河北省邯鄲市2025屆高三保溫試題數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．若數(shù)列是無窮數(shù)列，則“是等差數(shù)列”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．2 B． C．1 D．4．某金融產(chǎn)品的價格增長模型遵循連續(xù)復(fù)利模型，公式為，其中r為年收益率，t為投資時間（單位：年），為自然對數(shù)的底數(shù)，為初始資金，為t年后的資金，已知某產(chǎn)品年收益率，則使初始資金翻倍至少需要（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．12年 B．13年 C．14年 D．15年5．在中，角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，若，，，則的面積為（

）A． B． C． D．6．將圓通過縱向壓縮得到一個焦點在x軸上的橢圓，使其過點，左、右焦點分別為，則的平分線所在直線的方程為（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，若的值域為，則滿足條件的整數(shù)a的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．48．在四棱錐中，平面，底面是邊長為2的正方形，M為底面上的動點，且M到PA與BC的距離相等．若，則（

）A． B．2 C． D．二、多選題9．為加強(qiáng)青少年科學(xué)健身普及和健康干預(yù)，讓年輕一代在運動中強(qiáng)意志、健身心，某校舉辦一場籃球賽，其中每隊上場5人，每人得分情況如下表（單位：分），則下列結(jié)論正確的是（

）甲隊乙隊51023128881576A．運動員得分極差甲隊大于乙隊 B．運動員得分均值甲隊大于乙隊C．甲隊運動員得分的75%分位數(shù)為8 D．相較于甲隊，乙隊運動員實力更均衡10．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．在內(nèi)有3個零點 B．的圖象關(guān)于直線對稱C．在上單調(diào)遞增 D．的值域為11．已知數(shù)列滿足，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若為常數(shù)列，則B．當(dāng)時，的前2025項和為C．存在，使數(shù)列單調(diào)遞增D．當(dāng)時，三、填空題12．已知，則．13．降水量是指水平地面上單位面積的降水深度．用上口直徑為20cm、底面直徑為12cm，母線長為的圓臺型水桶來測量降水量，如果一次降水過程中用此桶接得的雨水是桶深的，則本次降雨的降水量是mm．14．已知圓和定點，若點P、Q分別為圓O外和圓O上兩點，且滿足，，則的最小值為．四、解答題15．已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為x軸，y軸，且過，兩點．（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線l與雙曲線C有且只有一個公共點，且l與坐標(biāo)軸正半軸所圍成的三角形面積為，求直線l的方程．16．2025年1月，由我國團(tuán)隊自主研發(fā)的人工智能模型DeepSeek發(fā)布后，引起世界各大主流媒體和社交網(wǎng)站的廣泛關(guān)注．已知DeepSeek的運行環(huán)境有實驗室環(huán)境和實際部署環(huán)境兩種，而且在兩種環(huán)境中運行是等可能的．在實驗室環(huán)境和實際部署環(huán)境中模型的準(zhǔn)確率分別為90%和80%，產(chǎn)生錯誤的原因主要為過擬合和欠擬合，相應(yīng)的概率如下表：

運行環(huán)境錯誤類型實驗室環(huán)境實際部署環(huán)境過擬合欠擬合其它某用戶問了這個模型一個問題，求：（1）該模型答對問題的概率；（2）若該模型回答錯誤，求錯誤類型為過擬合的概率．17．如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，，將沿著BD折起，連接AC，使得．（1）求證：平面平面；（2）若點M為棱CD的中點，求二面角的余弦值．18．已知函數(shù)，．（1）求曲線在處的切線方程；（2）證明在內(nèi)存在唯一零點；（3）若對于任意的，恒成立，求整數(shù)k的最大值．19．我們把形如的式子稱為調(diào)和級數(shù)，它在音樂、建筑等方面都有著廣泛的應(yīng)用．（1）我們將滿足（d為常數(shù)）的數(shù)列稱為“調(diào)和數(shù)列”．若調(diào)和數(shù)列滿足，求的值；（2）數(shù)列稱為調(diào)和級數(shù)的部分和，求證：；（3）由（2）我們不難得出，是一個無界數(shù)列，即對任意，存在，使得當(dāng)時，，這個性質(zhì)稱為數(shù)列的發(fā)散性．請根據(jù)該性質(zhì)證明：對數(shù)列，存在，使得對任意都有．

參考答案1．【答案】C【詳解】因為，所以，所以.故選C2．【答案】A【詳解】若是等差數(shù)列，則成等差數(shù)列，故成立，取，則，而即為，因為，故它們不成等差數(shù)列，故推不出是等差數(shù)列，故“是等差數(shù)列”是“”的充分不必要條件，故選A.3．【答案】B【詳解】由求根公式可得，所以.故選B4．【答案】C【詳解】由題意可知，代入公式可得，所以所以，所以至少需要14年，故選C5．【答案】D【詳解】在中，，由正弦定理得，解得，，所以的面積為.故選D6．【答案】A【詳解】由題可知，壓縮得到的橢圓長半軸長為，設(shè)橢圓方程為，因為橢圓經(jīng)過點，所以，解得，所以，所以，則，所以，記的平分線所在直線的傾斜角為，則，所以，又，解得或（舍去），所以，由點斜式方程得，即.故選A7．【答案】B【詳解】當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時，，，1)當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，此時，要使的值域為，則，即，記，則，在單調(diào)遞減，因為，所以，即滿足題意；2)當(dāng)時，，此時，因為，所以的值域為，即滿足題意；3)當(dāng)時，由得，由得，所以在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，當(dāng)且趨近于時，趨于，所以時，，因為，所以時，，此時，的值域不是，不滿足題意.綜上，滿足條件的整數(shù)a的值為和，共兩個.故選B8．【答案】C【詳解】由于平面，則到直線的距離即為的長度，在平面中，到直線的距離與的距離相等，以為軸，以的垂直平分線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則的軌跡方程為，設(shè)，,則，解得，則，故選C9．【答案】ABD【詳解】對A，甲隊的極差為，乙隊的極差為，，A正確；對B，甲隊得分平均數(shù)，乙隊得分平均數(shù)，，B正確；對C，將甲隊的數(shù)據(jù)由小到大排列：，因為，所以甲隊運動員得分的75%分位數(shù)為，C錯誤；對D，由題可知，乙隊的得分更加集中，即相較于甲隊，乙隊運動員實力更均衡，D正確.故選ABD10．【答案】BD【詳解】對于A,令，則，在同一直角坐標(biāo)系中，畫出和在的圖象，根據(jù)圖象可知：兩個函數(shù)圖象有4個交點，故在內(nèi)有4個零點，故A錯誤，對于B,,則，故的圖象關(guān)于直線對稱，B正確，對于C,故，令則有和復(fù)合而成，由于在單調(diào)遞增，而在單調(diào)遞減，所以在單調(diào)遞減，故C錯誤，對于D,，故是的一個周期，故只需要考慮的值域即可，又的圖象關(guān)于直線對稱，故只需要考慮的值域即可，因為在單調(diào)遞減，，所以的值域為，D正確，故選BD11．【答案】BD【詳解】因為，所以，對A，若為常數(shù)列，則，所以，解得或，A錯誤；對B，當(dāng)時，，又，所以是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以其前2025項和為，B正確；對C，若數(shù)列單調(diào)遞增，則，解得或，又，解得或，則或，解得或，所以，當(dāng)時，數(shù)列不可能單調(diào)遞增，C錯誤；對D，因為，所以，所以，因為，所以，即，所以，D正確.故選BD12．【答案】【詳解】因為，解得，又因為，解得或.13．【答案】29.6【詳解】設(shè)睡眠的半徑為，水深為，因為上口半徑為，底面半徑，則，故，雨水的體積為，又,故.14．【答案】/0.8【詳解】因為，，設(shè)，則，設(shè)，因為，所以，即點在直線上運動，設(shè)，點在直線上，所以，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)重合.15．【答案】（1）（2）或【詳解】（1）由題意知該雙曲線焦點在x軸上，故設(shè)其方程為，根據(jù)過知，又過，故有，解得，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）直線l與雙曲線C有且只有一個公共點，且與坐標(biāo)軸正半軸所圍成三角形，分兩種情況：當(dāng)直線l與雙曲線的一條漸近線平行時，設(shè)直線l的方程為，此時三角形的面積為，解得，所以直線l的方程為；當(dāng)直線l與雙曲線相切時，直線l的斜率顯然存在，設(shè)其方程為，聯(lián)立，得，所以且，即，又因為三角形的面積為，解得（負(fù)根舍去），所以，解得（正根舍去），所以直線l的方程為；綜上，直線l的方程為或.16．【答案】（1）（2）【詳解】（1）設(shè)該模型答對此問題為事件,則，故模型答對問題的概率為，（2）設(shè)錯誤類型為過擬合為事件,則，因為，，所以所以若該模型回答錯誤，則錯誤類型為過擬合的概率為17．【答案】（1）證明過程見解析（2）【詳解】（1）證明：取線段的中點，連接，因四邊形為菱形，且，則和均為等邊三角形，則，又平面，則平面，以為原點，所在直線為軸，在平面內(nèi)作，以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，得，即，則，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則，，令，則，，則，則平面平面.（2）解：點M為棱CD的中點，則，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，又平面的法向量為，則，由圖可知二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為.18．【答案】（1）；（2）證明見詳解；（3）3【詳解】（1）因為，所以，又，所以曲線在處的切線方程為，即（2）因為，所以，當(dāng)時，，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，又，所以在內(nèi)有一個零點，所以在內(nèi)存在唯一零點.（3）當(dāng)時，，所以不