2025年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)

注意事項：

1.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷

及答題卡的規(guī)定位置。

2.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相

符。

3.作答選擇題必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。作答非選擇題，必須用0.5毫米黑色墨水的簽

字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效。

4.本試卷共4頁，滿分150分，考試時間為120分鐘。考試結(jié)束后，請將本試卷和

答題卡一并交回。

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分．每小題給出的四個選項中，只有

一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．

1．(1+5i)i的虛部為

A．?1B．0C．1D．6

==

2．設(shè)全集U{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A{1,3,5}，則UA中元素個數(shù)為

A．0B．3C．5D．8

3．若雙曲線C的虛軸長為實軸長的7倍，則C的離心率為

A．2B．2C．7D．22

π

4．若點(,0)a(0)a>是函數(shù)yx=?2tan()的圖象的一個對稱中心，則a的最小值為

3

A．30°B．60°C．90°D．135°

3

5．設(shè)f()x是定義在R上且周期為2的偶函數(shù)，當23≤≤時，xf()xx=?52，則f()?=

4

1111

A．?B．?C．D．

2442

6．帆船運動員借助風力駕駛帆船，

7．若圓xy222++(2)(0)=rr>上到直線yx=+32的距離為1的點有且僅有2哥，則r的

取值范圍是

A．(0,1)B．(1,3)C．(3,+∞)D．(0,+∞)

+=+=+

8．若實數(shù)x，y，z滿足2log235x3logyz5log，則x，y，z的大小關(guān)系不可能是

A．x>>yzB．x>>zyC．yxz>>D．yzx>>

S數(shù)學(xué)試題第1頁（共4頁）

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

?

9．在正三棱柱ABCA111BC中，D為BC中點，則

⊥⊥

A．ADAC1B．B1C平面AAD1

C．CC1∥平面AAD!D．ADAB∥11

10．設(shè)拋物線Cy:62=x的焦點為F，過F的直線交C于A、B，過F且垂直于AB的直線

3

交ly:=?x于E，則

2

A．||||ADAF=B．||||AEAB=

C．||6AB≥D．||AE||?BE≥18

11

11．已知△ABC的面積為，若cos2ABC++=cos2cos22，cosABCcossin=，則

44

A．sinCAB=+sin22sinB．AB=2

6

C．sinAB+=sinD．AC22+=BC3

2

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計15分．

12．若直線yx=+25是曲線yxa=++ex的切線，則a=．

13．若一個等比數(shù)列的前4項和為4，前8項和為68，則該等比數(shù)列的公比為．

14．一個箱子里有5個球，分別以1～5標號，若有放回取三次，記至少取出一次的球的個

數(shù)X，則EX()=．

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15．（13分）

S數(shù)學(xué)試題第2頁（共4頁）

16．（15分）

aa1

設(shè)數(shù)列{}a滿足nn+1=+．

nnn++1(1)nn

（1）證明：{}nan為等差數(shù)列；

=+2++m′

（2）設(shè)fx()a12xaxamx，求f(2)．

17．（15分）

如圖所示的四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，

BC∥AD，ABAD⊥．

（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA==AB2，AD=+31，BC=2，P，B，C，D

在同一個球面上，設(shè)該球面的球心為O．

（ⅰ）證明：O在平面ABCD上；

（ⅱ）求直線AC與直線PO所成角的余弦值．

18．（17分）

xy22

設(shè)橢圓C:+=1(0)ab>>，記A為橢圓下端點，B為右端點，||10AB=，且橢

ab22

22

圓C的離心率為．

3

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設(shè)點P(,)mn．

（ⅰ）若P不在y軸上，設(shè)R是射線AP上一點，||ARAP?=||3，用m，n表示

點R的坐標；

=

（ⅱ）設(shè)直線OQ的斜率為k1，直線OP的斜率為k2，若kk123，M為橢圓上

一點，求||PM的最大值．

19．（17分）

設(shè)函數(shù)f()xxx=?5coscos5．

π

（1）求f()x在[0,]的最大值；

4

（2）給定θ∈(0,π)，a為給定實數(shù)，證明：存在ya∈?[,]θθa+，使得cosy≤；cosθ