2025屆河南省開封市等2地高三模擬預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知向量，，若，則（

）A． B． C．5 D．203．在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度單位）和燃料的質(zhì)量（單位）、火箭（除燃料外）的質(zhì)量（單位：）的函數(shù)關(guān)系是（是參數(shù)）．當(dāng)質(zhì)量比比較大時(shí)，函數(shù)關(guān)系中真數(shù)部分的1可以忽略不計(jì)，按照上述函數(shù)關(guān)系，將質(zhì)量比從2000提升至50000，則大約增加了（附：）（

）A．52% B．42% C．32% D．22%4．在某互聯(lián)網(wǎng)大會(huì)上，為了提升安全級(jí)別，將5名特警分配到3個(gè)重要路口執(zhí)勤，每個(gè)人只能選擇一個(gè)路口，每個(gè)路口最少1人，最多3人，且甲和乙不能安排在同一個(gè)路口，則不同的安排方法有（

）A．180種 B．150種 C．96種 D．114種5．?dāng)?shù)列滿足，前12項(xiàng)和為164，則的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．76．已知四面體的各頂點(diǎn)均在球的球面上，平面平面，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．7．點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．8．將雙曲線繞其中心旋轉(zhuǎn)一個(gè)合適的角度，可以得到一些熟悉的函數(shù)圖象，比如反比例函數(shù)，“對(duì)勾”函數(shù)，“飄帶”函數(shù)等等，它們的圖象都能由某條雙曲線繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而得.現(xiàn)將雙曲線繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)合適的角度，得到“飄帶”函數(shù)的圖象，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題9．函數(shù)fx=Asinωx+φ（A＞0，A．m=-5π12C．f-5π12＞fπ8 D．fx10．已知，則（

）A．的最小值為 B．的最大值為C．的最小值為 D．的最小值為11．已知，為兩個(gè)事件，則下列命題正確的是（

）A．若，，則B．若，，A，B相互獨(dú)立，則C．若，，則的最小值可能為0.38D．若，則三、填空題12．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和滿足：，則數(shù)列的通項(xiàng)公式＝．13．已知，若是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.14．已知函數(shù)存在，使得，則的取值范圍是.四、解答題15．在銳角三角形中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿足．（1）求；（2）求的取值范圍．16．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線的漸近線交于A，B兩點(diǎn)，與橢圓交于E，F(xiàn)兩點(diǎn).當(dāng)時(shí)，.（1）求雙曲線C的方程；（2）若直線l與C相切，證明：的面積為定值.17．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，與平行的直線交于兩點(diǎn)，其中在軸上方，分別為的中點(diǎn)．（1）當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，證明：直線軸；（2）若，求；（3）若，求．18．在正三棱臺(tái)中，，，分別是，的中點(diǎn)．

（1）求證：四邊形是矩形；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值；（3）若一只電子貓從點(diǎn)出發(fā)，每次等可能地沿著棱去向相鄰的另一個(gè)頂點(diǎn)，設(shè)在次運(yùn)動(dòng)后電子貓仍停留在下底面的概率為，求.19．已知雙曲線的兩條漸近線分別為，，若點(diǎn)，分別在，上（，不同于原點(diǎn)），且直線是的切線，則稱是的“漸切三角形”．已知在點(diǎn)處的切線方程為．（1）寫出的一個(gè)“漸切三角形”的頂點(diǎn)，的坐標(biāo)及切線的方程，并求出其面積；（2）已知點(diǎn)，分別在，上，的面積為，試問是否是的“漸切三角形”？并說明理由；（3）若是的“漸切三角形”，與相切的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于0，為的左焦點(diǎn)，證明：為定值．

參考答案1．【答案】C【詳解】因?yàn)榧?，所以由，可得，所?故選C.2．【答案】B【詳解】向量，，由，得，則，所以.故選B3．【答案】B【詳解】當(dāng)質(zhì)量比為2000時(shí)，最大速度，當(dāng)質(zhì)量比為50000時(shí)，最大速度，，，所以將質(zhì)量比從2000提升至50000，則大約增加了.故選B4．【答案】D【詳解】分析：先不管條件甲和乙不能安排在同一個(gè)路口，先算出總共的安排方法，再減去甲和乙在同一個(gè)路口的情況即可.詳解：先不管條件甲和乙不能安排在同一個(gè)路口，分兩種情況：①三個(gè)路口人數(shù)情況3，1，1，共有種情況；②三個(gè)路口人數(shù)情況2，2，1，共有種情況.若甲乙在同一路口，則把甲乙看作一個(gè)整體，則相當(dāng)于將4名特警分配到三個(gè)不同的路口，則有種，故甲和乙不能安排在同一個(gè)路口，不同的安排方法有種.故選D.點(diǎn)睛：本題考查排列、組合的實(shí)際應(yīng)用，考查分析問題、解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題.5．【答案】C【詳解】因?yàn)椋?，，因?yàn)榍?2項(xiàng)和為164，所以，所以，即，解得.故選C.6．【答案】A【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫妫?，所以可將四面體看作底面是等邊三角形的直三棱柱的一部分，如圖所示：則四面體的外接球即直三棱柱的外接球，因?yàn)榈酌嫒切蔚耐庑牡饺切蔚捻旤c(diǎn)的長(zhǎng)度為，所以直三棱柱的外接球的半徑，則球的表面積，故選A.7．【答案】D【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，所以當(dāng)點(diǎn)處的切線和直線平行時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最?。?yàn)橹本€的斜率等于1，曲線的導(dǎo)數(shù)，令，可得或(舍去)，所以在曲線上與直線平行的切線經(jīng)過的切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以點(diǎn)P到直線的最小距離為.故選D.8．【答案】B【詳解】“飄帶”函數(shù)的漸近線為與軸，設(shè)兩漸近線夾角為（），則，整理得，又，所以，整理得，由，解得.所以旋轉(zhuǎn)之前雙曲線的一條漸近線斜率為，所以雙曲線的離心率為.故選B9．【答案】ABC【詳解】對(duì)于A，由題意得m+π12=2×-π6，解得m=-5π12，故A正確；對(duì)于B，由圖知，A=2，T4=π12--π6=π4，得T=π，由T=2πω=π，得ω=2，當(dāng)ω=2時(shí)，由圖象過點(diǎn)-π6,2，得2sin2×-π6+φ=2，得-π3+φ=π2+2kπk∈Z，所以φ=5π6+2kπk∈Z，又|φ|＜π，所以φ=5π6，所以fx10．【答案】ABD【分析】根據(jù)指數(shù)運(yùn)算，結(jié)合基本不等式即可判斷A；結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算，利用基本不等式可判斷B；將化為關(guān)于x的二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可判斷是C；通過變量代換，令，得到，根據(jù)“1”的巧用，將變形后，利用基本不等式，即可判斷D..【詳解】對(duì)于A，由于，故，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值為，A正確；對(duì)于B，由于，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，即的最大值為，B正確；對(duì)于C，又，得，故由于，所以，而對(duì)稱軸為，則在上單調(diào)遞減，在上無最值，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，則，故，由于，故，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，即的最小值為，D正確，故選ABD.11．【答案】ABD【詳解】對(duì)于A，由，得，而，則，A正確；對(duì)于B，若，，A，B相互獨(dú)立，則，則，B正確；對(duì)于C，由，得，則的最小值不可能為0.38，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則，所以，故D正確.故選ABD12．【答案】【詳解】當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,顯然不符合,故通項(xiàng)公式.13．【答案】【詳解】由可得，即，由可得，即，又因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以，所以(等號(hào)不同時(shí)成立)，解得.14．【答案】【詳解】作出函數(shù)的圖象，設(shè)，依題意，，且，，解得，，故，因函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，即的取值范圍是.15．【答案】（1）（2）．【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，即，因?yàn)椋?；?）由（1）知，所以，由正弦定理知.因?yàn)闉殇J角三角形，，所以解得，所以，可得，所以，所以的取值范圍是．16．【答案】（1）（2）證明見詳解【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)?，所以，由，得，同理可得，所以，由，得，，所以，即，由，解得，所以雙曲線的方程為.（2）雙曲線的漸近線方程為，由（1）得，，，所以，，，由，得，因?yàn)橹本€與雙曲線相切，所以，即，所以.17．【答案】（1）證明見解析；（2）（3）3【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，直線不垂直于，設(shè)其方程為，直線方程為，，由，消去得，則，，則點(diǎn)，由，消去得，則，，則點(diǎn)，由直線不垂直于軸，得，所以直線軸.（2）由（1）可得，，，由，得，即，而，解得，所以.（3）令與分別交于點(diǎn)，設(shè)，由，得，，即，則，故點(diǎn)與重合，由，得，則，即，而，即，由（2）已得，故可得：，又，則，于是，而，解得，所以.18．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【詳解】（1）證明：延長(zhǎng)，，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作平面，垂足為，連結(jié).在正三棱臺(tái)中，，是正三角形，因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以，且，又，且，所以，且，四邊形是平行四邊形.因?yàn)閹缀误w是正三棱臺(tái)，所以三棱錐是正三棱錐，是底面正的中心，所以.又平面，平面，所以.因?yàn)?，，平面，所以平面，又平面，所以，所?在正三棱臺(tái)中，，是的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，.所以.所以四邊形是矩形.（2）法一：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連結(jié)，過點(diǎn)作，垂足為，連結(jié).由（1）可知，平面，即平面，因?yàn)槠矫妫?，又，，，平面，所以平?所以為直線與平面所成角.在正三棱臺(tái)中，，，不妨設(shè)，則，，.在等腰中，.在中，.所以直線與平面所成角的正弦值為.法二：過作.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

在正三棱臺(tái)中，，，不妨設(shè)，則，，，.設(shè)上底面的中心為，在直角梯形中，，，，所以.故，又，所以,.設(shè)為平面的法向量，即，取，得，，所以是平面的一個(gè)法向量.又，所以，設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.（3）記電子貓?jiān)诖芜\(yùn)動(dòng)后“在下底面”為事件，“在上底面”為事件.顯然，當(dāng)，時(shí)，，.由全概率公式，當(dāng)，時(shí)，可得，即，整理得.所以當(dāng)，時(shí)，，又，，，所以當(dāng)，時(shí)，為定值，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故，可得.19．【答案】（1），，（答案不唯一）；（2）是，理由見解析；（3）證明過程見解析.【詳解】（1）由題意可得，雙曲線的漸近線方程為，故，則，且在點(diǎn)處的切線方程為，不妨取切點(diǎn)為，則切線方程為，此時(shí)，則.（2）若直線斜率不存在，不妨設(shè)，則，則，得，此