陜西省西中教育聯(lián)合體2023?2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共7小題）1．已知，則（

）A． B． C． D．2．已知向量，，若，則（

）A．－2 B．－18 C．2 D．183．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，，，，則（

）A． B． C． D．4．已知兩條直線，與兩個平面，，下列命題正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則5．已知平面向量，的夾角為，且，，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．6．三個人獨(dú)立地破譯一份密碼，他們能單獨(dú)譯出密碼的概率分別為，，，假設(shè)他們能否破譯出密碼是相互獨(dú)立的，則此密碼被破譯的概率為（

）A． B． C． D．7．科技是一個國家強(qiáng)盛之根，創(chuàng)新是一個民族進(jìn)步之魂，科技創(chuàng)新鑄就國之重器，極目一號（如圖1）是中國科學(xué)院空天信息研究院自主研發(fā)的系留浮空器，2022年5月，“極目一號”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大氣科學(xué)觀測，最高升空至9050米，超過珠穆朗瑪峰，創(chuàng)造了浮空艇大氣科學(xué)觀測海拔最高的世界紀(jì)錄，彰顯了中國的實(shí)力“極目一號”Ⅲ型浮空艇長53米，高18米，若將它近似看作一個半球，一個圓柱和一個圓臺的組合體，軸截面圖如圖2所示，則“極目一號”Ⅲ型浮空艇的體積約為（

）

A． B．C． D．二、多選題（本大題共4小題）8．下列說法錯誤的是（

）A．以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐B．用一個平面去截棱錐，底面和截面之間部分所圍成的幾何體是棱臺C．邊長為2的水平放置的正方形的斜二測畫法直觀圖面積是D．用一個平面去截取正方體，得到的截面可能是正六邊形9．東北師大附中培養(yǎng)的學(xué)生德才兼?zhèn)?、全面發(fā)展、在校團(tuán)委領(lǐng)導(dǎo)下的各個社團(tuán)，積極開展各項(xiàng)活動，其中甲、乙兩個社團(tuán)為了鈉新，利用7天的時間進(jìn)行宣傳，將每天宣傳次數(shù)繪制成如下頻數(shù)分布折線圖（其中前三天宣傳次數(shù)相同），則下列說法正確的是（

）

A．甲社團(tuán)眾數(shù)小于乙社團(tuán)眾數(shù) B．甲社團(tuán)的平均數(shù)小于乙社團(tuán)的平均數(shù)C．甲社團(tuán)的極差大于乙社團(tuán)的極差 D．甲社團(tuán)的方差大于乙社團(tuán)的方差10．在中，角A，，所對的邊分別為，，，下列命題正確的是（

）．A．若，，，則有兩解B．若，，則的面積最大值為C．若，，，則外接圓半徑為D．若，則11．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意獨(dú)特的幾何體，“等腰四面體”就是其中之一，它是三組對棱分別相等的四面體．已知等腰四面體ABCD中，三組對棱長分別是，，，則對該等腰四面體的敘述正確的是（

）A．該四面體ABCD的體積是．B．該四面體ABCD的外接球表面積是32πC．D．一動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿四面體ABCD的表面經(jīng)過棱AD到點(diǎn)C的最短距離是三、填空題（本大題共4小題）12．以下數(shù)據(jù)為某校參加數(shù)學(xué)競賽的19人的成績：66，69，70，72，75，77，78，79，80，81，82，83，84，86，88，90，91，94，98，則這19人成績的第80百分位數(shù)是.13．一船向正北方向勻速行駛，看見正西方向兩座相距20海里的燈塔恰好與該船同一直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見其中一座燈塔在南偏西45°方向上，另一燈塔在南偏西75°方向上，則該船的速度是海里/小時.14．一袋中裝有外觀完全相同的六個小球，編號分別為，從中不放回地抽取2個球，則抽出的2個球的編號和不大于5的概率為．15．佩香囊是端午節(jié)傳統(tǒng)習(xí)俗之一．香囊內(nèi)通常填充一些中草藥，有清香、驅(qū)蟲、開竅的．因地方習(xí)俗的差異，香囊常用絲布做成各種不同的形狀，形形色色，玲瓏奪目．圖1的平行四邊形ABCD由六個邊長為1的正三角形構(gòu)成．將它沿虛線折起來，可得圖2所示的六面體形狀的香囊．那么在圖2這個六面體中內(nèi)切球半徑為．四、解答題（本大題共5小題）16．在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，.(1)求角A；(2)若，的面積為，求的周長.17．人工智能發(fā)展迅猛，在各個行業(yè)都有應(yīng)用．某地圖軟件接入了大語言模型后，可以為用戶提供更個性化的服務(wù)，某用戶提出：“請統(tǒng)計我早上開車從家到公司的紅燈等待時間，并形成統(tǒng)計表．”地圖軟件就將他最近100次從家到公司的導(dǎo)航過程中的紅燈等待時間詳細(xì)統(tǒng)計出來，將數(shù)據(jù)分成了，，，，（單位：秒）這5組，并整理得到頻率分布直方圖，如圖所示．(1)求圖中a的值；(2)估計該用戶紅燈等待時間的中位數(shù)（結(jié)果精確到0.1）；(3)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計該用戶在接下來的10次早上從家到公司的出行中，紅燈等待時間低于85秒的次數(shù)．18．如圖，在四棱錐P?中，底面ABCD為正方形，側(cè)面ADP是正三角形，側(cè)面ADP⊥底面ABCD，M是DP的中點(diǎn).

(1)求證：AM⊥平面CDP；(2)求直線BP與底面ABCD所成角的正弦值.19．甲?乙兩人組成“星隊”參加趣味知識競賽.比賽分兩輪進(jìn)行，每輪比賽答一道趣味題.在第一輪比賽中，答對題者得2分，答錯題者得0分；在第二輪比賽中，答對題者得3分，答錯題者得0分.已知甲?乙兩人在第一輪比賽中答對題的概率都為p，在第二輪比賽中答對題的概率都為q.且在兩輪比賽中答對與否互不影響.設(shè)定甲?乙兩人先進(jìn)行第一輪比賽，然后進(jìn)行第二輪比賽，甲?乙兩人的得分之和為“星隊”總得分.已知在一次比賽中甲得2分的概率為，乙得5分的概率為.(1)求p，q的值；(2)求“星隊”在一次比賽中的總得分為5分的概率.20．如圖，是半球的直徑，為球心，依次是半圓上的兩個三等分點(diǎn)，是半球面上一點(diǎn)，且，(1)證明：平面平面；(2)若點(diǎn)在底面圓內(nèi)的射影恰在上，求二面角的余弦值．

參考答案1．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算計算即可.【詳解】由，得.故選D.2．【答案】A【分析】根據(jù)向量共線坐標(biāo)表示求解即可；【詳解】因?yàn)?，所以故選A.3．【答案】D【分析】利用正弦定理求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所?故選D.4．【答案】D【分析】A.利用線面的位置關(guān)系判斷；B.利用線面的位置關(guān)系判斷；C.利用直線與直線的位置關(guān)系判斷；D.由，過l作平面，有，利用線面平行的性質(zhì)定理得到得到，再利用面面垂直的判定定理判斷.【詳解】A.若，，則或相交，故錯誤；B.若，，則或，故錯誤；C.若，，則，l，m相交或異面，故錯誤；D.若，過l作平面，有，則，因?yàn)椋?，又，則，故正確.故選D.5．【答案】D【分析】首先求出，根據(jù)數(shù)量積的定義求出，最后根據(jù)投影向量的定義計算可得.【詳解】因?yàn)椋?，又向量，的夾角為，且，所以，所以在方向上的投影向量為.故選D.6．【答案】B【分析】利用獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率和對立事件的概率去求此密碼被破譯的概率【詳解】三個人獨(dú)立地破譯一份密碼，他們能單獨(dú)譯出密碼的概率分別為，，，他們能否破譯出密碼是相互獨(dú)立的，則三個人均未破譯密碼的概率為則此密碼被破譯的概率為故選B.7．【答案】A【分析】根據(jù)球、圓柱、圓臺的體積公式可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，該組合體的直觀圖如圖所示：

半球的半徑為9米，圓柱的底面半徑為9米，母線長為14米，圓臺的兩底面半徑分別為9米和1米，高為30米.則，，，所以.故選A.8．【答案】AB【分析】當(dāng)旋轉(zhuǎn)軸為斜邊時即可判斷A，根據(jù)棱臺的定義判斷B，根據(jù)直觀圖與平面圖面積的關(guān)系判斷C，作出截面在判斷形狀，即可判斷D.【詳解】對于A：以直角三角形的一條直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐，以斜邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是兩個同底的圓錐所拼接而成的幾何體，故A錯誤；對于B：用一個平行底面的平面去截棱錐，底面和截面之間部分所圍成的幾何體是棱臺，故B錯誤；對于C：邊長為2的水平放置的正方形的斜二測畫法直觀圖面積是，故C正確；對于D：一個平面與正方體的個面相交，截面為六邊形，此六邊形可能是正六邊形，

如圖，、、、、、為正方體所在棱的中點(diǎn)，順次連接得正六邊形，設(shè)正方體棱長為，有，，在中，，則，同理，即六邊形為正六邊形，故D正確.故選AB.9．【答案】ACD【分析】根據(jù)眾數(shù)，平均數(shù)，極差，方差的公式計算即可.【詳解】甲7天的次數(shù)依次為，乙7天的次數(shù)依次為，對于A，甲的眾數(shù)為，乙的眾數(shù)為，則甲社團(tuán)眾數(shù)小于乙社團(tuán)眾數(shù)，故A正確；對于B，甲社團(tuán)的平均數(shù)為，乙社團(tuán)的平均數(shù)為，則甲社團(tuán)的平均數(shù)等于乙社團(tuán)的平均數(shù)，故B錯誤；對于C，甲社團(tuán)的極差為，乙社團(tuán)的極差，則甲社團(tuán)的極差大于乙社團(tuán)的極差，故C正確；對于D，甲社團(tuán)的方差為，乙社團(tuán)的方差為，則甲社團(tuán)的方差大于乙社團(tuán)的方差，故D正確.故選ACD.10．【答案】ACD【分析】由余弦定理，結(jié)合條件，可求得c值，分別檢驗(yàn)，即可判斷A的正誤；由余弦定理，可得表達(dá)式，根據(jù)基本不等式，可得最大值，代入面積公式，即可判斷B的正誤；根據(jù)余弦定理，可得，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，可得，根據(jù)正弦定理，即可判斷C的正誤；根據(jù)余弦定理及基本不等式，可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】對于A：由余弦定理得，解得，當(dāng)時，，且，滿足題意，當(dāng)時，，且，滿足題意，所以有兩解，故A正確；對于B：由余弦定理得，所以，根據(jù)基本不等式可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，所以則的面積最大值，故B錯誤；對于C：由余弦定理得，因?yàn)?，所以，由正弦定理得，R為外接圓半徑，所以，故C正確；對于D：因?yàn)?，所以，由余弦定理可得，?dāng)且僅當(dāng)時等號成立，因?yàn)椋?，故D正確.故選ACD.【思路導(dǎo)引】解題的關(guān)鍵是熟練掌握余弦定理、正弦定理、面積公式、基本不等式等知識，考查分析理解，計算化簡的能力.11．【答案】ABD【分析】將等腰四面體放入長方體中，即可由長方體的性質(zhì)求解AB,利用三角形全等即可判斷C，由展開圖，利用兩點(diǎn)距離最小即可判斷D.【詳解】如圖，將等腰四面體補(bǔ)成長方體，設(shè)該長方體的長、寬、高分別是，，，則解得，，，則該等腰四面體的體積為：．故A正確，由于，，，所以,,故所以,故C錯誤，由于等腰四面體的三條棱分別是長方體的三條面對角線，所以長方體的外接球即為等腰四面體的外接球，而長方體的體對角線長度為，故外接球的半徑為，故表面積為，故B正確，將平面和平面沿著翻折到一個平面內(nèi)，連接,則即為最短距離，由于，，，則四邊形為平行四邊形，設(shè)與交于點(diǎn),則為與的中點(diǎn)，在中，,故在中，故D正確，故選ABD．

【思路導(dǎo)引】本題考查四面體體積、表面積的求解，距離最值的求解以及化歸轉(zhuǎn)化思想.12．【答案】90【分析】根據(jù)百分位數(shù)的計算即可求解.【詳解】，故這19人成績的第80百分位數(shù)為第16個數(shù)90，故答案為：90.13．【答案】【分析】依題意畫出圖形，設(shè)，得到，然后在中利用銳角三角函數(shù)求出，即可求出速度.【詳解】如圖所示：設(shè)船的初始位置為，半小時后行駛到，兩個燈塔分別位于和，所以，，則，，所以，設(shè)（海里），則（海里），在中，，則，解得，所以船速為（海里/小時）.故答案為：.14．【答案】【分析】寫出所有的基本事件和滿足題意的事件，利用古典概型公式求解.【詳解】由題意，所有的基本事件為：，，共15個，其中“從中不放回地抽取2個球，2個球的編號和不大于5”有，共4個基本事件，則抽出的2個球的編號和不大5的概率為．故答案為：.15．【答案】【分析】首先利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，把平面圖形轉(zhuǎn)換為直觀圖．由兩個同底且棱長都為1的正三棱錐構(gòu)成的幾何體求解.【詳解】如圖所示：易知該幾何體是側(cè)棱長為1，以邊長為1的等邊三角形為底的兩個正三棱錐組成，O為的中心，即內(nèi)切球的球心，M為FB的中點(diǎn)，連接HM，作，則ON為內(nèi)切球的半徑，因?yàn)?，，，所以，所以?nèi)切球的半徑為.故答案為：.16．【答案】(1)；(2)24【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦求解作答.（2）利用三角形面積公式和余弦定理求出三角形周長作答.【詳解】（1）在中，由及正弦定理得：，則，即，整理得：，而，，因此，又，所以.（2）由（1）知，，因?yàn)榈拿娣e為，則，解得，由余弦定理得，即，解得，所以的周長是24.【思路導(dǎo)引】對于解三角形問題，要擅長利用正弦定理邊化角、角化邊的方法，主要考查邏輯推理和運(yùn)算能力.17．【答案】(1)(2)79.3(3)7次【分析】（1）根據(jù)頻率之和為1以及直方圖數(shù)據(jù)即可求解.（2）先確認(rèn)頻率分布直方圖中頻率為0.5的位置，再結(jié)合中位數(shù)定義求解即可.（3）根據(jù)頻率分布直方圖求出紅燈等待時間低于85秒的頻率即可求解.【詳解】（1）因?yàn)楦鹘M頻率之和為1，組距為10，所以，解得.（2）因?yàn)?，所以中位?shù)位于第三組中，設(shè)中位數(shù)為x，則，解得，所以該用戶紅燈等待時間的中位數(shù)的估計值為79.3.（3）由題紅燈等待時間低于85秒的頻率為，故估計該用戶在接下來的10次中紅燈等待時間低于85秒的次數(shù)為次.18．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證得，由，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)，證得平面，進(jìn)而得到，利用線面垂直的判定定理，即可證得平面；（2）取的中點(diǎn)，連，，證得平面，得到是所求直線與平面所成角，在直角中，即可求解.【詳解】（1）證明：因?yàn)閭?cè)面為正三角形，且為中點(diǎn)，所以，又因?yàn)榈酌鏋檎叫?，所?因?yàn)槠矫嫫矫媲移矫嫫矫?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，且平面，所以平?（2）取的中點(diǎn)，連，，因?yàn)闉檎切?，且為中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，且平面，所以平面，所以是所求直線與平面所成角，不妨設(shè)，則在等邊中，可得，在直角中，；在直角中，，故，所以直線與底面所成角的正弦值為.

【思路導(dǎo)引】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用