高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省青島市黃島區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題.每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】故選：D2.下列各組函數(shù)與表示同一函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】的定義域?yàn)镽，，解析式不同，故不是同一函數(shù)，故A錯(cuò)誤；B.的定義域?yàn)椋瑑珊瘮?shù)定義域不同，故B錯(cuò)誤；的定義域?yàn)镽，故C正確；的定義域?yàn)?，故D錯(cuò)誤.故選：C3.下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】B【解析】對(duì)于A,當(dāng)時(shí)，顯然不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，利用不等式的性質(zhì)易得，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，取，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，由不等式的性質(zhì)，可得，故D錯(cuò)誤.故選：B.4.在周長(zhǎng)為定值的扇形中，面積最大時(shí)扇形的半徑為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)扇形半徑為，則扇形面積為，所以時(shí)，取得最大值.故選：C5.命題，，則命題的否定形式是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】命題，，為全稱量詞命題，則該命題的否定為：，.故選：C．6.某中學(xué)的學(xué)生積極參加美育活動(dòng)，其中有的學(xué)生喜歡美術(shù)或音樂(lè)，的學(xué)生喜歡美術(shù)，的學(xué)生喜歡音樂(lè)，則該中學(xué)既喜歡美術(shù)又喜歡音樂(lè)的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意既喜歡美術(shù)又喜歡音樂(lè)的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為：，故選：A7.“函數(shù)在上單調(diào)遞減”是“”（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】先判定充分性，若在上單調(diào)遞減，由冪函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，則，滿足充分性；再判定必要性，可舉反例，若，則單調(diào)遞減，此時(shí)的定義域?yàn)?，此時(shí)在上單調(diào)遞減，不滿足必要性，綜上“函數(shù)在上單調(diào)遞減”是“”的充分不必要條件.故選：B8.用表示，中的最大者，用表示，中的最小者，若函數(shù)在上有最大值，則（）A.是奇函數(shù) B.在上最大值是2C.的值域是 D.的取值范圍是【答案】D【解析】hx定義域，在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)的圖象，取與的圖象中較高的曲線段，再與的圖象對(duì)比取較低的曲線段，得到函數(shù)hx的圖象，如圖所示，因?yàn)閳D象不關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，所以hx不是奇函數(shù)，故A因?yàn)閔x在上有最大值，所以，故D正確，且hx在上最大值是1，故B錯(cuò)誤；由圖象知hx的值域是，故C錯(cuò)誤；故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題.每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，選錯(cuò)的得0分.9.下列函數(shù)既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是，所以函數(shù)無(wú)奇偶性；函數(shù)的定義域是，又，所以函數(shù)為奇函數(shù)；函數(shù)的定義域?yàn)椋?，所以函?shù)為偶函數(shù)，又因?yàn)闀r(shí)，在上單調(diào)遞增；函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以函?shù)為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增.故選：BC.10.定義，則（）A.B.C.D.若，都是正數(shù)，，則【答案】BD【解析】選項(xiàng)A，，只有時(shí)，兩者才相等，A錯(cuò)；選項(xiàng)B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，B正確；選項(xiàng)C，，，C錯(cuò)；選項(xiàng)D，，則，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，D正確.故選：BD11.定義域?yàn)镽的函數(shù)，同時(shí)滿足：①當(dāng)時(shí)，；②，當(dāng)時(shí)，；③.則（）A.是奇函數(shù)B.在1,2上單調(diào)遞減C.函數(shù)y=fx的圖像關(guān)于點(diǎn)1,0D.【答案】ABD【解析】對(duì)于A，因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，且當(dāng)時(shí)有，即，所以是奇函數(shù)，故A正確；對(duì)于B、C，因?yàn)椋躁P(guān)于對(duì)稱，故C錯(cuò)誤，因?yàn)閷?duì)，當(dāng)即時(shí)，，即，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)可得，所以當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，結(jié)合關(guān)于對(duì)稱的條件可知，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，故B正確；對(duì)于D，結(jié)合①，令可得，所以，因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱，所以，結(jié)合③，因?yàn)?，令可得結(jié)合奇偶性可得，所以，所以，解得，所以，即，故D正確，故選：ABD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，則實(shí)數(shù)的取值集合為______.【答案】【解析】因?yàn)椋?，則，所以實(shí)數(shù)的取值集合為.故答案為：13.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，.則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式為______.【答案】【解析】時(shí)，，，所以.故答案為：.14.已知，，，，，，，是在集合中的不同數(shù)，則的最小值為______.【答案】【解析】不妨設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，若要值最小，則，下面分析的可能性：當(dāng)時(shí)，則四個(gè)數(shù)全為偶數(shù)，或全為奇數(shù)，或兩奇兩偶，若四個(gè)數(shù)全為偶數(shù)，則和的結(jié)果為，不滿足要求；若四個(gè)數(shù)全為奇數(shù)，則和的結(jié)果為，不滿足要求；若四個(gè)數(shù)兩奇兩偶，其中兩個(gè)奇數(shù)之和可能，兩個(gè)偶數(shù)之和可能為，此時(shí)兩奇兩偶的四個(gè)數(shù)之和不可能等于，所以不成立，所以當(dāng)時(shí)，此時(shí)取值最小，最小值為，故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知集合，.（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由可得：A=x2≤x≤3，所以或，又，所以或.（2）因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件，所以，所以解得：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是16.若關(guān)于的不等式的解集是.（1）求，；（2）求不等式的解集.解：（1）由題意可知，為方程的兩根，且，所以，解得：.（2）由（1）可得不等式為，所以，因?yàn)椋?，解得?所以不等式的解集為：.17.如圖，居民小區(qū)要建一座八邊形休閑場(chǎng)所，它的主體造型平面圖是由兩個(gè)相同的矩形和構(gòu)成的面積為的十字形地域.計(jì)劃在正方形上建一座花壇，造價(jià)為；在四個(gè)相同的矩形（圖中陰影部分）上鋪花崗巖地坪，造價(jià)為；再在四個(gè)空角（圖中四個(gè)三角形）上鋪草坪，造價(jià)為.設(shè)總造價(jià)為（單位：元），長(zhǎng)為（單位：m）（1）請(qǐng)用表示的長(zhǎng)；（2）請(qǐng)寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（3）若總造價(jià)不超過(guò)138000元，求的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）解：（1）設(shè)，因?yàn)閮蓚€(gè)相同的矩形和構(gòu)成的面積為，所以可得，解之可得，且，所以（2）由（1）知，所以矩形的面積為正方形為，所以.（3）由（2）知，若總造價(jià)不超過(guò)138000元，即化簡(jiǎn)可得，即，解之可得，所以的取值范圍.18.已知函數(shù)，.（1）若，試判斷的單調(diào)性并用定義法證明；（2）若，求函數(shù)的最大值的表達(dá)式.解：（1）在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明如下：若，因?yàn)?，所以，，且，?因?yàn)?，且，所以?于是，即.故在區(qū)間上單調(diào)遞增；（2）若，則，先判斷在上的單調(diào)性，由于，當(dāng)，且時(shí)，，，所以，即，故在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)，且時(shí)，，，所以，即，故在區(qū)間上單調(diào)遞減；綜上，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.eq\o\ac(○,1)當(dāng)時(shí)，由（1）知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以；②當(dāng)時(shí)，（i）若，則在上單調(diào)遞增，所以，所以函數(shù)的最大值；（ii）若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以函數(shù)的最大值；（iii）若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以函數(shù)的最大值；綜上.19.定義：表示實(shí)數(shù)到與它最近整數(shù)的距離.（1）求，，的值；（2）求證：；（3）給定正整數(shù)，函數(shù)，用表示，中的最小者.（?。┤魹槠鏀?shù)，求證：的最大值為；（ⅱ）若為偶數(shù)，求的最大值.（1）解：對(duì)于，到最近整數(shù)的距離為，所以.對(duì)于，到最近整數(shù)的距離為，所以.對(duì)于，到最近整數(shù)的距離為，所以.（2）證明：設(shè)，其中，.當(dāng)時(shí)，.如果，則；如果，則.對(duì)于，如果，到最近整數(shù)的距離為，即；如果，到最近整數(shù)的距離為，即.所以成立.（3）由（2）可知；則