學(xué)習(xí)目標(biāo)本章架構(gòu)14.1.1共變異數(shù)的意義14.1.2相關(guān)係數(shù)的意義14.1.3相關(guān)係數(shù)的估計(jì)14.1.4相關(guān)係數(shù)的檢定相關(guān)分析(correlationanalysis)探討數(shù)值變數(shù)間線性關(guān)係的程度與方向的方法，共變異數(shù)(covariance)與相關(guān)係數(shù)是用來(lái)瞭解兩變數(shù)間線性關(guān)係的工具。如果變數(shù)間無(wú)法區(qū)分出所謂的依變數(shù)(dependentvariable)與自變數(shù)(或獨(dú)立變數(shù))(independentvariable)時(shí)，則使用相關(guān)分析來(lái)探討變數(shù)間的線性關(guān)係；如果變數(shù)是可以區(qū)分的話，則使用線性迴歸分析來(lái)探討變數(shù)間的線性關(guān)係。14.1.1共變異數(shù)的意義共變異數(shù)(covariance)測(cè)量?jī)蓚€(gè)數(shù)值變數(shù)間的線性關(guān)係。線性關(guān)係當(dāng)一個(gè)變數(shù)變動(dòng)時(shí)，另一變數(shù)則呈同方向或相反方向變動(dòng)。共變異數(shù)的意義(續(xù))母體共變異數(shù)其中N代表母體總數(shù)。樣本共變異數(shù)

其中n代表樣本數(shù)。共變異數(shù)的意義(續(xù)1)共變異數(shù)的性質(zhì)共變異數(shù)的值介於-

到之間。X與Y的共變異數(shù)大於零，表示X與Y同方向變動(dòng)。X與Y的共變異數(shù)小於零，表示X與Y反方向變動(dòng)。X與Y的共變異數(shù)等於零，表示兩變數(shù)間沒(méi)有「線性」關(guān)係，但並不表示兩者之間沒(méi)有其他關(guān)係存在。共變異數(shù)的意義(續(xù)3)當(dāng)兩變數(shù)與的共變異數(shù)大於零時(shí)，可以看出與大局部落於第一與第三象限，也就是兩者移動(dòng)的方向是一致的，亦即正的線性關(guān)係。(如圖14.1之左上圖)當(dāng)兩變數(shù)與的共變異數(shù)小於零時(shí)，可以看出與大局部落於第二與第四象限，也就是兩者移動(dòng)的方向是相反的，亦即負(fù)的線性關(guān)係。(如圖14.1之右上圖)當(dāng)兩變數(shù)與的共變異數(shù)等於零時(shí)，可以看出與均勻落於所有四個(gè)象限，而看不出兩者間線性移動(dòng)的關(guān)係，但卻可能存在其他非線性關(guān)係。(如圖14.1之下方二圖)共變異數(shù)的意義(續(xù)2)圖14.1：不同共變異數(shù)值情況下X與Y的散佈圖例14.1停留時(shí)間與消費(fèi)額的關(guān)係某遊樂(lè)區(qū)經(jīng)理想了解遊客停留時(shí)間與消費(fèi)額的關(guān)係，於是蒐集了10位遊客的資料如表14.1表14.110位遊客的停留時(shí)間與消費(fèi)額

續(xù)例14.1

由表14.1可知14.1.2相關(guān)係數(shù)的意義相關(guān)係數(shù)〔correlationcoefficient)乃是指皮爾生相關(guān)係數(shù)〔Pearsoncorrelationcoefficient)，其用途在於測(cè)量?jī)蓚€(gè)數(shù)值變數(shù)間的線性關(guān)係。當(dāng)兩變數(shù)有相關(guān)存在，並不代表兩者一定存在因果關(guān)係，但是當(dāng)相關(guān)程度高的時(shí)候，彼此的預(yù)測(cè)能力也高。計(jì)算至2003/3/24資料來(lái)源：Bloomberg整理：怡富投顧相關(guān)係數(shù)應(yīng)用實(shí)例二我國(guó)在漸邁入高齡化社會(huì)的同時(shí)，整體社會(huì)每年平均花在醫(yī)療保健上的費(fèi)用，將益為提高。由此可看出：年齡是影響個(gè)人每年花在醫(yī)療保健費(fèi)用多寡的原因之一。

個(gè)人每年花在醫(yī)療保健費(fèi)用和個(gè)人總財(cái)富累積這兩個(gè)因素，同時(shí)受年齡的影響，才使得醫(yī)療保健費(fèi)用和個(gè)人總財(cái)富累積兩個(gè)變數(shù)間間接地具高度線性相關(guān)，而其實(shí)醫(yī)療保健費(fèi)用和個(gè)人總財(cái)富累積兩個(gè)變數(shù)間並不具有因果關(guān)係。但是，如果醫(yī)療保健費(fèi)用和總財(cái)富累積兩個(gè)變數(shù)，都去除掉年齡的影響後，將發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)因素呈低度線性相關(guān)。也就是說(shuō)，去除掉年齡的影響後，醫(yī)療保健費(fèi)用和總財(cái)富累積的偏相關(guān)係數(shù)變得很接近0?！爸灰？床?口袋裏的孫中山就會(huì)愈多〞的奇怪推論,在去除幕後的藏鏡人—年齡之後，自可迎刃而解。(資料來(lái)源︰易得太資訊(統(tǒng)計(jì)桃花源))14.1.2相關(guān)係數(shù)的意義(續(xù))母體相關(guān)係數(shù)其中μX，σX為隨機(jī)變數(shù)X的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差；

μY，σY為隨機(jī)變數(shù)Y的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差；

σXY為隨機(jī)變數(shù)X與Y之共變異數(shù)。14.1.2相關(guān)係數(shù)的意義(續(xù)1)假設(shè)X與Y為成對(duì)資料則母體相關(guān)係數(shù)可表為14.1.2相關(guān)係數(shù)的意義(續(xù)2)相關(guān)係數(shù)的性質(zhì):相關(guān)係數(shù)的值介於–1與1之間。當(dāng)ρXY=1，表示X與Y為完全正相關(guān)，亦即當(dāng)X變動(dòng)時(shí)，Y亦以相同方向變動(dòng)；反之，亦然。當(dāng)ρXY=–1，表示X與Y為完全負(fù)相關(guān)，亦即當(dāng)X變動(dòng)時(shí)，Y亦以相反方向來(lái)變動(dòng)；反之，亦然。當(dāng)ρXY=0，代表X與Y完全沒(méi)有線性關(guān)係，不過(guò)並不代表兩者之間沒(méi)有其他型態(tài)關(guān)係(如拋物線關(guān)係)存在。14.1.3相關(guān)係數(shù)的估計(jì)我們必須假設(shè)之母體為一二維常態(tài)分配(Bivariatenormaldistribution)，然後抽出樣本資料，來(lái)計(jì)算樣本相關(guān)係數(shù)，而其定義如下：其中例14.2續(xù)例14.1假設(shè)試問(wèn)停留時(shí)間與消費(fèi)額之相關(guān)係數(shù)為何，可利用Excel來(lái)計(jì)算相關(guān)係數(shù)，步驟如下：輸入表14.1的資料。點(diǎn)選「工具」、「資料分析」、「相關(guān)係數(shù)」。輸入資料範(fàn)圍$A$1:$B$10，並按確定。結(jié)果可得rXY=0.425265。14.1.3相關(guān)係數(shù)的估計(jì)〔續(xù)〕圖14.2不同的

XY時(shí)，X與Y的散布圖14.1.4相關(guān)係數(shù)的檢定

XY=0的檢定假設(shè)

H0：

XY=0

H1：

XY0檢定統(tǒng)計(jì)量

當(dāng)XY=0且(x,y)來(lái)自二元常態(tài)分配時(shí)，檢定統(tǒng)計(jì)量t*為一自由度為n－2的t

分配。例14.3續(xù)例14.2在例14.1中，試在α=0.05的水準(zhǔn)下，檢定停留時(shí)間與消費(fèi)額是否有關(guān)係存在?？稍O(shè)定虛無(wú)與對(duì)立假設(shè)為

H0：

XY=0

H1：

XY0檢定統(tǒng)計(jì)量:拒絕域:例14.3續(xù)例14.2〔續(xù))相關(guān)係數(shù):檢定統(tǒng)計(jì)量之值:所以不拒絕H0，亦即無(wú)充分證據(jù)顯示停留時(shí)間與消費(fèi)額間有相關(guān)存在。相關(guān)係數(shù)的檢定(續(xù))

XY=

0的檢定假設(shè)

H0：

XY=

0

H1：

XY

0檢定統(tǒng)計(jì)量採(cǎi)用Fisher轉(zhuǎn)換Zr14.1.4相關(guān)係數(shù)的檢定(續(xù)1)

XY=

0的檢定當(dāng)n>30時(shí)，Zr近似於常態(tài)分配，即，其中所以可以透過(guò)Z檢定來(lái)完成，亦即例14.4廣告費(fèi)用與銷售量某公司想瞭解廣告費(fèi)用與銷售量之間的相關(guān)，於是蒐集了過(guò)去36個(gè)月的資料，並計(jì)算得相關(guān)係數(shù)為0.68，試在0.05的顯著水準(zhǔn)下，檢定以下的假設(shè): H0：XY=0.75 H1：XY0.75先求例14.4廣告費(fèi)用與銷售量〔續(xù)〕再求檢定統(tǒng)計(jì)量值∵，所以不拒絕H0，亦即無(wú)充分證據(jù)顯示廣告費(fèi)用與銷售量之間的相關(guān)係數(shù)不為0.75。自變數(shù)與依變數(shù)迴歸分析適用在研究者可以掌握因果關(guān)係，以後採(cǎi)用的相關(guān)性分析。自變數(shù)即是獨(dú)立變數(shù)，在因果關(guān)係中，它是獨(dú)立的，因其並不依賴其他變數(shù)。依變數(shù)，即是在此因果關(guān)係中人們關(guān)切的變數(shù)。被假設(shè)變數(shù)的因與果之間，必須有著某種理論的聯(lián)繫，須符合以下五條件：一個(gè)變數(shù)之變化必須聯(lián)繫於另一個(gè)變數(shù)的變化。原因之變數(shù)在時(shí)間上必須早於或居先於另一變數(shù)。因與果之關(guān)係必須大致可信。所主張之關(guān)係必須與其他證據(jù)一致。所指認(rèn)的因素必須是最重要的因素。(資料來(lái)源︰石之瑜—迴歸方法作為社會(huì)科學(xué)方法的省思)練習(xí)思考題假設(shè)要分析豬肉的需求與其價(jià)格的關(guān)係時(shí)，請(qǐng)問(wèn)如何利用迴歸分析來(lái)分析之？承1，假設(shè)以相關(guān)分析來(lái)分析，則有何異同？例14.5廣告支出與營(yíng)業(yè)額例14.5廣告支出與營(yíng)業(yè)額(續(xù))例14.5廣告支出與營(yíng)業(yè)額(續(xù)1)假設(shè)條件Y為依變數(shù)，是需要被預(yù)測(cè)(或)解釋的變數(shù)。X為自變數(shù)，是用來(lái)預(yù)測(cè)的變數(shù)，沒(méi)有誤差。

、

為未知常數(shù)。

~N(0,

2)。

Cov(

i,

j)=0；

i≠j。14.2.2線性迴歸方程式14.2.2線性迴歸方程式〔續(xù))14.2.2線性迴歸方程式(續(xù)1)圖14.4迴歸方程式與Y的分配關(guān)係如果a與b，分別代表α與β的估計(jì)統(tǒng)計(jì)量，代表Y的估計(jì)值，則估計(jì)線性迴歸方程式(estimatedlinearregressionequation)：

在X=xi的情況下，則估計(jì)線性迴歸方程式：最小平方法(leastsquaremethod)假設(shè)Q代表所有與間之差的平方和，則最小平方法的原理便是在Q為最小的情況下，所找出的a與b，即為與的估計(jì)式。微積分的原理

迴歸係數(shù)的其他計(jì)算公式:

其中，為X的變異數(shù)，為X與Y的樣本共變異數(shù)。最小平方法的重要性統(tǒng)計(jì)學(xué)史家思泰格拉〔Stigler〕“最小平方法是十九世紀(jì)統(tǒng)計(jì)學(xué)的主題曲。從許多方面來(lái)看，它之於統(tǒng)計(jì)學(xué)就相當(dāng)於十八世紀(jì)的微積分之於數(shù)學(xué)。〞例14.6續(xù)例14.5試由表14.3的資料計(jì)算出廣告支出與營(yíng)業(yè)額間的估計(jì)線性迴歸方程式。由表14.3我們整理得表14.4以方便計(jì)算a與b。例14.6續(xù)例14.5(續(xù))表14.4ABC公司的估計(jì)線性迴歸方程式之計(jì)算14.4迴歸方程式的適合度14.4迴歸方程式的適合度(續(xù))迴歸模型之變異分解14.4迴歸方程式的適合度(續(xù)1)變異的分解:14.4迴歸方程式的適合度(續(xù)2)變異的計(jì)算公式:14.4迴歸方程式的適合度(續(xù)3)判定係數(shù)(coefficientofdetermination；R2)

R2之值介於0與1之間。R2愈高，代表估計(jì)線性迴歸方程式的配適度愈好。假設(shè)將判定係數(shù)以百分比表示時(shí)，則R2可視為總變異可用估計(jì)迴歸方程式解釋的程度，也就是Y可以被X解釋的程度。14.4迴歸方程式的適合度〔續(xù)4〕判定係數(shù)的計(jì)算公式:14.4迴歸方程式的適合度〔續(xù)5〕上述之判定係數(shù)，並沒(méi)有考慮到SST與SSE的自由度，如果再將這個(gè)觀念參加，那麼我們就定義另一個(gè)新的判定係數(shù)，稱之為調(diào)整判定係數(shù)(adjustedcoefficientofdetermination)，一般以表示之，而

一般而言會(huì)比R2小，在不同判定係數(shù)值的比較時(shí)，由於多考慮了自由度，因此以來(lái)作比較會(huì)客觀些。例14.7續(xù)例14.6如何求例14.6之估計(jì)迴歸方程式的判定係數(shù)，可由表14.4算出

例14.7續(xù)例14.6(續(xù))判定係數(shù)為以ABC公司的例子而言，我們可說(shuō)85.07%的總變異可由估計(jì)的迴歸方程式解釋，或是營(yíng)業(yè)額可以被廣告支出解釋的部份是85.07%。調(diào)整判定係數(shù)為14.5迴歸方程式的檢定14.5.1與

的顯著性檢定14.5.2迴歸方程式的F檢定14.5迴歸方程式的檢定(續(xù))由於α與β的估計(jì)式a與b都是依變數(shù)Y的函數(shù)，而Y的變異數(shù)亦是隨機(jī)誤差項(xiàng)ε的變異數(shù)σ2，因此就需求出σ2的估計(jì)式。估計(jì)隨機(jī)誤差項(xiàng)ε的變異數(shù)σ2:SSE的均方誤差(meansquareerror)MSE可以經(jīng)數(shù)學(xué)證明作為σ2的不偏估計(jì)式，故，其中

14.5.1與

的顯著性檢定因?yàn)閅為一常態(tài)分配，所以a與b的抽樣分配亦為常態(tài)分配，

其中14.5.1與

的顯著性檢定(續(xù))14.5.1與

的顯著性檢定(續(xù)1)

的(1－)%信賴區(qū)間:例14.8續(xù)例14.7試在顯著水準(zhǔn)為0.05的情況下，檢定廣告支出是否對(duì)營(yíng)業(yè)額有影響。虛無(wú)與對(duì)立假設(shè)為：H0：

=0vs.H1：

0

檢定統(tǒng)計(jì)量之值：其中例14.8續(xù)例14.7(續(xù))因?yàn)?，所以拒絕H0，亦即資料顯示廣告支出對(duì)營(yíng)業(yè)額有影響。在ABC公司的例子而言，β的95%區(qū)間估計(jì)如下：14.5.1與的顯著性檢定(續(xù)2〕有關(guān)

的檢定假設(shè)：H0：

=0vs.

H1：

0檢定統(tǒng)計(jì)量：決策法則：或時(shí)，拒絕H0。註：

當(dāng)樣本數(shù)大於等於30時(shí)，則可使用z檢定，其檢定統(tǒng)計(jì)量不變。14.5.1與的顯著性檢定(續(xù)3〕的(1－)%的信賴區(qū)間14.5.2迴歸方程式的F檢定有關(guān)迴歸方程式解釋能力檢定虛無(wú)與對(duì)立假設(shè)

H0：迴歸方程式不具解釋能力(

=0)

H1：迴歸方程式具解釋能力(

0)檢定統(tǒng)計(jì)量：決策法則：，時(shí)拒絕H0。14.5.2迴歸方程式的F檢定〔續(xù)〕表14.5變異數(shù)分析表例14.9續(xù)例14.6試用F檢定來(lái)決定廣告支出是否對(duì)營(yíng)業(yè)額有影響，可由例14.6的估計(jì)迴歸方程式，我們整理得到表14.6表14.6ABC公司變異數(shù)分析表因此拒絕H0，亦即資料顯示線性迴歸方程式具解釋能力。14.6利用估計(jì)線性迴歸方程式進(jìn)行預(yù)測(cè)在求得估計(jì)迴歸方程式後，如果它的配適度很高，亦即判定係數(shù)R2很高，那麼我們就可以利用它來(lái)估計(jì)在某一特定值下，依變數(shù)的值為何?在下，對(duì)依變數(shù)的估計(jì)可分為兩種，第一種是估計(jì)全部可能值的平均數(shù)，以表之，另一種則是估計(jì)個(gè)別的值，以表之。14.6利用估計(jì)線性迴歸方程式

進(jìn)行預(yù)測(cè)(續(xù))X=x0下估計(jì)點(diǎn)估計(jì)值，的(1-α)%區(qū)間估計(jì)註：當(dāng)大樣本時(shí)，tn-2,α/2以zα/2代之。例14.10續(xù)例14.6

假設(shè)該行銷經(jīng)理想預(yù)測(cè)當(dāng)廣告支出為25仟元時(shí)，營(yíng)業(yè)額的平均值為何？又其95%的信賴區(qū)間為何？估計(jì)迴歸方程式為在廣告支出為25仟元時(shí)，平均營(yíng)業(yè)額的預(yù)測(cè)為99.07仟元。例14.10續(xù)例14.6(續(xù))平均營(yíng)業(yè)額的95%區(qū)間估計(jì)為亦即，在廣告支出為25仟元，95%的信賴區(qū)間水準(zhǔn)下，平均營(yíng)業(yè)額的信賴區(qū)間為96.97仟元到101.17仟元之間。14.6利用估計(jì)線性迴歸方程式

進(jìn)行預(yù)測(cè)(續(xù)1)X=x0下估計(jì)其中

14.6利用估計(jì)線性迴歸方程式

進(jìn)行預(yù)測(cè)〔續(xù)2〕

的(1-α)%區(qū)間估計(jì)註：當(dāng)大樣本時(shí)，tn-2,α/2以zα/2代之。例14.11續(xù)例14.6廣告支出為25仟元時(shí)的營(yíng)業(yè)額預(yù)測(cè)值為何？又95%的信賴區(qū)間為何？當(dāng)廣告支出為25仟元時(shí)的營(yíng)業(yè)額預(yù)測(cè)值為99.07千元。例14.11續(xù)例14.6(續(xù))95%信賴區(qū)間為在廣告支出為25仟元，95%的信賴水準(zhǔn)下，營(yíng)業(yè)額的信賴區(qū)間為92.19仟元到105.95仟元之間。14.6利用估計(jì)線性迴歸方程式進(jìn)行預(yù)測(cè)〔續(xù)3〕與比較的信賴區(qū)間較窄。當(dāng)愈靠近，則與愈小，因此信賴區(qū)間就愈窄。