0,y,

,(n\n

由sin(?—/?)=sin|-a,得a一尸工

n,L

：?2Q—B=3,故選C.

32c2

?*?A=y[3.

②/?)+人一。)

=\Gsin(8+引+小5抽(-6+工

S?sinn^+Vs^sin(一〃)-cos^+cos(-0)?n

=,\^lsin0?cos^+cossin

4y

-2>/5COS0-sin彳

3

='&os0=擠

,又夕￡(0,.*.sin8=乎.

Acos8=當(dāng)

.?后。3sin(n—6)=^/3sin0

【點(diǎn)撥】解題(1)的關(guān)鍵是準(zhǔn)確利用平方關(guān)系及誘導(dǎo)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化；解題(2)的關(guān)鍵是利用誘導(dǎo)公式

進(jìn)行轉(zhuǎn)化或利用“切化弦”；解題⑶的思路是①由信?)的值直接求出A的值；②化簡(jiǎn)＜0)+4-0)=方可

得cos夕的值，由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及角的范圍可求得sin0,再化簡(jiǎn)檸一。)可得答案.

國(guó)圖目爵，1.三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)遵循的三個(gè)原則

(1)一看“角”，這是最重要的一環(huán)，通過(guò)看角之間的差別與聯(lián)系，把角進(jìn)行合理的拆分，從而正確

使用公式.

(2)二看“函數(shù)名稱”，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式，常見(jiàn)的有“切化弦”.

(3)三看“結(jié)構(gòu)特征”，分析結(jié)構(gòu)特征，可以幫助我們找到變形的方向，常見(jiàn)的有“遇到分式要通分”

等.

2.三角函數(shù)求值的類(lèi)型及方法

(1)“給珀求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來(lái)看較難，但非特殊角與特殊角總有一定

關(guān)系.解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù).

(2)“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，

使其角相同或具有某種關(guān)系.

(3)“給值求角”：實(shí)質(zhì)上也轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含己知角的式子表示,

由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角，有時(shí)要壓縮角的取值范圍.

4注意

在求值的題目中，一定要注意角的范圍，要做到“先看角的范圍，再求值”.

場(chǎng)國(guó)即圖（2014?江蘇，15,14分）已知JI1si…室

⑴求sin（7+a,的值；

⑵求cos（2—2,的值.

._一，n

解：（）因?yàn)椤?/p>

1nJ,sin口一5，

2小

所以cosa=—^/l—sin2a

5?

故皿得nn

+al=sin-j-cosQ+COS彳sina

一迎

辛10■

⑵由(1)知sin2。=2sinacos4=2*乎義(一一段,

所以cos(*~—2，

5n5n

=cos-^-cos2a+sin-^-sin2a

31

X5+2X

_4+373

一10

第EJ步過(guò)模擬

1.（2015?河南許昌一模，5）已知sin2Q=；,則等于（）

A.gB.C.1D.一］

1+cos(2。-7

H、1+sin2a2

【答案】

C°F223,

cos400

2.（2015?安徽阜陽(yáng)期末,7）化簡(jiǎn)

cos25°'1—sin400)

A.1B.小C.^2D.2

【答案】C原式

________________cos??。。一si/200________________

-cos25°^sin220°-2sin200cos20°+cos2200

_______cos"。。一sin"。。______

cos25°(cos20°—sin20°)

、歷sin65"啦cos25°(-

=cos25°=cos25°=▼.

3.(2014?江西新余三模，6)若?！?彳，Hj,且3cos2q=4sin(z~—a),則sin2a的值為()

A.￡B.

-21

jC95D9

【答案】B由已知得3(8/<7—5m2。)=2/(8§a—sina),

?.■?！瓴?，n)，Acosa—sinQWO,

/.3(cosa+sina)=21\[2,

.1.2^2...n8

..cosa+sina="-,1十sm2a=g,

..sin2a=-§.

?40

4.（2015?河北邯鄲一模，9）已知。為第二象限角，sin（n-0）=/，則cos*y的值為（：）

A.|B.,

C.±|D.士1

JJ

【答案】c???。為第二象限角，

2kn~\~~<0<2k*+JI，kRZ,

BPA：n+]<?■<%n+y,kSZ,

又sin(n—0)=—,

?47

sin〃=后cos〃=-X

01+cos°=±|.故選C.

??cos2

2

5.（2015?山西運(yùn)城質(zhì)檢，7）已知向量a=^sin。+7■,,1,b=(4,4cosa一小)，若aJL力，則

sin(〃+喇=(

)

一

A.gB.1

4

C.乎D.1

【答案】B???a_Lb,

JT

?4sinla土石j+4cosa—y[3

=26sina+6cosa一小

6.（2014?~湖,北土鄂州…期》末，⑵（《清小t2a。n1-22°）-s3in12。=-------

不一12。

■、N3cos1203

L解析1原式=-z27o?;"""7^7°

2(o2cosz12—1)sin12

2小gsin12°—^^cos120)

cos120—

2cos24°sin12°

25sin(-48°)

2cos24°sin12°cos12°

—2小sin48°—2由sin480「

sin24°cos24°=1,,o0=一的3.

^sin48

【答案】-4小

7.(2015?河南商丘一模，14)已知爹，且2sin2a—sina?cosa—3cos2a=0,則

sin(a

sin2a4-cos2^+1------------,

【解析】5)，且Zsi/q—sina-cosa—3cos2a=0,則(2sina—3cosa)-(sina

+cosa)=0,2sina=3cosa,

又sin2a+cos2<7=1,

sin2a+cos2a+1

2(sina+cosa)

(sina+cosa)?+(cos2a—sin2a)

2^26

8.

【答案】華

8.（2015?山東東營(yíng)二模，16,12分）已知向量a=（sin。，-2）與。=（1,cos。）互相垂直，其中

夕￡(0,yj.

(1)求sin。和cos〃的值;

⑵若5cos(。-9)=3小cos9,0<9<工~，求cos(p的值.

解：_方，.*.?-/>=sin2cos8=0,

即sin3=2cos6.

又Vsin23+cos26=1,

.*.4cos2cos26=1,

i4

即cos20=-,sin23=《.

JJ

又?..04o,41,

2r

??/）維Q或

..sinc/=~,cos6=5-

⑵：5cos（。一9）

=5（cos8cos夕+sin8sin3）

=、6cose+2小sin夕=3小cos*,

cos9=sin9,

/.cos》=sin"=1—cos”,即cos2^=^.

又70<0<^,/.cos9=坐

方----------

oun正、余弦定理及

占kr解三角形mi1

第0步試真題

A組）新題速遞

1.（2015?廣東，11,易）設(shè)△A8C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若。=第，sin8=JC=

y.則0=.

1nn

【解析】..?sin/?=2>。=7"，—=6,

?'"=筌.由正弦定理得，主=-7，

3sinBsinA1

.□小*J

a?sinB72

：-b=sinA=-n?=L

sin亍

【答案】1

sin，人

2.（2015?北京，12,易）在△ABC中，〃=4,力=5,c=6,則一.

siniz

【解析】由余弦定理，得

?+?——

cosC=-2ah-

42+52—621

2X4X58'

Ir+cr—cr

cosA=2bc

52+62-423

2X5X64-

???在△ABC中，sinC=^P~tsinA=乎.

O4

.sin2A2sinAcosA

,*sinC=_sinC-

2義,

3^7=L

8

【答案】1

3.(2015?課標(biāo)I,16,中)在平面四邊形ABC。中，NA=N8=NC=75°,BC=2,則48的取值

范圍是.

【解析】方法一：如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作C石〃AD于點(diǎn)E,則NCE8=75°,

:,CE=BC=2,ZBCE=30°.%?\

八/加。/__A

???BE2=8C2+CE2_2BCCECOSNBCE=4+4-8X號(hào)=8-45.

此時(shí)，BE=,-也.

延長(zhǎng)CD交氏4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)匕則/為等腰三角形，且NCF9=3()°,FC=FB,

FC2+FB2-BC2

???cosNCFB=-2FC?FB―

_2FB2~4_V3

=2FB2=2.

解得FB=,+?

由題意可知，

,一也VABV求十4

方法二：如圖所示，延長(zhǎng)區(qū)4,C。交于點(diǎn)E.

則可知在△AOE中，ZDAE=105°,

NADE=45°,ZE=30°.

設(shè)AD=^xf

CD=mt

在△AED中，由正弦定理得，AE=%,DE=^；巾x.

?；BC=2,在△3CE中，由正弦定理得,

BC_CE

sinE=sinB,

即sin30°?(胡：立戈+〃J=2sin75。,

4

Vw>0,，0VxV4.而AB=*：也x+m一旁x=,+y/2一嘩x,

?MB的取值范圍是（#一啦，黃十柩.

【答案】（加一啦，加+娘）

4.（2015?湖北，13,中汝I圖，一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)

一山頂。在西偏北30°的方向上，行駛600m后到達(dá)8處，測(cè)得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角

為30°,則此山的高度CD=m.

【解析】在△ABC中，NC45=30°,ZABC=105°,???NACB=45°.

又???AB=600m,

ABBC

由正弦定理得，

sin450sin30''

代入A8解得3C=300gm

在RtABCD中,

CD=BCXtan30°=30即乂坐

=10()V6(m).

【答案】10076

5.（2015?課標(biāo)n,17,12分，中）ZSABC中，D是BC上的點(diǎn)，A。平分N84C,/XAB。面積是△AOC

面積的2倍.

sinNB

⑴求

sinZC,

5

(2)若人。=1,DC=^~,求30和AC的長(zhǎng).

解：(1)5"加=夕3-AOsinNBA。,

SMDC=^4C?ADsinNCAD.

因?yàn)镾a48D=2SAA"c,^BAD=ZCADt

所以A8=2AC,

由正弦定理可得

sin/8_AC_l

sinZC=A^=2,

(2)因?yàn)镾^ABD:SMDC=BD：DC,

所以BD=2DC=巾.

在AAB。和△ADC中，由余弦定理知，

AB1=AD1+BD1-2ADBDcosNADB,

AC2=AD2+DC2~2ADDCcosNAQC

故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.

由(1)次口AB=2AC,所以AC=1.

6.(2015?湖南，17,12分，中)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為mb,c,〃="anA,且B為

鈍角.

(1)證明：B-A=~2；

(2)求sinA+sinC的取值范圍.

解：(1)證明：由〃=ZHanA及正弦定理，得鬻=￡=篝，

WoziUolll1J

所以sinB=cosA,

即sinB=sin^+^-

又B為鈍角，因此5+A￡(?,nJ,

n,n

故3=?~+A,即B—A=—

(2)由(1)知，C=n-(4+8)=n-I2A+—l=y-2A>0,

所以A￡(0,/).

于是sin4+sinC=sinA+sing-2A,

=sinA+cos2A=—2sin2A+sinA+1

j.4n2,9

=-2lsinA—+g.

因?yàn)?<4<:，所以0<sinA<半，因此

<99

-4-

288

由此可知sinA+sinC的取值范圍是（孚，.

\Zo_

B組經(jīng)典回顧

1.（2014.江西，4,易）在△ABC中，內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別是mb,c.若，=（〃一32+6,C

=/,則/XABC的面積是（）

A.3R.挈

C~^~D.3小

【答案】C/=（〃一份2+6,

即^=/+爐一2川?+6.①

???c=g,由余弦定理得/=/+爐一②

由①和②得川?=6,二.SziAsc=JaZ?sinC=^X6X^=^^,故選C.

2.（2014.課標(biāo)II,4,易）鈍角三角形ABC的面積是：，AB=1,BC=?則AC=（）

A.5B.小C.2D.1

【答案】B由三角形面積公式可知，S=^AB?BC-sin

5冗3冗

又???48=1,8。=也，.%皿8=當(dāng)，.?.B=?或.由余弦定理可知,AC2=A"+BC2-2AB8CCOS

B.當(dāng)■時(shí)，得AC=1,這時(shí)不符合鈍角三角形的要求，故舍去；當(dāng)3=竽時(shí)，得至ljAC=小，故

選B.

3.（2014?廣東，12,易）在aABC中，角A,B,。所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c.已知加osC+ccosB

=2b,賜=

【解析】由余弦定理可得

2

.^2_|_^2—c2,〃2+。2-〃2a

bcosC+ccosB=h-+c?=^2a=a所以4=2/?,

所琮=2.

【答案】2

4.（2013?福建，13,易）如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)。在8。邊上，AD1AC,sin/B4C=畢，AB

=3也，A￡>=3,則8。的長(zhǎng)為

【解析】cosN8AO=cos（N8AC—￡）=sinNB4C=乎.故在△AB。中，由余弦定理知朋>=人"

+AD2-2ABADcosZBAD=3,故BD=小.

【答案】小

5.（2014?天津，12,易）在△ABC中，內(nèi)角4,B,C所對(duì)的邊分別是。，b,c.己知人一。=（〃，2sinB

=3sinC,則cosA的值為.

31/??+02一次

【解析】由2sinB=3sinC得2Z?=3c,即〃=不，代入b—c=~7a,整理得a=2c,故cosA=----zj-----

9

/+?—4/

【答案】-1

6.（2014?課標(biāo)I,16,中）已知小b,c?分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊,4=2,且（2+〃）（sin

A-sinB）=（c—A）sinC,則AABC面積的最大值為.

【解析】Va=2,(2+Z?)(sinA-sinB)=(c—Z?)sinC,

(a+Z?)(sin/I-sinB)=(c—/?)sinC.

由正弦定理得(〃+/?)(〃一b)=(c—/?>c,a1—b1=c1—bc.

按+/—crI

由余弦定理得cosA—,=5，

/.X=60°且6+/—4=bc,

+。2—4=》cN2Z?c—4,

當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立,.

:?bc44,

SA4?c=^/?csinAW小,

???AABC面積的最大值為小.

【答案】小

7.(2014?陜西,16,12分，中)△A8C的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.

(1)若a,b,c成等差數(shù)列，證明：sinA+sinC=2sin(A4-C)；

(2)若a,b,c成等比數(shù)列，求cosB的最小值.

解：(1)證明：Da,一c成等差數(shù)列,

***a+c=20.

由正弦定理得sinA+sinC=2sinB.

Vsin8=sin[n—(A+0]=sin(A+C),

/.sinA+sinC=2sin(A+C).

(2)a,h,c成等比數(shù)列，b2=ac.

由余弦定理得

tz2+c2—/?2cr+c2—ac2ac-ac1

cosB=-5^-=-2^-=5，

當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)等號(hào)成立.

cosB的最小值為*

8.(2014.安徽，16,12分，中)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a,b,c,且。=3,

=1,A=2B.

⑴求a的值;

⑵求sin(A++)的值.

解：(1)因?yàn)锳=2B,

所以sinA=sin2B=2sinB?cosB.

+c2—加

由正、余弦定理得。=2萬(wàn)一詬一

因?yàn)椤?3,c=l,所以〃=12,

所以Q=2，5.

Ir+r-cr9+1-121

(2)由余弦定理得cosA=

~lbc-=6-3,

由亍0<A<n,所以sin

nn2/、」/4一啦

故sin(A+w

=sinAcos7+cosAsi.3X2-6

第?步提能力、

考向1利用正、余弦定理解三角形

1.正、余弦定理

定理正弦定理余弦定理

2112/JCCOS；

q=L=，=2Ra=b-\-c-A

內(nèi)容sinAsinBsinCb1=a11c2—2accosZ?；

(其中H是△ABC外接圓的半徑)

(r=cr-\-lr—2?Z?cosC

〃=2RsinA,Z?=2/?sinB,c=2RsinC；

.4a.bc

sinA—2R，sin8—2R，sinC—?R；序+/一序

cosA—；

a?b-c=sinA：sin8：sinC；2bc

變形cP+cr—b2

asinB=bsinA>匕sinC=csinB,asinC=csincosB—2ac；

形式

222

A;67+Z?—C

cosC-2ab

a-\-b-\~c

-------------------------=2R

sinA+sin4+sinC

2.利用正、余弦定理解三角形

(1)已知兩角一邊，用正弦定理，只有一解.

(2)己知兩邊及一邊的對(duì)角，用正弦定理，有解的情況可分為幾種情況.

A為鈍角或直角時(shí)，。=〃，均無(wú)解.

（3）己知三邊，用余弦定理，有解時(shí)，只有一解.

（4）已知兩邊及夾角，用余弦定理，必有一解.

4注意

在利用正、余弦定理求解三角形中的三角函數(shù)問(wèn)題時(shí)，要注意角的范圍與三角函數(shù)符號(hào)之間的聯(lián)系.

□國(guó)?國(guó)1（2014?湖南，18,12分）如圖，在平面四邊形A8CO中，AD=\>CD=2,AC=y[l.

⑴求cosNCA力的值;

(2)若cos/B人力=sinNCR4=%,求"C的長(zhǎng).

14,

【思路導(dǎo)引】（1）由于△AOC的三邊已知，因此可以直接利用余弦定理求解；（2）根據(jù)同角三角函

數(shù)關(guān)系式以及兩角差的正弦公式求出N8AC'的正弦，然后利用正弦定理求出BC.

【解析】（1）在△AOC中，由余弦定理，得

AC^AI^-Cb1

C0SNCAD=-2AC?AD—

7+1—42、。

故由題設(shè)知，cosCAD=-.q-=7?

(2)設(shè)NBAC=a,則1=/鳥(niǎo)4。-NCAD

因?yàn)閏osNC4O=#^,COSNBAD=-

所以sinZCAD=y]1—cos2ZCAD

于是sina=sin(ZBAD—ZCAD)

=sinZBADcosZCAD—cosZBAD,sinNCA。

=吟邛《沿當(dāng)坐.

在△ABC中，由正弦定理得，產(chǎn)；=.多丁丁

smasinNCBA

,AC?sinas義"亞2

故BC=―'=rr-=3.

sinZCBA721

E3固目爵，解三角形的常見(jiàn)題型及求解方法

(1)已知兩角A,B與一>邊4,由A+S+C=n及c；nA=c；nA=c；n「、可先求出角C及b，再求出C

sinsinDsinv

(2)已知兩邊8,c及其夾角A,由/=/+/—2Z?ccosA,先求出a,再求出角8,C.

(3)已知三邊。，b,c,由余弦定理可求出角A,B,C.

(4)已知兩邊a,b及其中一邊的對(duì)角A,由正弦定理'=心可求出另一邊人的對(duì)角3,由。=兀

sinrisinD

一(A+B),可求出角C,再由總=看可求出c，而通過(guò)肅7=扁求角8時(shí)，可能有一解或兩解或

olIlzibillLolllzibillD

無(wú)解的情況.

國(guó)國(guó)孤除(2014?北京，15,13分)如圖，在aABC中，Z?=y,AB=8,/點(diǎn)。在8C

邊上，且C￡>=2,cosZADC=1./\

(1)求sinZBAD；

(2)求80,AC的長(zhǎng).

解：(1)在△A。。中，因?yàn)镃OSNAOC=7

4s

所以sinNADC=r-,

所以sinZBAD=sin(ZADC-ZB)

=sinZ/ADCcosB—cosNAOCsinB

4員11、,S3s

=—*-x———X-=-—

727214-

(2)在△AB。中，由正弦定理得

8X基

AB?sinZBAD°14

BD=：/p.r,=~~7T-=3.

sinZ.AADB4y/3

7

在△ABC中，由余弦定理得

AC2=AB2-\-BC2-2AB^CCOSB

=82+52-2X8X5X1=49.

所以AC=7.