專題05整式中的應(yīng)用、規(guī)律、新定義型的五種考法目錄解題知識(shí)必備 1壓軸題型講練 1類型一、整式的加減實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題 1類型二、單項(xiàng)式的規(guī)律探究問(wèn)題題 6類型三、整式中的數(shù)字類規(guī)律探究問(wèn)題 7類型四、整式中的圖形類規(guī)律探究問(wèn)題 11類型五、整式加減中的新定義型問(wèn)題 15壓軸能力測(cè)評(píng)（15題） 19解題知識(shí)必備1.整式的加減運(yùn)算法則一般地，幾個(gè)整式相加減，如果有括號(hào)就先去括號(hào)，然后再合并同類項(xiàng)．【要點(diǎn)提示】（1）整式加減的一般步驟是：①先去括號(hào)；②再合并同類項(xiàng)．（2）兩個(gè)整式相加減時(shí)，減數(shù)一定先要用括號(hào)括起來(lái)．(3)整式加減的最后結(jié)果中：①不能含有同類項(xiàng)，即要合并到不能再合并為止；②一般按照某一字母的降冪或升冪排列；③不能出現(xiàn)帶分?jǐn)?shù)，帶分?jǐn)?shù)要化成假分?jǐn)?shù)．壓軸題型講練類型一、整式的加減實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題例題：（23-24七年級(jí)上·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）小亮房間窗戶的窗簾如圖（1）所示，它是由兩個(gè)四分之一圓組成（半徑相同）．(1)如圖（1），請(qǐng)用代數(shù)式表示窗簾的面積：________；用代數(shù)式表示窗戶能射進(jìn)陽(yáng)光的面積：__________；（結(jié)果保留π）(2)小亮又設(shè)計(jì)了如圖（2）的窗簾（由一個(gè)半圓和兩個(gè)四分之一圓組成，半徑相同），請(qǐng)你用代數(shù)式表示窗戶能射進(jìn)陽(yáng)光的面積：________；（結(jié)果保留π）(3)當(dāng)米，米時(shí)，圖（2）中窗戶能射進(jìn)陽(yáng)光的面積與圖（1）中窗戶能射進(jìn)陽(yáng)光的面積的差為_(kāi)_______（π取3）【答案】(1)；(2)(3)【分析】本題考查列代數(shù)式和整式加減的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是用代數(shù)式表示出裝飾物的面積．（1）將兩個(gè)四分之一的圓面積相加即是裝飾物的面積，用矩形的面積減去裝飾物的面積即是射進(jìn)陽(yáng)光的面積；（2）用矩形面積減去一個(gè)半圓和兩個(gè)四分之一圓的面積即為射進(jìn)陽(yáng)光的面積；（3）將（2）（1）的結(jié)論作差，再將米，米代入，即可求解．【詳解】（1）解：由題意知：四分之一圓的半徑為，∴裝飾物的面積為：，∴窗戶能射進(jìn)陽(yáng)光的面積為：；（2）解：由題意知：半圓和四分之一圓的半徑為，∴裝飾物的面積為：，∴圖2窗戶能射進(jìn)陽(yáng)光的面積為：；（3）解：，將代入，可得：原式，答：兩圖中窗戶能射進(jìn)陽(yáng)光的面積相差．【變式訓(xùn)練1】（23-24七年級(jí)上·河南駐馬店·期末）如圖，學(xué)校要利用專款建一長(zhǎng)方形的電動(dòng)車停車場(chǎng)，其他三面用護(hù)欄圍起，其中長(zhǎng)方形停車場(chǎng)的長(zhǎng)為米，寬比長(zhǎng)少米．(1)用表示長(zhǎng)方形停車場(chǎng)的寬；(2)求護(hù)欄的總長(zhǎng)度；(3)若，每米護(hù)欄造價(jià)100元，求建此停車場(chǎng)所需的費(fèi)用．【答案】(1)米(2)護(hù)欄的長(zhǎng)度是米；(3)建此停車場(chǎng)所需的費(fèi)用是23000元．【分析】本題考查了整式的加減、列代數(shù)式和代數(shù)式求值，解題時(shí)要數(shù)形結(jié)合，該護(hù)欄的長(zhǎng)度是由三條邊組成的．（1）長(zhǎng)方形停車場(chǎng)的寬=長(zhǎng)方形停車場(chǎng)的長(zhǎng)；（2）護(hù)欄的長(zhǎng)度=2×與圍墻垂直的邊長(zhǎng)+與圍墻平行的一邊長(zhǎng)；（3）把a(bǔ)、b的值代入（2）中的代數(shù)式進(jìn)行求值即可．【詳解】（1）解：依題意得長(zhǎng)方形停車場(chǎng)的寬：米；（2）解：護(hù)欄的長(zhǎng)度；答：護(hù)欄的長(zhǎng)度是米；（3）解：由（2）知，護(hù)欄的長(zhǎng)度是米，則依題意得：（元）．答：若，每米護(hù)欄造價(jià)100元，建此停車場(chǎng)所需的費(fèi)用是23000元．【變式訓(xùn)練2】（23-24七年級(jí)上·四川瀘州·階段練習(xí)）如圖，長(zhǎng)為，寬為的大長(zhǎng)方形被分割成7小塊，除陰影A，B外，其余5塊是形狀、大小完全相同的小長(zhǎng)方形．其較短一邊長(zhǎng)為．(1)從圖可知，這5塊完全相同的小長(zhǎng)方形較長(zhǎng)邊的長(zhǎng)是(用含的代數(shù)式表示)(2)分別計(jì)算陰影A，B的周長(zhǎng)（用含，的代數(shù)式表示）(3)當(dāng)，時(shí)，分別計(jì)算陰影A，B的面積．【答案】(1)(2)陰影A的周長(zhǎng)為；陰影B的周長(zhǎng)為(3)陰影A的面積為：；陰影B的面積為：【分析】本題主要考查了列代數(shù)式，以及代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握長(zhǎng)方形的面積公式和周長(zhǎng)公式．（1）根據(jù)圖形用已知數(shù)據(jù)和y表示出小長(zhǎng)方形較長(zhǎng)邊的長(zhǎng)即可；（2）根據(jù)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)公式計(jì)算陰影A，B的周長(zhǎng)即可；（3）根據(jù)，，結(jié)合長(zhǎng)方形面積公式分別求出陰影A，B的面積即可．【詳解】（1）解：由圖可知，每塊小長(zhǎng)方形較長(zhǎng)邊的長(zhǎng)是；故答案為：；（2）解：陰影A的周長(zhǎng)為：，陰影B的周長(zhǎng)為，（3）解：當(dāng)時(shí)，陰影A的面積為：，陰影B的面積為：答：陰影A的面積為：；陰影B的面積為：【變式訓(xùn)練3】（23-24七年級(jí)上·湖北宜昌·期中）甲、乙兩商場(chǎng)分別出售A型、B型兩種電暖氣，零售價(jià)及運(yùn)費(fèi)如下表所示：商場(chǎng)A型電暖氣B型電暖氣運(yùn)費(fèi)A電暖氣B電暖氣甲200元/臺(tái)300元/臺(tái)10元/臺(tái)10元/臺(tái)乙220元/臺(tái)290元/臺(tái)免運(yùn)費(fèi)12元/臺(tái)某公司計(jì)劃在甲商場(chǎng)或乙商場(chǎng)選擇一家采購(gòu)兩種電暖氣共100臺(tái)，其中A型電暖氣需要買x臺(tái)．(1)請(qǐng)用含x的代數(shù)式分別表示在兩家商場(chǎng)購(gòu)買電暖氣所需要的總費(fèi)用（總費(fèi)用=購(gòu)買價(jià)+運(yùn)費(fèi)）；(2)若需購(gòu)買A型電暖氣40臺(tái)，在哪個(gè)商場(chǎng)購(gòu)買劃算？若可以同時(shí)在兩家商場(chǎng)自由選擇，還有更優(yōu)惠的方案嗎？請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種方案．【答案】(1)在甲商場(chǎng)購(gòu)買電暖氣所需要的總費(fèi)用為元，在乙商場(chǎng)購(gòu)買電暖氣所需要的總費(fèi)用為元(2)在乙商場(chǎng)購(gòu)買劃算；更優(yōu)惠的方案為：在甲商場(chǎng)中購(gòu)買40臺(tái)A型電暖氣，在乙商場(chǎng)中購(gòu)買60臺(tái)B型電暖氣費(fèi)【分析】本題考查列代數(shù)式及其求值、整式的加減運(yùn)算的應(yīng)用，理解題意，正確列出代數(shù)式是解答的關(guān)鍵．（1）設(shè)A型電暖氣需要買x臺(tái)，則B型電暖氣需要買臺(tái)，根據(jù)總費(fèi)用=購(gòu)買價(jià)+運(yùn)費(fèi)列出對(duì)應(yīng)代數(shù)式即可求解；（2）將代入（1）代數(shù)式中求解，結(jié)合表中數(shù)據(jù)，進(jìn)而比較大小可作出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)A型電暖氣需要買x臺(tái)，則B型電暖氣需要買臺(tái)，根據(jù)題意，在甲商場(chǎng)購(gòu)買電暖氣所需要的總費(fèi)用為元；在乙商場(chǎng)購(gòu)買電暖氣所需要的總費(fèi)用為元；（2）解：當(dāng)時(shí)，在甲商場(chǎng)購(gòu)買電暖氣所需要的總費(fèi)用為（元），在乙商場(chǎng)購(gòu)買電暖氣所需要的總費(fèi)用為（元），根據(jù)表格數(shù)據(jù)，甲商場(chǎng)中的A型電暖氣費(fèi)用低，乙商場(chǎng)中的B型電暖氣費(fèi)用低，則同時(shí)在兩家商場(chǎng)自由選擇的較低費(fèi)用為（元），∵，∴需購(gòu)買A型電暖氣40臺(tái)，在乙商場(chǎng)購(gòu)買劃算，若可以同時(shí)在兩家商場(chǎng)自由選擇，還有更優(yōu)惠的方案為：在甲商場(chǎng)中購(gòu)買40臺(tái)A型電暖氣，在乙商場(chǎng)中購(gòu)買60臺(tái)B型電暖氣費(fèi)．類型二、單項(xiàng)式的規(guī)律探究問(wèn)題題例題：（23-24八年級(jí)下·青海西寧·開(kāi)學(xué)考試）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：，第2024個(gè)單項(xiàng)式是．【答案】【分析】本題考查了與單項(xiàng)式有關(guān)的規(guī)律探索，觀察指數(shù)規(guī)律與符號(hào)規(guī)律，進(jìn)行解答便可．【詳解】解：∵，∴系數(shù)的規(guī)律為，指數(shù)的規(guī)律為n，∴第n個(gè)單項(xiàng)式為：，當(dāng)時(shí)，單項(xiàng)式為，故答案為：．【變式訓(xùn)練1】（23-24七年級(jí)上·山東濱州·期末）觀察下列單項(xiàng)式：x，，，，，…考慮它們的系數(shù)和次數(shù)．請(qǐng)寫出第8個(gè)：．【答案】【分析】本題考查數(shù)字的變化類，根據(jù)題目中的單項(xiàng)式可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字因數(shù)和字母的指數(shù)的變化特點(diǎn)，即可寫出第n個(gè)單項(xiàng)式，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵一列單項(xiàng)式：x，，，，，…∴第n個(gè)單項(xiàng)式為：，當(dāng)時(shí)，這個(gè)單項(xiàng)式是，故答案為：．【變式訓(xùn)練2】（23-24七年級(jí)上·遼寧鐵嶺·期末）按一定規(guī)律排列的數(shù)依次為：，，，，…，其中，按此規(guī)律排列下去，第10個(gè)數(shù)是．【答案】【分析】本題考查單項(xiàng)式中的規(guī)律探究，根據(jù)已有單項(xiàng)式，得到第個(gè)單項(xiàng)式為：，進(jìn)而求出第10個(gè)數(shù)即可．【詳解】解：觀察可得：第個(gè)單項(xiàng)式為：，∴第10個(gè)數(shù)是；故答案為：．【變式訓(xùn)練3】（23-24七年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期中）一組按規(guī)律排列的式子：，，，，…根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：寫出第6個(gè)式子是，第個(gè)式子是．（為正整數(shù)）【答案】【分析】本題考查單項(xiàng)式規(guī)律的探究．觀察可得：每一個(gè)式子都是分?jǐn)?shù)形式，其中第奇數(shù)個(gè)式子為負(fù)，第偶數(shù)個(gè)式子為正；分母為，分子為，由此即可得出答案．【詳解】解：∵，，，、……，第n個(gè)式子是，∴第6個(gè)式子是，故答案為：；．類型三、整式中的數(shù)字類規(guī)律探究問(wèn)題例題：（23-24七年級(jí)上·河北保定·期中）觀察下列各式：第1個(gè)式子：，第2個(gè)式子：，第3個(gè)式子：．…根據(jù)其規(guī)律，解答下列問(wèn)題：(1)．(2)第n個(gè)式子為．(3)利用以上規(guī)律計(jì)算：．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了有理數(shù)計(jì)算中的規(guī)律問(wèn)題，掌握“裂項(xiàng)”規(guī)律是解題關(guān)鍵，此題旨在考查學(xué)生的舉一反三能力．（1）觀察各等式左右兩邊的變化規(guī)律，即可求解；（2）第n個(gè)式子左邊為：，右邊為：；（3）利用所得規(guī)律即可“裂項(xiàng)”求解．【詳解】（1），故答案為：；（2）解：第n個(gè)式子為：故答案為：；（3）解：原式．．【變式訓(xùn)練1】（23-24七年級(jí)上·四川宜賓·期末）試探索代數(shù)式與的關(guān)系．(1)當(dāng)，時(shí)，分別求代數(shù)式與的值；(2)當(dāng)，時(shí)，分別求代數(shù)式與的值；(3)從上述計(jì)算中，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？當(dāng)，時(shí)，請(qǐng)利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律求代數(shù)式的值．【答案】(1)，(2)，(3)，【分析】本題考查了代數(shù)式的求值，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解決此題的關(guān)鍵．（1）把，分別代入與計(jì)算即可；（2）把，分別代入與計(jì)算即可；（3）由（1）（2）總結(jié)可得，再利用規(guī)律計(jì)算即可．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，．（2）當(dāng)時(shí)，，；（3）歸納可得：；當(dāng)時(shí)，．【變式訓(xùn)練2】（22-23六年級(jí)上·山東威?！て谀┯^察下面的等式：；；；；．回答下列問(wèn)題：(1)填空：______；(2)設(shè)滿足上面特征的等式最左邊的數(shù)為a，請(qǐng)你直接寫出此時(shí)的等式．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了絕對(duì)值的意義，探索規(guī)律，能夠通過(guò)所給的式子找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）利用題干中等式的特征解答即可；（2）根據(jù)題目中給出的已知等式得出規(guī)律，寫出等式最左邊的數(shù)為a時(shí)的等式即可．【詳解】（1）解：由題意得：；（2）解：；；；；；……．【變式訓(xùn)練3】（23-24七年級(jí)上·湖北隨州·期末）觀察以下等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；……按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：(1)寫出第（取正整數(shù)）個(gè)等式：______（用含的等式表示）；(2)利用以上規(guī)律計(jì)算的值．【答案】(1)(2)6【分析】本題主要考查了數(shù)字的變化類、有理數(shù)的混合運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)，明確題意、發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題目中給出的等式的規(guī)律，即可寫出第n個(gè)等式；（2）先根據(jù)（1）得到的等式規(guī)律，然后運(yùn)用乘法分配律解答即可．【詳解】（1）解：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；……第n個(gè)等式：．故答案為：．（2）解：由（1）的規(guī)律化解原式：．類型四、整式中的圖形類規(guī)律探究問(wèn)題例題：（2024·安徽宣城·一模）下面的圖形是由邊長(zhǎng)為1的正方形按照某種規(guī)律排列而組成的，如圖①，正方形的個(gè)數(shù)為8，周長(zhǎng)為18．(1)推測(cè)第4個(gè)圖形中，正方形的個(gè)數(shù)為_(kāi)__________，周長(zhǎng)為_(kāi)__________；(2)推測(cè)第n個(gè)圖形中，正方形的個(gè)數(shù)為_(kāi)__________，周長(zhǎng)為_(kāi)__________；（都用含n的代數(shù)式表示）．【答案】(1)23，48(2)，【分析】本題主要考查了根據(jù)圖示尋找規(guī)律，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．（1）依次數(shù)出，2，3，4時(shí)正方形的個(gè)數(shù)，算出圖形的周長(zhǎng)；（2）根據(jù)規(guī)律以此類推，可得出第個(gè)圖形中，正方形的個(gè)數(shù)為及周長(zhǎng)．【詳解】（1）解：（1）因?yàn)闀r(shí)，正方形有8個(gè)，即，周長(zhǎng)是18，即，時(shí)，正方形有13個(gè)，即，周長(zhǎng)是28，即，時(shí)，正方形有18個(gè)，即，周長(zhǎng)是38，即，時(shí)，正方形有23個(gè)，即，周長(zhǎng)是48，即．（2）解：由（1）可知，時(shí)，正方形有個(gè)，周長(zhǎng)是．【變式訓(xùn)練1】（23-24七年級(jí)上·四川達(dá)州·期末）找規(guī)律：(1)小馬利用計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)了一個(gè)計(jì)算程序，輸入和輸出的數(shù)據(jù)如下表：輸入…12345…輸出……請(qǐng)問(wèn)：當(dāng)小馬輸入數(shù)據(jù)8時(shí)，輸出的數(shù)據(jù)是（

）(2)一張長(zhǎng)方形桌子可坐6人，按下圖方式講桌子拼在一起．

①2張桌子拼在一起可坐______人，3張桌子拼在一起可坐____人，n張桌子拼在一起可坐______人．②一家餐廳有40張這樣的長(zhǎng)方形桌子，按照上圖方式每5張桌子拼成1張大桌子，則40張桌子可拼成8張大桌子，共可坐多少人．【答案】(1)(2)①；②共可坐112人【分析】本題主要考查數(shù)字規(guī)律的運(yùn)算，理解表格信息，圖示信息，找出數(shù)量關(guān)系，掌握含有乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)表格信息，可得分子為，分母為，為大于零的整數(shù)，由此即可求解；（2）根據(jù)題意，把代入，可得5張桌子拼在一起可以坐的人數(shù)，再計(jì)算8大張桌子的人數(shù)，即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)表格信息，可得分子為，分母為，為大于零的整數(shù)，∴輸入時(shí)，輸出的結(jié)果為，∴當(dāng)輸入時(shí)，輸出的結(jié)果為，故答案為：；（2）解：①根據(jù)題意，2張桌子拼在一起可以坐8人，3張桌子拼在一起可以坐10人，∴張桌子拼在一起可以坐：人，故答案為：；②當(dāng)時(shí)，即5張桌子拼在一起時(shí)可以坐（人），∴8張大桌子可以坐（人），∴共可以坐112人．【變式訓(xùn)練2】（2024七年級(jí)上·江蘇·專題練習(xí)）觀察圖1至圖5中小黑點(diǎn)的擺放規(guī)律，并按照這樣的規(guī)律繼續(xù)擺放，記第n個(gè)圖中小黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)為y．①填表：n12345…y

1313…②當(dāng)時(shí)，．③你能發(fā)現(xiàn)n與y之間的關(guān)系嗎？【答案】①見(jiàn)解析；②57；③【分析】本題考查了圖形類規(guī)律探索，找出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．①根據(jù)已知圖形數(shù)出黑點(diǎn)個(gè)數(shù)是解題關(guān)鍵；②根據(jù)題意得出一般規(guī)律：圖n黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)是：，據(jù)此即可求解；③根據(jù)②作答即可．【詳解】解：①由圖形可知，時(shí)，；，，填表如下：n12345…y

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…②由題意可知，圖1黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)是：1；圖2黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)是：；圖3黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)是：；…觀察可知，圖n黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)是：，即時(shí)，，故答案為：57；③由②可知，n與y之間的關(guān)系為．【變式訓(xùn)練3】（2024·安徽馬鞍山·二模）【觀察思考】用同樣大小的圓形棋子按如圖所示的規(guī)律擺放：第1個(gè)圖形中有6個(gè)棋子，第2個(gè)圖形中有9個(gè)棋子，第3個(gè)圖形中有12個(gè)棋子，第4個(gè)圖形中有15個(gè)棋子，以此類推．【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】（1）第6個(gè)圖形中有____________個(gè)圓形棋子；（2）第n個(gè)圖形中有____________個(gè)圓形棋子；（用含n的代數(shù)式表示）【規(guī)律應(yīng)用】（3）將2024個(gè)圓形棋子按照題中的規(guī)律一次性擺放，且棋子全部用完．若能擺放，是第幾個(gè)圖形？若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）（3）不能，理由見(jiàn)解析【分析】本題主要考查數(shù)與形結(jié)合的規(guī)律，以及列代數(shù)式相關(guān)知識(shí)，發(fā)現(xiàn)每一個(gè)圖形中的棋子數(shù)比前一個(gè)圖形多3個(gè)是解本題的關(guān)鍵．（1）觀察得到每一個(gè)圖形中的棋子數(shù)比前一個(gè)圖形多3個(gè)，即可得出答案；（2）根據(jù)（1）中規(guī)律表示出第n個(gè)圖形中的棋子數(shù)，即可得解；（3）由（2）中的規(guī)律可知，，解方程并分析即可解題．【詳解】（1）解：由圖知，第1個(gè)圖形中有個(gè)圓形棋子，第2個(gè)圖形中有個(gè)圓形棋子，第3個(gè)圖形中有個(gè)圓形棋子，第4個(gè)圖形中有個(gè)圓形棋子，，依此類推，第6個(gè)圖形中有個(gè)圓形棋子，故答案為：．（2）解：由（1）中規(guī)律可知，第個(gè)圖形中有個(gè)圓形棋子，故答案為：．（3）解：不能，理由如下：由題知，，解得，不為整數(shù)．2024個(gè)圓形棋子不能按照題中的規(guī)律一次性擺放．類型五、整式加減中的新定義型問(wèn)題例題：（23-24七年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）定義：若，則稱與是關(guān)于的相關(guān)數(shù)．(1)若與是關(guān)于的相關(guān)數(shù)，則______．(2)若與是關(guān)于的相關(guān)數(shù)，，的值與無(wú)關(guān)，求的值．【答案】(1)3(2)8【分析】（1）根據(jù)相關(guān)數(shù)的定義得到，從而得到a的值；（2）根據(jù)相關(guān)數(shù)的定義得到，從而，根據(jù)B的值與m無(wú)關(guān)得到，求出n的值，從而得到B的值．本題考查了合并同類項(xiàng)，新定義問(wèn)題，掌握與m無(wú)關(guān)就合并同類項(xiàng)后讓m前面的系數(shù)等于0是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵，∴，故答案為：3；（2）解：∵，∴∴∵B的值與m無(wú)關(guān)，∴，∴，∴．答：B的值為8．【變式訓(xùn)練1】（23-24七年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）定義：若，則稱a與b是關(guān)于數(shù)n的平均數(shù)．比如3與是關(guān)于的平均數(shù)，7與13是關(guān)于10的平均數(shù)．(1)填空：2與_______是關(guān)于的平均數(shù)，______與是關(guān)于2的平均數(shù)；(2)現(xiàn)有與（k為常數(shù)），且a與b始終是關(guān)于數(shù)n的平均數(shù)，與x的取值無(wú)關(guān)，求n的值．【答案】(1)；(2)【分析】本題主要考查了整式的加減計(jì)算，整式加減中的無(wú)關(guān)型問(wèn)題：（1）根據(jù)所給的定義列式計(jì)算即可；（2）先根據(jù)整式的加減計(jì)算法則求出，再根據(jù)a與b始終是關(guān)于數(shù)n的平均數(shù)，與x的取值無(wú)關(guān)，得到，則，再由，即可求出答案．【詳解】（1）解：設(shè)2與m是關(guān)于的平均數(shù)，∴，∴；設(shè)n與是關(guān)于2的平均數(shù)，∴，∴；故答案為：；；（2）解：∵與，∴，∵a與b始終是關(guān)于數(shù)n的平均數(shù)，與x的取值無(wú)關(guān)，∴，∴，∴，∴．【變式訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)上·山西呂梁·期末）閱讀理解題我們定義：如果兩個(gè)多項(xiàng)式與的差為常數(shù)，且這個(gè)常數(shù)為正數(shù)，則稱是的“雅常式”，這個(gè)常數(shù)稱為關(guān)于的“雅常值”，如多項(xiàng)式，，，則是的“雅常式”，關(guān)于的“雅常值”為9(1)已知多項(xiàng)式，，則關(guān)于的“雅常值”是______；(2)多項(xiàng)式是多項(xiàng)式的“雅常式”且“雅常值”是3，已知多項(xiàng)式，求多項(xiàng)式(3)已知多項(xiàng)式（為常數(shù)），，是的“雅常式”，求關(guān)于的“雅常值”【答案】(1)1(2)(3)4【分析】本題考查了整式的加減運(yùn)算，注意計(jì)算的準(zhǔn)確性即可．（1）計(jì)算即可求解；（2）由題意得，據(jù)此即可求解；（3）計(jì)算，令含未知數(shù)的項(xiàng)的系數(shù)為零即可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴關(guān)于的“雅常值”是1故答案為：（2）解：多項(xiàng)式是的“雅常式”且“雅常值”是3，，.（3）解：.是的雅常式，，，，關(guān)于的“雅常值”是4.【變式訓(xùn)練3】（23-24七年級(jí)上·江蘇·周測(cè)）定義一種新運(yùn)算“”：，比如：．(1)_____________；_____________；(2)當(dāng)時(shí)，是否成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)給出一組的具體值加以說(shuō)明；(3)若，比較與的大?。敬鸢浮?1)16，(2)不成立，說(shuō)明見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【分析】本題考查了新定義運(yùn)算，有理數(shù)的混合運(yùn)算，整式的加減，解題的關(guān)鍵是：（1）直接根據(jù)新定義，代入計(jì)算即可；（2），假設(shè)分別代入計(jì)算即可發(fā)現(xiàn)結(jié)論；；（3）化簡(jiǎn)和，再計(jì)算，根據(jù)結(jié)果分類討論即可．【詳解】（1）解：；；（2），假設(shè)則：；；故不成立；（3）；；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．壓軸能力測(cè)評(píng)（15題）一、填空題1．（23-24七年級(jí)上·江西撫州·期末）觀察下列單項(xiàng)式：，，，，…，按此規(guī)律，第2024個(gè)單項(xiàng)式是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】單項(xiàng)式規(guī)律題【分析】本題主要考查了探究單項(xiàng)式規(guī)律問(wèn)題，能找出第個(gè)單項(xiàng)式為是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意可知第個(gè)：，第個(gè)：，第個(gè)：，第個(gè)：，第個(gè)：；第個(gè)單項(xiàng)式為：；故答案：．2．（23-24七年級(jí)上·湖南衡陽(yáng)·期末）將4個(gè)數(shù)a、b、c、d排成2行2列，兩邊各加一條豎直線為，叫做2階行列式，定義，則．【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】整式的加減運(yùn)算【分析】此題考查了整式的加減混合運(yùn)算，先根據(jù)題意列出算式，然后去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)求解即可．熟練掌握去括號(hào)、合并同類項(xiàng)法則是解本題的關(guān)鍵．【詳解】根據(jù)題意，得．故答案為：．二、解答題3．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）【觀察與發(fā)現(xiàn)】，，，，，，，(1)直接寫出：第7個(gè)單項(xiàng)式是；第8個(gè)單項(xiàng)式是；(2)第大于0的整數(shù)）個(gè)單項(xiàng)式是什么？并指出它的系數(shù)和次數(shù)．【答案】(1)，(2)第個(gè)單項(xiàng)式為：，它的系數(shù)為：，次數(shù)為：【知識(shí)點(diǎn)】單項(xiàng)式規(guī)律題【分析】本題是以單項(xiàng)式為背景的規(guī)律題目，確定單項(xiàng)式的系數(shù)規(guī)律、字母指數(shù)規(guī)律是解題關(guān)鍵．（1）觀察單項(xiàng)式的系數(shù)、字母指數(shù)，即可求解；（2）根據(jù)題意可得出通用規(guī)律，即可求解．【詳解】（1）由題意可知：?jiǎn)雾?xiàng)式的系數(shù)依次為：1，，5，，9，，，，x的指數(shù)都是2，的指數(shù)依次為：1，2，3，4，5，6，，，故第7個(gè)單項(xiàng)式是：，第8個(gè)單項(xiàng)式是：．故答案為：，；（2）由（1）可得出第個(gè)單項(xiàng)式為：，它的系數(shù)為：，次數(shù)為：．4．（23-24七年級(jí)下·安徽安慶·期末）觀察算式∶①；②③；④；……．根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決下列問(wèn)題：(1)寫出第5個(gè)算式∶_________________；(2)寫出第n個(gè)算式∶___________________；(3)計(jì)算∶．【答案】(1)(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】多個(gè)有理數(shù)的乘法運(yùn)算、數(shù)字類規(guī)律探索【分析】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，有理數(shù)的混合運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)算式中的規(guī)律并靈活運(yùn)用．（1）根據(jù)所給的等式的形式進(jìn)行求解即可；（2）分析所給的等式的形式進(jìn)行總結(jié)即可；（3）利用所給的等式的形式，把所求的式子進(jìn)行整理，從而可求解．【詳解】（1）解：由題意得：第個(gè)算式為：，故答案為：；（2）解：由題意得：第個(gè)算式為：，故答案為：；（3）解：．5．（23-24七年級(jí)上·江蘇連云港·開(kāi)學(xué)考試）用小棒按如下方式擺成圖形．(1)一個(gè)六邊形需要6根小棒擺成，擺2個(gè)六邊形需要（

）根小棒；擺3個(gè)六邊形需要（

）根小棒．(2)擺個(gè)六邊形需要（

）根小棒．(3)用2021根小棒可以擺成（

）個(gè)六邊形．【答案】(1)11，16(2)(3)404【知識(shí)點(diǎn)】用代數(shù)式表示數(shù)、圖形的規(guī)律、圖形類規(guī)律探索【分析】此題考查了圖形類規(guī)律題，根據(jù)題意找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圖形直接得出結(jié)果；（2）根據(jù)（1）中圖形，找出相應(yīng)規(guī)律即可；（3）利用（2）中規(guī)律求解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得：擺1個(gè)六邊形用了6根小棒，擺2個(gè)六邊形需要（根），擺3個(gè)需要（根），故答案為：11；16；（2）擺n個(gè)六邊形，需要小棒根，故答案為：；（3）當(dāng)時(shí)，，，故答案為：404．6．（23-24八年級(jí)上·廣東湛江·期末）觀察下面的變形規(guī)律：，，，……，解答下面的問(wèn)題：(1)＝，＝．(2)若為正整數(shù)，猜想＝．(3)求值．【答案】(1)，(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)字類規(guī)律探索、有理數(shù)四則混合運(yùn)算【分析】本題考查了數(shù)字的變化類、有理數(shù)的混合運(yùn)算：（1）根據(jù)題目中給出的算式，可以寫出相應(yīng)的算式；（2）根據(jù)題目中給出的算式，可以寫出相應(yīng)的猜想；（3）根據(jù)題目中的算式和所求式子的特點(diǎn)，可以先拆項(xiàng)，然后再計(jì)算即可．【詳解】解：（1），．故答案為：，．（2）若為正整數(shù)，．故答案為：．（3）．7．（23-24七年級(jí)上·貴州畢節(jié)·階段練習(xí)）閱讀材料：定義：若，則稱與是關(guān)于2的平衡數(shù)．例如：．所以與7是關(guān)于2的平衡數(shù)，，所以11與是關(guān)于2的平衡數(shù)：(1)3與________是關(guān)于2的平衡數(shù)，與________是關(guān)于2的平衡數(shù)．（第二空填一個(gè)含的代數(shù)式）(2)若，，判斷與是否是關(guān)于2的平衡數(shù)，并說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)與是關(guān)于2得平衡數(shù)，理由見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】整式加減的應(yīng)用、有理數(shù)加法運(yùn)算【分析】本題考查了有理數(shù)加法的運(yùn)算，整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)平衡數(shù)的定義，可以計(jì)算出3的平衡數(shù)和的平衡數(shù)；（2）將a和b相加，化簡(jiǎn)，看最后的結(jié)果是否為2即可．【詳解】（1）解：，與是關(guān)于2的平衡數(shù)，即，與是關(guān)于2的平衡數(shù)，故答案為：，；（2），，，與是關(guān)于2的平衡數(shù)．8．（23-24七年級(jí)上·安徽阜陽(yáng)·期末）把四張形狀大小完全相同的小長(zhǎng)方形卡片（如圖1），分兩種不同形式不重疊的放在一個(gè)底面長(zhǎng)為m，寬為n的長(zhǎng)方形盒子底部（如圖2，3），盒子底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示．設(shè)圖2中陰影部分圖形的周長(zhǎng)為，圖3中兩個(gè)陰影部分圖形的周長(zhǎng)的和為，(1)用含m，n的式子表示圖2陰影部分的周長(zhǎng)(2)若，求m，n滿足的關(guān)系？【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】整式加減的應(yīng)用【分析】本題考查整式加減的應(yīng)用：（1）觀察圖形，可知，陰影部分的周長(zhǎng)等于長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，計(jì)算即可；（2）設(shè)小卡片的寬為x，長(zhǎng)為y，則有，再將兩陰影部分的周長(zhǎng)相加，通過(guò)合并同類項(xiàng)即可求解，根據(jù)，即可求m、n的關(guān)系式．【詳解】（1）解：由圖可知，陰影部分的周長(zhǎng)等于長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，故；（2）設(shè)小長(zhǎng)形卡片的寬為x，長(zhǎng)為y，則，∴，所以兩個(gè)陰影部分圖形的周長(zhǎng)的和為：，即為∵，∴整理得：．9．（2023·湖南懷化·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于有理數(shù)a、b，定義一種新運(yùn)算“”，規(guī)定(1)計(jì)算的值．(2)當(dāng)、b在數(shù)軸上的位置如圖所示時(shí)，化簡(jiǎn)．(3)當(dāng)時(shí)，是否一定有或者？若是，則說(shuō)明理由；若不是，則舉例說(shuō)明．【答案】(1)20(2)(3)不一定，理由見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】整式加減的應(yīng)用、有理數(shù)四則混合運(yùn)算、化簡(jiǎn)絕對(duì)值、根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸的位置判斷式子的正負(fù)【分析】本題考查新定義運(yùn)算及數(shù)軸，解答的關(guān)鍵是根據(jù)新定義，轉(zhuǎn)化成有理數(shù)的運(yùn)算，整式的運(yùn)算．（1）原式利用題中的新定義計(jì)算即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置判斷出與的正負(fù)，利用絕對(duì)值的代數(shù)意義計(jì)算即可得到結(jié)果；（3）當(dāng)時(shí)，不一定有或者，舉例即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題中的新定義得：，，則；（2）解：根據(jù)題意可得，，∴∴；（3）解：由得，不一定有或者，例如：取，則，此時(shí)等式成立，但且；10．（23-24六年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期中）工大附中某樓窗戶的形狀如圖所示（圖中長(zhǎng)度單位：米），其上部是半圓形，下部是邊長(zhǎng)相同的四個(gè)小正方形，已知下部小正方形的邊長(zhǎng)是米．（取3）(1)求窗戶的面積；(2)求窗戶的外框（半圓和大正方形）的總長(zhǎng)；(3)當(dāng)時(shí)，為了隔音保暖，窗戶安裝的是帶有分隔線的雙層玻璃，每層這樣的玻璃每平方米20元，窗戶外框材料每米30元，求制作這樣一個(gè)窗戶需要多少錢？【答案】(1)平方米(2)米(3)元【知識(shí)點(diǎn)】用代數(shù)式表示式、整式的加減中的化簡(jiǎn)求值、整式加減的應(yīng)用【分析】本題考查了列代數(shù)式，整式的化簡(jiǎn)，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，根據(jù)題意找出等量關(guān)系．（1）根據(jù)窗戶面積=正方形面積+半圓面積，即可解答；（2）根據(jù)窗戶外框總長(zhǎng)=正方形周長(zhǎng)+半圓弧長(zhǎng)，即可解答；（3）根據(jù)總費(fèi)用=玻璃費(fèi)用+窗框費(fèi)用，即可解答．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得：（平方米），答：窗戶的面積為平方米．（2）解：根據(jù)題意可得：（米），答：窗戶的外框總長(zhǎng)為米．（3）解：根據(jù)題意可得：，當(dāng)時(shí)，原式，答：制作這樣一個(gè)窗戶需要元錢．11．（23-24七年級(jí)上·四川達(dá)州·期末）用三角形和六邊形按如圖所示的規(guī)律拼圖案．(1)第4個(gè)圖案中，三角形的個(gè)數(shù)有個(gè)，六邊形的個(gè)數(shù)有個(gè)；(2)第n（n為正整數(shù)）個(gè)圖案中，三角形的個(gè)數(shù)與六邊形的個(gè)數(shù)各有多少個(gè)？(3)第2024個(gè)圖案中，三角形的個(gè)數(shù)與六邊形的個(gè)數(shù)各有多少個(gè)？(4)是否存在某個(gè)符合上述規(guī)律的圖案，其中有100個(gè)三角形與30個(gè)六邊形？如果有，指出是第幾個(gè)圖案；如果沒(méi)有，說(shuō)明理由．【答案】(1)10；4(2)第個(gè)圖案中有正三角形個(gè)．六邊形有個(gè)(3)三角形的個(gè)數(shù)為個(gè)；六邊形的個(gè)數(shù)為個(gè)(4)沒(méi)有，理由見(jiàn)詳解【知識(shí)點(diǎn)】圖形類規(guī)律探索、用代數(shù)式表示數(shù)、圖形的規(guī)律【分析】（1）觀察圖案，首先找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．即可得結(jié)論；（2）結(jié)合（1）即可得一般形式；（3）將代入（2）中所得的一般式即可求解；（4）根據(jù)，可得不存在某個(gè)符合上述規(guī)律的圖案，其中有100個(gè)三角形與30個(gè)六邊形．本題是一道找規(guī)律的題目，注意由特殊到一般的分析方法，此題的規(guī)律為：第個(gè)就有正三角形個(gè)．這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn)．【詳解】（1）解：第4個(gè)圖案中，三角形10個(gè)，六邊形有4個(gè)；故答案為：10；4；（2）解：由圖可知：第一個(gè)圖案有正三角形4個(gè)為．第二圖案比第一個(gè)圖案多2個(gè)為（個(gè)．第三個(gè)圖案比第二個(gè)多2個(gè)為（個(gè)．那么第個(gè)圖案中有正三角形個(gè)．六邊形有個(gè)．（3）解：由（2）知第個(gè)圖案中有正三角形個(gè)．六邊形有個(gè)∴第2024個(gè)圖案中，三角形與六邊形各有：（個(gè)，∴三角形的個(gè)數(shù)為個(gè)；六邊形的個(gè)數(shù)為個(gè)（4）解：沒(méi)有，理由如下：∵，∴不存在某個(gè)符合上述規(guī)律的圖案，其中有100個(gè)三角形與30個(gè)六邊形．12．（23-24七年級(jí)上·浙江金華·階段練習(xí)）如圖所示，1925年數(shù)學(xué)家莫倫發(fā)現(xiàn)的世界上第一個(gè)完美長(zhǎng)方形，它恰能被分割成個(gè)大小不同的正方形，其中標(biāo)注、的正方形邊長(zhǎng)分別為、，請(qǐng)你解答下列問(wèn)題：(1)用含、的代數(shù)式填空：第個(gè)正方形的邊長(zhǎng)；第個(gè)正方形的邊長(zhǎng)；第個(gè)正方形的邊長(zhǎng)．(2)當(dāng)時(shí)，第個(gè)正方形的面積．(3)當(dāng)、均為正整數(shù)時(shí)，求這個(gè)完美長(zhǎng)方形的最小周長(zhǎng)．【答案】(1)；；(2)144(3)224【知識(shí)點(diǎn)】整式加減的應(yīng)用、已知字母的值，求代數(shù)式的值、用代數(shù)式表示式【分析】本題考查了列代數(shù)式、整式的化簡(jiǎn)求值等知識(shí)點(diǎn)在幾何圖形中的應(yīng)用，能從幾何圖形中找到各邊之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)各個(gè)正方形的邊的和差關(guān)系即可分別表示出其邊長(zhǎng)；（2）在（1）基礎(chǔ)上，先求得第個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而求得其面積；（3）在（1）基礎(chǔ)上，利用第個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的兩種不同表示方法求得、的關(guān)系式，再根據(jù)已知條件確定、的取值，然后用含、的代數(shù)式表