專題突破篇專題三三角形、四邊形的綜合四邊形的綜合備考指導(dǎo)·類型1平行四邊形綜合題·類型2矩形綜合題·類型3菱形綜合題·類型4正方形綜合題·類型5箏形綜合體類型1平行四邊形綜合題問題：如圖1，在?ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠DAB，∠ABC的平分線AE，BF分別與直線CD交于點(diǎn)E，F(xiàn)，求EF的長．例1探究：(1)把“問題”中的條件“AB＝8”去掉，其余條件不變．①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)F重合時，求AB的長；(圖1)解：如答圖1所示．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC＝AD＝5，AB∥CD，AB＝CD，∴∠DEA＝∠BAE.∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠DEA＝∠DAE，∴DE＝AD＝5.同理BC＝CF＝5.∵點(diǎn)E與點(diǎn)F重合，∴AB＝CD＝DE＋CF＝10.(答圖1)問題：如圖1，在?ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠DAB，∠ABC的平分線AE，BF分別與直線CD交于點(diǎn)E，F(xiàn)，求EF的長．探究：(1)把“問題”中的條件“AB＝8”去掉，其余條件不變．②當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時，求EF的長．(圖1)解：如答圖2所示．∵點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，∴DE＝DC＝5.∵CF＝BC＝5，∴點(diǎn)F與點(diǎn)D重合，∴EF＝DC＝5.(答圖2)問題：如圖1，在?ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠DAB，∠ABC的平分線AE，BF分別與直線CD交于點(diǎn)E，F(xiàn)，求EF的長．(2)把“問題”中的條件“AB＝8，AD＝5”去掉，其余條件不變，當(dāng)點(diǎn)D，F(xiàn)，E，C相鄰兩點(diǎn)間的距離相等時，求

的值．(圖1)解：分三種情況：①如答圖3所示．由(1)得AD＝DE，∵點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)相鄰兩點(diǎn)間的距離相等，∴AD＝DE＝EF＝CF，∴AB＝CD＝3AD，∴

②如答圖4所示．由(1)得AD＝DE＝CF＝BC，∵DF＝FE＝CE，∴

(答圖3)(答圖4)③如答圖5所示．由(1)得AD＝DE＝CF＝BC，∵DF＝DC＝CE，∴

＝2.綜上所述，

(答圖5)如圖2，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，點(diǎn)E在折線BCD上運(yùn)動，將AE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)得到AF，旋轉(zhuǎn)角等于∠BAC，連接CF.例2類型2矩形綜合題(1)當(dāng)點(diǎn)E在BC上時，作FM⊥AC，垂足為M，求證：AM＝AB；(圖2)證明：如答圖6所示，過點(diǎn)F作FM⊥AC，由題意可知∠AMF＝∠B＝90°，∠BAC＝∠EAF，∴∠BAE＝∠MAF.由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知AE＝AF.在△ABE和△AMF中，∴△ABE≌△AMF，∴AM＝AB.(答圖6)如圖2，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，點(diǎn)E在折線BCD上運(yùn)動，將AE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)得到AF，旋轉(zhuǎn)角等于∠BAC，連接CF.(2)當(dāng)AE＝3時，求CF的長；(圖2)解：如答圖6所示，當(dāng)點(diǎn)E在BC上時，在Rt△ABE中，AB＝4，AE＝3，則BE＝

在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，則AC＝

由(1)可得MF＝BE＝

，在Rt△CMF中，MF＝

，CM＝AC－AM＝5－4＝1，(答圖6)則CF＝

當(dāng)點(diǎn)E在CD上時，如答圖7所示，過點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，過點(diǎn)F作FH⊥AC于點(diǎn)H，由(1)易得△AGE≌△AHF，∴易得FH＝EG＝BC＝3，AH＝AG＝3，HC＝2，由勾股定理得CF＝

故CF的長為

(答圖7)如圖2，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，點(diǎn)E在折線BCD上運(yùn)動，將AE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)得到AF，旋轉(zhuǎn)角等于∠BAC，連接CF.(3)連接DF，點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)D的過程中，試探究DF的最小值．(圖2)(答圖6)解：如答圖6所示，當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上時，過點(diǎn)D作DH⊥MF，交MF的延長線于點(diǎn)H，設(shè)MF交CD于點(diǎn)J.由(1)知∠AMF＝90°，故點(diǎn)F在射線MF上運(yùn)動，且點(diǎn)F與點(diǎn)H重合時，DH的值最?。凇鰿MJ與△CDA中，∴△CMJ∽△CDA，如答圖8所示，當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時，將線段AD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)∠BAC的度數(shù)，得到線段AR，連接FR，過點(diǎn)D作DQ⊥AR，DK⊥FR，由題意可知∠DAE＝∠RAF，在△ADE與△ARF中，∴△ADE≌△ARF，∴∠ARF＝∠ADE＝90°，(答圖8)故點(diǎn)F在RF上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)K重合時，DF的值最?。捎贒Q⊥AR，DK⊥FR，∠ARF＝90°，故四邊形DQRK是矩形，∴DK＝QR，∴AQ＝AD·cos∠QAD＝AD·cos∠BAC＝3×

，∵AR＝AD＝3，∴DK＝QR＝AR－AQ＝3－

，故此時DF的最小值為.

類型3菱形綜合題例3如圖3，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，點(diǎn)E為邊AB上一個動點(diǎn)，延長BA到點(diǎn)F，使AF＝AE，且CF，DE相交于點(diǎn)G.(1)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到AB的中點(diǎn)時，證明：四邊形DFEC是平行四邊形；(圖3)證明：連接DF，CE，如答圖9所示．∵E為AB的中點(diǎn)，∴AE＝AF＝

AB，∴EF＝AB.∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴EF＝CD，∴四邊形DFEC是平行四邊形．(答圖9)如圖3，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，點(diǎn)E為邊AB上一個動點(diǎn)，延長BA到點(diǎn)F，使AF＝AE，且CF，DE相交于點(diǎn)G.(2)當(dāng)CG＝2時，求AE的長；(圖3)解：作CP⊥FB，交FB的延長線于點(diǎn)P，設(shè)AE＝FA＝m，如答圖10所示．∵四邊形ABCD是菱形，∴CD∥EF，∴△CDG∽△FEG，∴

∵CD＝CG＝2，∴FG＝EF＝2m，在Rt△CBP中，易得∠CBP＝60°，BC＝2，∴sin60°＝

，cos60°＝

，∴CP＝

，BP＝1.(答圖10)在Rt△CFP中，CF＝2＋2m，CP＝

，F(xiàn)P＝3＋m，CF2＝CP2＋FP2，即(2＋2m)2＝()2＋(3＋m)2，解得m1＝

，m2＝－2(舍去)，∴AE＝

.如圖3，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，點(diǎn)E為邊AB上一個動點(diǎn)，延長BA到點(diǎn)F，使AF＝AE，且CF，DE相交于點(diǎn)G.(3)當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A開始向右運(yùn)動到點(diǎn)B時，求點(diǎn)G運(yùn)動路徑的長度．(圖3)解：如答圖11所示，連接AG并延長，交CD于H，作HM⊥AB于M，DN⊥AB于N，∵四邊形ABCD是菱形，∴BF∥CD，∴△DHG∽△EAG，△HGC∽△AGF，

∵AE＝AF，∴DH＝CH＝1.在Rt△ADN中，AD＝2，∠DAB＝60°，(答圖11)∴sin60°＝

，cos60°＝

，∴DN＝

，AN＝1.在Rt△AHM中，易得HM＝DN＝

，AM＝AN＋NM＝AN＋DH＝2，∴M與B重合，如答圖12.由題意得G點(diǎn)軌跡為線段AG.作GQ⊥AB，連接DB.∵四邊形ABCD為菱形，∠DAB＝60°，AB＝2，∴CD∥BF，BD＝2，∴△CDG∽△FBG，(答圖12)思路導(dǎo)航問題分析點(diǎn)G運(yùn)動路徑的長度確定路徑的形狀：一般分別找點(diǎn)F運(yùn)動中的三點(diǎn)(一般為起點(diǎn)、終點(diǎn)及過程中一點(diǎn))，畫出此時點(diǎn)G的位置并連接，易得點(diǎn)G的運(yùn)動路徑為線段AG，即求當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到點(diǎn)B時G與A的距離已知條件分析四邊形ABCD為菱形可得CD∥BF，延長AG交CD于點(diǎn)H，可得

AF＝AEDH＝CH已知條件分析∠DAB＝60°，AB＝21.易得△DAB為等邊三角形，利用CD∥BF得△CDG∽△FBG，進(jìn)而可求得BG；2.作GQ⊥AB，可通過含60°的Rt△GBQ求得GQ＝________，BQ＝________，進(jìn)而在Rt△AGQ中求得AG＝________考點(diǎn)4統(tǒng)計(jì)表與頻數(shù)分布直方圖結(jié)合在邊長為1的正方形ABCD中，動點(diǎn)E在射線BC上，動點(diǎn)F在CB延長線上，直線FA，ED相交于點(diǎn)G.例4(1)如圖4①，當(dāng)∠EGF＝90°時，求BF·CE的值；(圖4)解：∵在Rt△ABF和Rt△EFG中，∠BAF＋∠F＝90°，∠F＋∠E＝90°，∴∠BAF＝∠E.又∵∠ABF＝∠ECD＝90°，∴△ABF∽△ECD，∴

∵AB＝CD＝1，∴BF·CE＝1.在邊長為1的正方形ABCD中，動點(diǎn)E在射線BC上，動點(diǎn)F在CB延長線上，直線FA，ED相交于點(diǎn)G.(2)若BE＝2BF，連接BG交AD于點(diǎn)H.①如圖4②，當(dāng)BF>時，tan∠ABG是不是定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由；(圖4)解：tan∠ABG是定值．∵AD∥EF，∴△GAH∽△GFB，△GHD∽△GBE，在邊長為1的正方形ABCD中，動點(diǎn)E在射線BC上，動點(diǎn)F在CB延長線上，直線FA，ED相交于點(diǎn)G.(2)若BE＝2BF，連接BG交AD于點(diǎn)H.②設(shè)BF＝x，BG＝y(tǒng)，求y與x之間的函數(shù)解析式．(圖4)解：當(dāng)BF>時，如答圖13①，過點(diǎn)G作GM⊥EF于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)N，則GN⊥AD.由①可知，△GAH∽△GFB，(答圖13)(答圖13)過點(diǎn)G作GM⊥EF，交EF的延長線于點(diǎn)M，交DA的延長線于點(diǎn)N，則GN⊥AD.四邊形是我們在學(xué)習(xí)和生活中常見的圖形，而對角線互相垂直的四邊形也比較常見，比如箏形、菱形、圖5①中的四邊形ABCD等．它們給我們的學(xué)習(xí)和生活帶來了很多的樂趣和美感．例5考點(diǎn)5箏形綜合題(1)如圖5②，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，判斷AC與BD的位置關(guān)系，并說明理由；(圖5)解：AC⊥BD.理由如下：∵AB＝AD，∴點(diǎn)A在線段BD的垂直平分線上．∵CB＝CD，∴點(diǎn)C在線段BD的垂直平分線上，∴直線AC是線段BD的垂直平分線，∴AC⊥BD.四邊形是我們在學(xué)習(xí)和生活中常見的圖形，而對角線互相垂直的四邊形也比較常見，比如箏形、菱形、圖5①中的四邊形ABCD等．它們給我們的學(xué)習(xí)和生活帶來了很多的樂趣和美感．(2)試探究圖5①中四邊形ABCD的兩組對邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(圖5)解：AD2＋BC2＝AB2＋CD2.證明：設(shè)BD，AC交于點(diǎn)E，∵AC⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°.由勾股定理得AD2＋BC2＝AE2＋DE2＋BE2＋CE2，AB2＋CD2＝AE2＋BE2＋CE2＋DE2，∴AD2＋BC2＝AB2＋CD2.四邊形是我們在學(xué)習(xí)和生活中常見的圖形，而對角線互相垂直的四邊形也比較常見，比如箏形、菱形、圖5①中的四邊形