PAGEPAGE1計(jì)算題規(guī)范練61．(2024·南京三模)如圖甲所示，A、B是在真空中水平正對(duì)的兩塊金屬板，板長(zhǎng)L＝40cm，板間距d＝24cm，在B板左側(cè)邊緣有一粒子源，能連續(xù)勻稱放射帶負(fù)電的粒子，粒子緊貼B板水平向右射入，粒子的比荷eq\f(q,m)＝1.0×108C/kg，初速度v0＝2×105m/s，粒子重力不計(jì)．在A、B兩板間加上如圖乙所示的電壓，周期T＝2.0×10－6s，t＝0時(shí)刻A板電勢(shì)高于B板電勢(shì)，兩板間電場(chǎng)可視為勻強(qiáng)電場(chǎng)，電勢(shì)差U0＝360V，A、B板右側(cè)邊緣處有一個(gè)邊界MN.求：(1)帶電粒子離開電場(chǎng)時(shí)的速度大小；(2)帶電粒子從電場(chǎng)射出到MN邊界上的寬度Δy.解析：(1)設(shè)帶電粒子在兩金屬板間運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t1，則L＝v0t1，解得t1＝2×10－6s，因?yàn)閠1＝T，所以無論何時(shí)射入電場(chǎng)，帶電粒子在電場(chǎng)中加速運(yùn)動(dòng)時(shí)間均相同．設(shè)帶電粒子離開電場(chǎng)時(shí)豎直方向上速度大小為vy，帶電粒子在兩金屬板間運(yùn)動(dòng)的加速度為a，則eq\f(qU0,d)＝ma，vy＝aeq\f(t1,2)，聯(lián)立解得vy＝1.5×105m/s.帶電粒子離開電場(chǎng)時(shí)的速度v＝eq\r(v\o\al(2,x)＋v\o\al(2,y))＝2.5×105m/s，(2)由題可知，當(dāng)帶電粒子在t＝kT(k＝0,1,2…)時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)，帶電粒子的側(cè)向位移最大，其側(cè)向位移ymax＝eq\f(1,2)a(eq\f(t1,2))2＋a(eq\f(t1,2))2＝22.5cm，當(dāng)帶電粒子在t＝kT＋eq\f(T,2)(k＝0,1,2…)時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)，帶電粒子的側(cè)向位移最小，其側(cè)向位移ymin＝eq\f(1,2)a(eq\f(t1,2))2＝7.5cm，帶電粒子從電場(chǎng)射出到MN邊界上的寬度Δy＝y(tǒng)max－ymin＝15cm.答案：(1)2.5×105m/s(2)15cm2．(2024·錦州模擬)如圖所示，兩根相同的輕質(zhì)彈簧，中間與質(zhì)量為m的圓環(huán)相連于O位置，另一端各自固定在同一水平線上的P、Q兩點(diǎn)，彈簧恰好處于原長(zhǎng)L，圓環(huán)套在光滑的豎直細(xì)桿上，細(xì)桿上的A、B兩點(diǎn)關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱，OA＝H.現(xiàn)將圓環(huán)沿桿拉至A位置由靜止釋放，當(dāng)下滑到速度最大時(shí)，彈簧與細(xì)桿間的夾角為θ，整個(gè)過程中，彈簧處于彈性限度范圍內(nèi)．重力加速度為g.求：(1)圓環(huán)過O點(diǎn)時(shí)的加速度．(2)圓環(huán)過B點(diǎn)的瞬時(shí)速度．(3)每根輕質(zhì)彈簧的勁度系數(shù)．解析：(1)物體下落到O點(diǎn)時(shí)只受重力作用，由牛頓其次定律得：F＝mg＝ma，解得：a＝g.(2)圓環(huán)從A到B過程中，由對(duì)稱性可知，彈簧彈力做總功為零，圓環(huán)不受摩擦力作用，只有重力做功，由動(dòng)能定理得：2mgH＝eq\f(1,2)mv2－0，解得：v＝2eq\r(gH).(3)下落過程中，當(dāng)環(huán)所受合力為零時(shí)速度最大，由牛頓其次定律有：2F彈cosθ＝mg，解得：F彈＝eq\f(mg,2cosθ)，由胡克定律得：F彈＝kΔx，彈簧的伸長(zhǎng)量為：Δx＝eq\f(L,sinθ)－L，解得：k＝eq\f(mgtanθ,2L1－sinθ).答案：(1)g(2)2eq\r(gH)(3)eq\f(mgtanθ,2L1－sinθ)3．(2024·南昌調(diào)研)磁聚焦被廣泛地應(yīng)用在電真空器件中．如圖所示，在坐標(biāo)xOy中存在有界的勻強(qiáng)聚焦磁場(chǎng)，方向垂直坐標(biāo)平面對(duì)外，磁場(chǎng)邊界PQ直線與x軸平行，與x軸的距離為eq\f(2\r(3)a,3)，邊界POQ的曲線方程為y＝eq\f(xa－x,\r(\f(a2,3)－x2))，且方程關(guān)于y軸對(duì)稱．在坐標(biāo)x軸上A處有一粒子源，向著不同方向射出大量質(zhì)量均為m、電荷量均為q的帶正電粒子，全部粒子的初速度大小相同，均為v，粒子通過有界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)后都會(huì)聚焦在x軸上的F點(diǎn)．已知A點(diǎn)坐標(biāo)為(－a,0)，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為(a,0)，不計(jì)粒子所受的重力和相互作用．(1)求勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度．(2)粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度方向與x軸的夾角為多大時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)？最長(zhǎng)時(shí)間為多少？解析：(1)設(shè)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，圓心為C，從D處射出磁場(chǎng)，其坐標(biāo)為(x，y)，由Rt△CED相像于Rt△FGD可得eq\f(y,x)＝eq\f(a－x,\r(r2－x2)).又POQ的曲線方程為y＝eq\f(xa－x,\r(\f(a2,3)－x2))解得r＝eq\f(\r(3),3)a，且r＝eq\f(mv,qB)，解得B＝eq\f(\r(3)mv,aq).(2)設(shè)粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度方向與x軸夾角為θ時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡與PQ相切，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，最長(zhǎng)時(shí)間為t，粒子的軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為α，且設(shè)此時(shí)，粒子飛出磁場(chǎng)時(shí)的位置坐標(biāo)為(x′，y′)由幾何學(xué)問得eq\f(2\r(3)a,3)＝r＋y－rcosθ，x′＝rsinθ，解得sinθ＝eq\f(\r(3),2)，θ＝60°＝eq\f(π,3)，且t＝eq