/江蘇省2024_2025學年高二下冊3月階段檢測數(shù)學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．設函數(shù)在處存在導數(shù)為，則（

）A． B． C． D．2．函數(shù)的大致圖象為（

）A．

B．

C．

D．

3．在下列條件中，使P與A，B，C一定共面的是（

）A． B．C． D．4．已知，則的大小為（

）A． B． C． D．5．如圖，在平行六面體中，M為與的交點，若，則下面向量中與相等的向量是（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)任取兩個實數(shù)p、q，且，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（

）A． B． C． D．8．定義在R上的可導函數(shù)的導數(shù)為，滿足且是偶函數(shù)，（為自然對數(shù)的底數(shù)），則不等式的解集為（）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．定義在上的函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，函數(shù)的部分對應值如下表．下列關于函數(shù)的結論正確的是（

）

-1024512021A．函數(shù)的極值點的個數(shù)為3B．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為C．若時，的最大值是2，則t的最大值為4D．當時，方程有4個不同的實根10．已知空間中三點，，，則（）A．B．與夾角的余弦值是C．直線的一個方向向量是D．平面的一個法向量是11．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．當時，在上單調(diào)遞增B．若的圖象在處的切線與直線垂直，則實數(shù)C．當時，不存在極值D．當時，有且僅有兩個零點，且三、填空題（本大題共3小題）12．已知空間向量，若，則13．如圖，長方體中，，，點P為線段上一點，則的最小值為．

14．已知函數(shù)，若關于的方程有且僅有4個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數(shù).(1)若時，求函數(shù)在點處的切線方程；(2)若函數(shù)在時取得極值，當時，求函數(shù)的最小值；16．如圖所示，已知空間四邊形的每條邊和對角線長都等于1，點，，分別是的中點．(1)計算：；(2)求證：；(3)求異面直線和所成角的余弦值．17．設.（1）討論f(x)的單調(diào)性；（2）當x>0時，f(x)>0恒成立，求k的取值范圍.18．已知函數(shù)（）．(1)當，求f（x）的極值．(2)當時，設，若存在，，求實數(shù)的取值范圍．（為自然對數(shù)的底數(shù)，）19．已知函數(shù).(1)若，求證：；(2)設，若函數(shù)有兩個極值點，且，求證.

答案1．【正確答案】A【詳解】，故選A．2．【正確答案】C判斷奇偶性，函數(shù)值正負，特殊的函數(shù)值的大小，用排除法得出正確結論．【詳解】，是奇函數(shù)，排除A，又時，，，排除D，，排除B．故選C．3．【正確答案】C【詳解】空間向量共面定理，，若A，B，C不共線，且P，A，B，C共面，則其充要條件是；對于A選項，由于，所以不能得出P，A，B，C共面，故A錯誤；對于B選項，由于，所以不能得出P，A，B，C共面，故B錯誤；對于C選項，由于，則，，為共面向量，所以P，A，B，C共面，故C正確；對于D選項，由得，而，所以不能得出P，A，B，C共面，故D錯誤．故選C.4．【正確答案】D【詳解】解：因為，，設，則，所以當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；所以，，又因為，所以.故選D.5．【正確答案】A【詳解】由圖可得，故選A.6．【正確答案】B【詳解】因為的幾何意義為：表示點與點連線的斜率，因為實數(shù)，在區(qū)間，故在區(qū)間內(nèi)，不等式恒成立，所以函數(shù)圖象上在區(qū)間內(nèi)任意兩點連線的斜率大于1，故函數(shù)的導數(shù)大于1在內(nèi)恒成立，由函數(shù)的定義域，所以在內(nèi)恒成立，即在內(nèi)恒成立，由于二次函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，故時，在上取最大值為15，故實數(shù)a的取值范圍為.故選B.7．【正確答案】D【詳解】，所以在區(qū)間和上，即單調(diào)遞增；在區(qū)間上，即單調(diào)遞減，又，，，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.故選D.8．【正確答案】C【詳解】構造函數(shù)，所以，因為，所以，因此函數(shù)是實數(shù)集上的增函數(shù)，因為函數(shù)是偶函數(shù)，所以有，令，有，因此，于是由，因為函數(shù)是實數(shù)集上的增函數(shù)，所以有，故選C.9．【正確答案】AD【詳解】解：對于A：由的圖象可知，當時，，且當時，，當時，，當時，，當時，，所以0，2，4是函數(shù)的極值點，故A選項正確；對于B：由導函數(shù)的正負與函數(shù)之間的關系可知，當時，，當時，，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，故B選項錯誤；對于C：當時，函數(shù)的最大值是2，而的最大值不是4，故C選項錯誤；對于D：作出函數(shù)的大致圖象如圖所示，當時，直線與函數(shù)的圖象有4個交點，故D選項正確．故選AD．

10．【正確答案】ACD【詳解】由，，，得，對于A，因為，所以，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，因為，所以向量與平行，所以直線的一個方向向量是，故C正確；對于D，因為，所以不共線，設，則，所以，所以是平面的一個法向量，故D正確.故選ACD.11．【正確答案】ABD【分析】對于A，利用導數(shù)即可判斷；對于B，根據(jù)導數(shù)的幾何意義可判斷；對于C，取，根據(jù)導數(shù)判斷此時函數(shù)的單調(diào)性，說明極值情況，即可判斷；對于D，結合函數(shù)單調(diào)性，利用零點存在定理說明有且僅有兩個零點，繼而由可推出，即可證明結論，即可判斷.【詳解】因為，定義域為且，所以，對于A，當時，，所以在和上單調(diào)遞增，故A正確；對于B，因為直線的斜率為，又因為的圖象在處的切線與直線垂直，所以令，解得，故B正確；對于C，當時，不妨取，則，令，則有，解得，當時，，在上單調(diào)遞增，當時，，在上分別單調(diào)遞減，所以此時函數(shù)有極值，故C錯誤；對于D，由A可知，當時，在和上單調(diào)遞增，當時，，，所以在上有一個零點，又因為當時，，，所以在上有一個零點，所以有兩個零點，分別位于和內(nèi)，設，令，則有，則，所以的兩根互為倒數(shù)，所以，故D正確．故選ABD.12．【正確答案】【詳解】因為空間向量，所以，由于，所以，解得.13．【正確答案】/0.75【詳解】以為坐標原點，分別以為軸，建立空間直角坐標系，則，，

則，當時，的最小值為.14．【正確答案】【詳解】設，則，又，所以，則或．①當時，，求導得．當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減．因為，所以．又，當且時，；當時，．②當時，，，根據(jù)以上信息，作出函數(shù)的大致圖象如圖所示．觀察圖像可得：函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象僅有1個交點，所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有3個交點，則，所以實數(shù)的取值范圍為．15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）時，，則則切線方程為，即.故答案為.（2），因為函數(shù)在時取得極值，所以，解得，所以令，得或，令，解得則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最小值是或，又因為，所以.故答案為.16．【正確答案】(1)(2)證明見解析(3)【詳解】（1）設，，，則，．，，則；（2）因為所以.所以，即.（3），，，，，，由于異面直線所成角的范圍是，所以異面直線與所成角的余弦值為.17．【正確答案】（1）答案見解析（2）【詳解】（1），，①當時，即時，，在上是減函數(shù)；②當時，即時，由，解得，當時，，當時，，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上，時，函數(shù)在上是減函數(shù)，無單調(diào)增區(qū)間；時，函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）知，若時，在無最小值，所以f(x)>0不恒成立；若時，①當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即當x>0時，f(x)>0恒成立；②當時，，函數(shù)在遞減，在上遞增，所以當時，，只需即可，令，，則，所以在上是增函數(shù)，故，即無解，所以時，f(x)>0不恒成立。綜上，k的取值范圍為.18．【正確答案】(1)極小值為3；極大值為4ln7－3(2)【詳解】（1）的定義域為，當時，，∴，令，可得1＜x＜7，令f＇（x）＜0，可得0＜x＜1或x＞7，∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（0，1），（7，＋∞），單調(diào)增區(qū)間為（1，7）∴x＝1時，函數(shù)取得極小值為3；x＝7時，函數(shù)確定極大值為4ln7－3；（2），令，若，則，∴f（x）在區(qū)間（0，＋∞）上單調(diào)遞減，∴當時，f（x）在上單調(diào)遞減，∴f（x）在上的最大值為，，令，得，當時，，∴單調(diào)遞減，當時，，∴g（x）單調(diào)遞增，∴在上的最小值為，由題意可知，解得，又∵，∴實數(shù)a的取值范圍為[1，4）．19．【正確答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【詳解】（1）時，，即，等價于，令，則，令，則，當時，，當時，，可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，故.（2），則，1.當，即時，在上恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值點，