/云南省玉溪市2024-2025學(xué)年高二下冊第一次月考（3月）數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則A B. C. D.【正確答案】C【分析】解不等式確定集合，然后由集合的運算法則計算．【詳解】由題設(shè)可得，所以或，則，故選：C．2.在邊長為的正三角形中，的值為A. B. C. D.【正確答案】D【分析】以、為鄰邊作菱形，則，計算出菱形的對角線的長度即可得出答案.【詳解】以、為鄰邊作菱形，則，由圖形可知，的長度等于等邊的邊上的高的倍，即，因此，，故選：D.本題考查差向量模的計算，解題的關(guān)鍵就是作出圖形，找出差向量，分析圖形的形狀，進(jìn)而求出線段長度，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.3.已知等差數(shù)列中，，則（）A.8 B.4 C.16 D.-4【正確答案】B【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解.【詳解】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)知，所以，所以，所以，故選：B4.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】判斷函數(shù)的奇偶性排除選項，然后利用特殊點的函數(shù)值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷．【詳解】解：因為，所以，所以為偶函數(shù)，即圖象關(guān)于軸對稱，則排除，當(dāng)時，，故排除C，，當(dāng)時，，所以，即在上單調(diào)遞增，故排除D；故選：．5.已知函數(shù)，則（）A.1 B. C.2 D.【正確答案】D【分析】其中為常數(shù)，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，代入求解，從而可以求解.【詳解】由于函數(shù)，則其導(dǎo)函數(shù)為：，代入，可得：，解得：，所以，所以.故選：D6.已知，且滿足，則（）A. B. C.2 D.1【正確答案】A【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式得到，然后結(jié)合角的范圍和正切函數(shù)的性質(zhì)得到，最后計算正切值即可.【詳解】因為，可得，又因為，則，所以，整理得，所以.故選：A.7.如圖，三棱柱中，分別是的中點，平面將三棱柱分成體積為（左為，右為）兩部分，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由分別是的中點，可得（是三角形的面積，是三角形的面積），由棱臺的體積公式可求得，再根據(jù)，求得，即可得答案.【詳解】解：設(shè)三角形的面積為，三角形與三角形的面積為，三棱柱的高為，則有，，設(shè)三棱柱的體積為，又因為①，②，所以③，由題意可知④，由①②③④可得，所以，所以.故選：A.8.設(shè)為曲線的左，右兩個焦點，P是曲線與的一個交點，則的值為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】求出的坐標(biāo)，由橢圓、雙曲線的定義求出，，再由余弦定理求出，即可求出.【詳解】由曲線：的方程得，由橢圓的定義得，又曲線：的焦點和曲線的焦點相同，不妨設(shè)在雙曲線右支上，雙曲線的定義得，，，在中，由余弦定理可得，.故選：D二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9.設(shè)首項為1的數(shù)列的前n項和為，已知，則下列結(jié)論正確的是（）A.數(shù)列為等比數(shù)列 B.數(shù)列不是等比數(shù)列C. D.數(shù)列是遞增數(shù)列【正確答案】ACD【分析】通過構(gòu)造法可得數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，選項A正確；根據(jù)選項A求出數(shù)列的通項公式，可得選項B錯誤；利用等比數(shù)列通項公式及前項和公式可得選項C正確；根據(jù)可得選項D正確.【詳解】由題意，可知，∵，∴，∴數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故選項A正確；由A得，，∴，當(dāng)時，，當(dāng)時，滿足上式，∴，∴數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，故選項B錯誤；∵，∴，故選項C正確；∵，∴，∴數(shù)列是遞增數(shù)列，故選項D正確.故選：ACD．10.一個不透明袋中裝有2個紅球?2個白球（每個球標(biāo)有不同的編號，除顏色和編號外均相同），從中不放回依次抽取2個球，記事件為“第一次取的球為紅球”，事件為“第二次取的球為白球”，則（）A.B.為對立事件C.為相互獨立事件D.抽取的2個球中至多1個白球的概率為【正確答案】AD【分析】記個紅球編號為,個白球編號為，寫出樣本空間及事件的樣本點，對于A，用古典概率公式計算事件概率即可；對于B，事件包含共同的樣本點，故不對立；對于C，根據(jù)獨立事件的概念判斷即可；對于D，記事件為“抽取的2個球中至多一個白球”，用古典概率公式計算即可.【詳解】記個紅球編號為,個白球編號為，所以樣本空間，事件包含的樣本點為，事件包含的樣本點為，對于A，因為，故A正確；對于B，因為事件包含共同的樣本點，故事件不對立，故B錯誤；對于C，因為，所以不獨立，故C錯誤；對于D，記事件為“抽取2個球中至多一個白球”，則事件包含的樣本點為，所以，故D正確.故選：AD.11.已知拋物線：，為坐標(biāo)原點，過點的直線交拋物線與，兩點，則（）A.拋物線的準(zhǔn)線為 B.C. D.的最小值為4【正確答案】BC【分析】對A，根據(jù)拋物線方程求準(zhǔn)線判斷；對B：將直線方程與拋物線聯(lián)立判斷；對C：用數(shù)量積坐標(biāo)表示求算；對D：用基本不等式求最小值.【詳解】對A：由知準(zhǔn)線為，故A錯誤；對B：設(shè)直線的方程為聯(lián)立，得，則，所以B正確；對C：，故C正確；對D：，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，故D錯誤.故選：BC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若過點作圓的切線，切點為，則________．【正確答案】2分析】根據(jù)兩點間距離公式得到，然后利用勾股定理求即可.【詳解】由題意得圓的圓心坐標(biāo)，半徑，，則，所以.故2.13.設(shè)，若函數(shù)有小于零的極值點，則實數(shù)的取值范圍是__________．【正確答案】【分析】由函數(shù)極值的概念可得：有小于零的根，即：有小于零的根，問題得解．【詳解】函數(shù)有小于零的極值點等價于：有小于零的根，即：有小于零的實數(shù)根，當(dāng)時，，所以，整理得：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系，還考查了轉(zhuǎn)化思想及計算能力，屬于中檔題．14.已知曲線上一點，則過點的曲線的切線方程為________.【正確答案】和【分析】設(shè)過點的切線與曲線相切于點，然后根據(jù)曲線在點處切線的斜率列出切線方程，根據(jù)切線過點，求出切點坐標(biāo)，從而可求出切線方程．【詳解】，設(shè)過點的切線與曲線相切于點，曲線在點處切線斜率，可得切線的方程為，代入點，可得，解得，或，故切點分別為和，過點的切線方程為或，所以過點的切線方程有兩條：和．故答案為和本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，同時考查了計算能力和轉(zhuǎn)化的思想，解曲線的切線問題要特別注意是“在”還是“過”點，屬于中檔題．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)，且當(dāng)時，有極值－5．（1）求的值；（2）求在上的值域．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）先求導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)極值點列方程求解即可；（2）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)得出單調(diào)性寫出極值和最值即可得出值域.【小問1詳解】由，得，又當(dāng)時，有極值－5，所以，解得所以，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增．所以當(dāng)時，有極小值．所以．【小問2詳解】由（1）知．令，得，的值隨的變化情況如下表：－4－134

+0－0+

單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值－5單調(diào)遞增由表可知在上的最大值為，最小值為，即在上的值域為．16.△ABC中，角A、B、C的對邊為a，b，c，已知，且.（1）求角A的大?。唬?）若，求△ABC的周長的值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用正弦定理將角化邊及余弦定理即可求解；（2）由數(shù)量積可求出，結(jié)合（1）可求出，進(jìn)而可知△ABC的周長.【小問1詳解】因為，所以，即，所以，因為，所以【小問2詳解】因為，所以，即，所以，由（1）知，所以又，所以，解得，所以△ABC的周長為，所以△ABC的周長為.17.如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，是的中點，且平面，.（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）先證明，再由平面證明，根據(jù)線面垂直判定定理證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面與平面的法向量，利用向量夾角公式求結(jié)論.【小問1詳解】在菱形中，連接，由已知底面是菱形，，為等邊三角形，因為是的中點，所以，因為平面，平面，所以.因為平面，平面，且，所以平面.【小問2詳解】因為平面，平面，則有，由（1）知，，故，，兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，因為是的中點，，，所以，因為底面是菱形，，所以，所以為等邊三角形，由（1）也為等邊三角形，則，，，設(shè)平面的一個法向量為，則令，則，，所以為平面的一個法向量，又因為平面，所以平面的一個法向量為，所以，故平面與平面夾角的余弦值為.18.函數(shù)，.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，若不等式恒成立，求的取值范圍.【正確答案】（1）答案見解析（2）.【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，然后分，兩種情況，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)可求得其單調(diào)區(qū)；（2）構(gòu)造函數(shù)，，把不等式的恒成立轉(zhuǎn)化為，求得，結(jié)合分析函數(shù)的單調(diào)性并確定最小值為，再利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.【小問1詳解】由題意得，，當(dāng)時，則，在上單增，的遞增區(qū)間為；當(dāng)時，令，則；令，則.的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.【小問2詳解】當(dāng)時，令，，則，，由題意，得.因為，令，則；令，則，在上遞減，在上遞增，，故在上遞增，又，，實數(shù)的取值范圍為.19.已知橢圓，定義橢圓上的點的“伴隨點”為.（1）求橢圓上的點的“伴隨點”的軌跡方程;（2）如果橢圓上的點的“伴隨點”為，對于橢圓上的任意點及它的“伴隨點”，求的取值范圍;（3）當(dāng)時，直線交橢圓于A，B兩點，若點A，B的“伴隨點”分別是P，Q，且以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點，求的面積.【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根據(jù)“伴隨點”的定義，結(jié)合點在橢圓上求解即可；（2）根據(jù)題意，結(jié)合（1）得，進(jìn)而得，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合二次函數(shù)求解即可；（3）設(shè)，則，進(jìn)而根據(jù)得，再聯(lián)立橢圓和直線的方程并結(jié)合韋達(dá)定理得，最后求弦長|AB|與點到直線的距離并求面積即可.【小問1詳解】設(shè).所以，根據(jù)“伴隨點”的定義，有，則又因為，所以，即所以，橢圓上的