高中橢圓類題目及答案橢圓是高中數學中的重要概念之一，它涉及到的題目類型多樣，包括計算橢圓的參數、求解橢圓的方程、橢圓與直線的位置關系等。以下是一些高中橢圓類的題目及答案。題目1：橢圓方程的求解題目描述：已知橢圓的焦點在x軸上，且橢圓上一點P(3,1)到兩個焦點的距離之和為10，求橢圓的標準方程。解答過程：設橢圓的標準方程為\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中\(zhòng)(a>b>0\)。由于點P(3,1)在橢圓上，所以滿足橢圓方程：\[\frac{3^2}{a^2}+\frac{1^2}{b^2}=1\]即：\[\frac{9}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1\quad\text{(1)}\]又因為點P到兩個焦點的距離之和為10，即\(2a=10\)，所以\(a=5\)。將\(a=5\)代入方程(1)中，得到：\[\frac{9}{25}+\frac{1}{b^2}=1\]解得\(b^2=16\)。因此，橢圓的標準方程為：\[\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\]答案：\[\boxed{\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1}\]題目2：橢圓與直線的位置關系題目描述：已知橢圓\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)，直線\(y=x+m\)與橢圓相交于兩點A和B。若AB的中點為(1,2)，求實數m的值。解答過程：將直線方程\(y=x+m\)代入橢圓方程\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)中，得到：\[\frac{x^2}{4}+\frac{(x+m)^2}{3}=1\]化簡得：\[3x^2+4(x+m)^2=12\]\[3x^2+4x^2+8mx+4m^2=12\]\[7x^2+8mx+4m^2-12=0\]設A點坐標為\((x_1,y_1)\)，B點坐標為\((x_2,y_2)\)，則AB的中點坐標為\(\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)\)。由中點坐標公式和韋達定理，我們有：\[x_1+x_2=-\frac{8m}{7},\quady_1+y_2=x_1+x_2+2m=-\frac{8m}{7}+2m\]已知中點坐標為(1,2)，所以：\[\frac{x_1+x_2}{2}=1,\quad\frac{y_1+y_2}{2}=2\]解得：\[-\frac{8m}{7}=2,\quad-\frac{8m}{7}+2m=4\]解得\(m=-\frac{7}{4}\)。答案：\[\boxed{m=-\frac{7}{4}}\]題目3：橢圓的參數計算題目描述：橢圓的方程為\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中\(zhòng)(a=3\)，離心率為\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)，求橢圓的焦距。解答過程：已知橢圓的離心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)，其中\(zhòng)(c\)是焦距的一半，\(a\)是長半軸。由離心率公式，我們有：\[c=a\cdote=3\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}\]橢圓的焦距為\(2c\)，所以：\[2c=2\sqrt{3}\]答案：\[\boxed{2\sqrt{3}}\]題目4：橢圓的幾何性質題目描述：橢圓\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1\)與直線\(y=kx+1\)相切，求實數k的值。解答過程：將直線方程\(y=kx+1\)代入橢圓方程\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1\)中，得到：\[\frac{x^2}{9}+\frac{(kx+1)^2}{5}=1\]化簡得：\[5x^2+9(kx+1)^2=45\]\[5x^2+9k^2x^2+18kx+9=45\]\[(5+9k^2)x^2+18kx-36=0\]由于直線與橢圓相切，所以該二次方程有且僅有一個解，即判別式\(\Delta=0\)：\[\Delta=(18k)^2-4(5+9k^2)(-36)=0\]\[324k^2+144(5+9k^2)=0\]\[324k^2+720+1296k^2=0\]\[1620k^2=-720\]\[k^2=-\frac{720}{162