/四川省遂寧市2023?2024學(xué)年高二下冊4月期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．2．函數(shù)在點(diǎn)處切線的斜率為（）A． B． C． D．3．某影城有一些電影新上映，其中有3部科幻片、4部警匪片、3部戰(zhàn)爭片及2部喜劇片，小明從中任選1部電影觀看，不同的選法共有（

）A．9種 B．12種 C．24種 D．72種4．等于（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

）

有4個(gè)極值點(diǎn)，其中有2個(gè)極大值點(diǎn) 有4個(gè)極值點(diǎn)，其中有2個(gè)極小值點(diǎn)有3個(gè)極值點(diǎn)，其中有2個(gè)極大值點(diǎn)D．有3個(gè)極值點(diǎn)，其中有2個(gè)極小值點(diǎn)6．在的展開式中，的系數(shù)為（

）A． B．10 C． D．807．已知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若對任意的，當(dāng)時(shí)，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．（多選題）已知函數(shù)滿足，，則下列關(guān)于的圖象描述正確的是（

）A．的圖象在處的切線斜率大于B．的圖象在處的切線斜率小于C．的圖象在處位于軸上方D．的圖象在處位于軸下方10．2023年海峽兩岸花博會(huì)的花卉展區(qū)設(shè)置在福建漳州，某花卉種植園有2種蘭花，2種三角梅共4種精品花卉，其中“綠水晶”是培育的蘭花新品種，4種精品花卉將去，展館參展，每種只能去一個(gè)展館，每個(gè)展館至少有1種花卉參展，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．若展館需要3種花卉，有4種安排方法B．共有14種安排方法C．若“綠水晶”去展館，有8種安排方法D．若2種三角梅不能去往同一個(gè)展館，有4種安排方法11．已知函數(shù)，則（

）A．曲線在點(diǎn)處的切線方程是B．函數(shù)有極大值，且極大值點(diǎn)x0C．D．函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn)三、填空題（本大題共3小題）12．計(jì)算=．13．已知函數(shù)在上存在極值點(diǎn)，則正整數(shù)的值是14．已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式在上有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．7名同學(xué)排隊(duì)照相.(1)若排成一排照，甲、乙、丙三人必須相鄰，有多少種不同的排法？(2)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相鄰，有多少種不同的排法？16．已知函數(shù)，a，．若在處與直線相切．(1)求a，b的值；(2)求在（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）上的最大值和最小值．17．已知函數(shù)．(1)若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸，求實(shí)數(shù)的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．18．已知函數(shù)（為常數(shù)）1）討論函數(shù)的單調(diào)性；2）不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，求證：；(2)求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

答案1．【正確答案】C【分析】利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即可得解.【詳解】對于A，，故A錯(cuò)誤；對于B，，故B錯(cuò)誤；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯(cuò)誤.故選C.2．【正確答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得.【詳解】由于，所以.故選D.3．【正確答案】B【分析】根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理即可得解.【詳解】任選1部電影可分四類：第一類選的是科幻片，第二類選的是警匪片，第三類選的是戰(zhàn)爭片，第四類選的是喜劇片，由分類加法計(jì)數(shù)原理可得不同的選法共有（種）．故選B．4．【正確答案】D【分析】根據(jù)排列和組合的公式計(jì)算后，即可得答案.【詳解】對于A，，不符題意；對于B，，不符題意；對于C，，不符題意；對于D，，滿足題意.故選D.5．【正確答案】C【分析】由圖象結(jié)合極值點(diǎn)以及極大值點(diǎn)的定義可得結(jié)果.【詳解】函數(shù)的極值點(diǎn)由兩側(cè)異號的零點(diǎn)個(gè)數(shù)決定，由圖象可知，的零點(diǎn)有4個(gè)，其中三個(gè)異號零點(diǎn)，所以極值點(diǎn)有3個(gè)；兩側(cè)異號的零點(diǎn)中有2個(gè)先正后負(fù)的零點(diǎn)、1個(gè)先負(fù)后正的零點(diǎn)，所以極大值點(diǎn)有2個(gè)、極小值點(diǎn)有1個(gè).故選C.6．【正確答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用二項(xiàng)式定理求出的系數(shù).【詳解】在的展開式中，項(xiàng)為，所以的系數(shù)為.故選：A7．【正確答案】B【分析】由題意可得在上恒成立，即在上恒成立．利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出在上的最大值即可得答案.【詳解】的定義域?yàn)?，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，在上恒成立，即在上恒成立．令，，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選B.8．【正確答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，分離參數(shù)求最值即可.【詳解】不等式等價(jià)于，令，根據(jù)題意對任意的，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，即在上恒成立.令，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.所以，所以.故選C.【方法總結(jié)】對于恒成立問題，常用到以下兩個(gè)結(jié)論：（1）恒成立；（2）恒成立.9．【正確答案】BC【分析】結(jié)合，，利用導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識即可判斷.【詳解】因?yàn)椋瑒t的圖象在處的切線斜率小于；因?yàn)?，所以的圖象在處位于軸上方．故選BC.10．【正確答案】AB【分析】根據(jù)排列、組合的知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，若展館需要3種花卉，則有種安排方法，正確.B選項(xiàng)，4種花卉按去，展館參展有種方法；按去，展館參展有種方法；因此不同的安排方法種數(shù)是，正確.C選項(xiàng)，若“綠水晶”去展館，若展館有種花卉，則安排方法數(shù)有種方法，若展館有種花卉，則安排方法數(shù)有種方法，若展館有種花卉，則安排方法數(shù)有種方法，所以共有種方法，錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，由選項(xiàng)B知，4種精品花卉將去，展館參展共有14種安排方法，若2種三角梅去往同一個(gè)展館，有種安排方法，則2種三角梅不能去往同一個(gè)展館，有種安排方法，錯(cuò)誤.故選AB.11．【正確答案】BD【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得曲線在點(diǎn)處的切線方程,判斷A；根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性以及極值的關(guān)系，可判斷B；利用函數(shù)的單調(diào)性可判斷C；利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可判斷D.【詳解】對A，由，得，則，故曲線在點(diǎn)處的切線方程是，即，故A錯(cuò)誤；對B，令，則，所以在上單調(diào)遞減，又，所以存在x0∈1,2，使得，即即時(shí),,時(shí),,則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有極大值，且極大值點(diǎn)，故B正確；對C，由以上分析知在上單調(diào)遞減，故，故C錯(cuò)誤；對D，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又在內(nèi)有唯一一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，,則，則在上無零點(diǎn)，即只有一個(gè)零點(diǎn)，故D正確．故選BD．12．【正確答案】360【分析】根據(jù)排列數(shù)公式和組合數(shù)公式計(jì)算即可.【詳解】.故360.13．【正確答案】5【分析】利用導(dǎo)數(shù)可得導(dǎo)函數(shù)為0時(shí)或，再根據(jù)極值點(diǎn)存在條件得到的值.【詳解】，時(shí)，或，因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，在左端點(diǎn)處無法取到極值，，而，所以，，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，故5.14．【正確答案】【分析】先將問題轉(zhuǎn)化為，再利用導(dǎo)數(shù)求得，從而得解.【詳解】由題意可知，存在，使得，則．因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為.15．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）利用捆綁法即可得解；（2）利用插空法即可得解.【詳解】（1）依題意，將甲、乙、丙看作一個(gè)整體，其內(nèi)部有種排法，再將這個(gè)整體與其他4人全排列，有種排法，所以一共有種不同的排法.（2）依題意，先對4名男生進(jìn)行全排列，有種排法，再將3名女生插到4名男生所形成的5個(gè)空中，有種排法，所以一共有種不同的排法.16．【正確答案】(1)，(2)，【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，即可求出、的值；（2）由（1）可得的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極小值，再求出區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，即可得解；【詳解】（1）函數(shù)，，函數(shù)在處與直線相切，，解得；（2）由（1）可得，∴當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取得極大值即最大值，∴，又，∴17．【正確答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸，只需保證，求實(shí)數(shù)的值即可；（2）求得有兩個(gè)根“和”，再分、和三種情況分析函數(shù)的單調(diào)性即可.【詳解】（1）由題可得，因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線平行于軸，所以，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．（2）因?yàn)椋?，得或．?dāng)時(shí)，隨的變化，，的變化情況如下表所示：單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，隨的變化，，的變化情況如下表所示：單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．18．【正確答案】（1）時(shí)，遞增，時(shí)，在遞減，遞增；（2）.【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分類討論確定的正負(fù)得單調(diào)性；（2）分離參數(shù)法變形不等式，轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的最值，得出結(jié)論．【詳解】（1）函數(shù)定義域是，，時(shí)，恒成立，在上是增函數(shù)；時(shí)，時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增．（2）即在上恒成立，則，設(shè)，則，時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減，，所