專題16角的關(guān)系和動角問題三種類型目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 1類型一、方程思想求角度 1類型二、探究角的關(guān)系 5類型三、角的旋轉(zhuǎn)問題 11壓軸能力測評 20角的旋轉(zhuǎn)問題關(guān)注旋轉(zhuǎn)方向（順時針還是逆時針）；旋轉(zhuǎn)角度超過180時，角的內(nèi)部和外部發(fā)生的變化；解決角的旋轉(zhuǎn)問題時，往往用字母參數(shù)表示有關(guān)的角；類型一、方程思想求角度例．如圖，點O在直線上，與的度數(shù)之比為，，求的度數(shù)．

【答案】【分析】本題主要考查了角的和差，平角定義，先根據(jù)平角定義求出的度數(shù)，再根據(jù)得出答案．【詳解】解：∵，與的度數(shù)之比為，∴.又∵，∴．【變式訓(xùn)練1】．已知內(nèi)部有三條射線，，．(1)如圖1，若，，平分，平分．求的度數(shù)；(2)如圖2，若，，，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，以及角度的計算，正確理解角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．（1）首先根據(jù)角平分線的定義求得，然后求得的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義求得，然后根據(jù)求解；（2）根據(jù)，，得出，，根據(jù)，即可得到答案．【詳解】（1）解：∵平分，，∴，∵，平分，∴，∴；（2）解：∵，，∴，，∵，∴．【變式訓(xùn)練2】．已知直線與相交于點O，且平分．(1)如圖1，若平分，求的度數(shù)；(2)如圖2，若，，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了角的平分線的計算；（1）根據(jù)平角的定義，角的平分線的意義計算即可；（2）設(shè)，則，，，整體代入計算即可．熟練掌握角的倍分關(guān)系，角的和等是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵平分，平分，∴，，，∵，∴．（2）解：∵，，設(shè)，則，，即，∴，∴，解得：，∴．【變式訓(xùn)練3】．如圖，O為直線上一點，過點O作射線，使．將一直角三角尺的直角頂點放在點O處，一邊在射線上，另一邊在直線的下方．(1)將圖1中的三角尺繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，使得落在射線上，此時三角尺旋轉(zhuǎn)過的角度為；(2)繼續(xù)將圖2中的三角尺繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，使得在的內(nèi)部，試探究與之間滿足什么等量關(guān)系？并說明理由．【答案】(1)(2)，理由見解析【分析】本題考查了幾何圖形中角度的計算：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義即可得；（2）先根據(jù)平角的定義可得，再根據(jù)角的和差可得，，由此即可得．【詳解】（1）解：，三角尺旋轉(zhuǎn)過的角度為，故答案為：；（2）解：，理由如下：設(shè)，由，可得，，，解得，即，①，又，②，由②①得：．類型二、探究角的關(guān)系例．閱讀與實踐：【問題情境】七年級(1)班的小明在數(shù)學(xué)興趣小組中研究直線與直角的關(guān)系．如圖1，，點O在直線上，射線平分．小明用量角器度量發(fā)現(xiàn)，，他給出了如下說理：因為，所以．因為射線平分，所以因為，所以………（1）請你幫助小明完成剩下的說理；【實踐探究】小明將繞點O順時針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，（2）請問與的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生了變化，若發(fā)生變化，請求出他們之間的數(shù)量關(guān)系；若不變化，請說明理由．【問題拓展】小明繼續(xù)將繞點O順時針旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，（3）請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）見解析；（2）不變；理由見解析；（3）【分析】本題主要考查了角平分線的定義，幾何圖形中角的計算，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握角平分線定義．（1）根據(jù)，把代入，求出即可；（2）根據(jù)角平分線定義得出，根據(jù)，得出，根據(jù)，即可證明結(jié)論；（3）根據(jù)角平分線定義得出，根據(jù)，得出，，，求出即可．【詳解】解：（1）因為，所以．因為射線平分，所以，因為，所以，所以，所以，所以，即；（2）與的數(shù)量關(guān)系保持不變；理由如下：因為射線平分，所以，因為，所以，因為，所以；（3）因為射線平分，所以，因為，所以，，，所以，即．【變式訓(xùn)練1】．如圖，是的平分線，是的平分線．(1)如圖1，當(dāng)是直角，時，的度數(shù)是多少？(2)如圖2，當(dāng)，時，猜想與α的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖3，當(dāng)，時，猜想：與α、β有數(shù)量關(guān)系嗎？如果有，指出結(jié)論并說明理由．【答案】(1)(2)(3)與α有關(guān)，與β無關(guān)，，理用見解析【分析】本題考查了角度的運算，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并運用相關(guān)知識．（1）根據(jù)題意可得，再根據(jù)角平分線的定義可得，，從而根據(jù)求得的度數(shù)；（2）同理（1），，，，從而求得的度數(shù)；（3）同理（1），，，，從而求得的度數(shù)；【詳解】（1）解：是直角，，，是的平分線，是的平分線，，，；（2）解：同理（1），，，，；（3）解：與α有關(guān)，與β無關(guān)，，理由如下：同理（1），，，，．【變式訓(xùn)練2】．如圖1，將直角三角形紙片的直角邊放置在直線上，為內(nèi)部的一條射線．(1)觀察圖1，解決下列問題：①若，則______°，______°；②若，求的度數(shù)．(2)如圖2，當(dāng)直角三角形紙片只有點放置在直線上時，平分．①若，求的度數(shù)；②請直接寫出與的關(guān)系．【答案】(1)①；；②(2)①；②【分析】本題考查了幾何圖形中角度的計算問題、角平分線的有關(guān)計算，準(zhǔn)確找到角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)角度可得到，然后兩個角度相加減即可得到結(jié)果；②根據(jù)以及角度相減可得到結(jié)果；（2）①根據(jù)角平分線分得的兩個角大小一樣，再用兩角相減表示其中一個角，根據(jù)題意構(gòu)造等式，即可得到結(jié)果；②根據(jù)四個角度和等于可得到結(jié)果．【詳解】（1）解：①∵，∴，∵，

∴，故答案為：；；②若，則；（2）解：①∵平分，∴，∵，∴，∵，，∴，解得：，∴；②∵平分，∴，由圖可得：，其中，，∴，化簡可得：．【變式訓(xùn)練3】．已知點是直線上一點，過點作射線，，滿足，是的平分線．(1)如圖1，射線，在直線的同側(cè)，且在的內(nèi)部．①若，通過計算判斷是否平分；②設(shè)，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；(2)若在的外部，請直接寫出與之間的等量關(guān)系．【答案】(1)①平分，見解析；②(2)或【分析】本題考查了角平分線的定義，角的和差，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．（1）①先求出，利用角平分線的定義得，再求出即可求解；②先求出，利用角平分線的定義得，進而可求出的度數(shù)；（2）分在直線的上方和在直線的下方兩種情況求解即可．【詳解】（1）①，，，是的平分線，，，，平分；②，，．是的平分線，，；（2）當(dāng)在直線的上方時，設(shè)，∵，∴．是的平分線，∴，∴，∴，；當(dāng)在直線的下方時，設(shè)，∵，∴．是的平分線，∴，∴，∴，．綜上可知，或．類型三、角的旋轉(zhuǎn)問題例．已知：如圖1，，的補角是的3倍，(1)求的度數(shù)；(2)如圖2，若射線從開始繞點O以每秒旋轉(zhuǎn)10°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，同時射線從開始繞點O以每秒旋轉(zhuǎn)6°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)；其中射線到達OC后立即改變運動方向，以相同速度繞O點順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線OQ到達時，射線，同時停止運動．設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為t秒，當(dāng)時，試求t的值；(3)如圖3，若射線從開始繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)一周，作平分，平分，試求在運動過程中，的度數(shù)是多少？（請直接寫出結(jié)果）【答案】(1)(2)5，10，12.5或13.75(3)或【分析】本題主要考查角度的和差運算，涉及一元一次方程的應(yīng)用，角度的雙角平分線問題，在解題過程中根據(jù)角度的變化進行合適分段討論是解題關(guān)鍵．（1）由題意可得，，可直接求解；（2）由射線的運動可知，需要分兩種情況討論，①逆時針運動時，，相遇前和相遇后；②順時針旋轉(zhuǎn)，，相遇前和相遇后，分別畫圖求解即可；（3）根據(jù)射線的運動，需要分四種情況，①當(dāng)射線與重合前，②當(dāng)射線與重合后，前，③前，④與重合前，畫出圖形，結(jié)合角平分線求解即可．【詳解】（1）解：（1），，∴，∵，∴；（2）由（1）知，，，①逆時針運動時，即時，由，的運動可知，，，，相遇前，如圖2（1），，即，解得，，相遇后，如圖2（2），，即，解得；②順時針旋轉(zhuǎn)時，，，，相遇前，如圖（3），，即，解得，，相遇后，如圖（4），，即，解得，綜上，當(dāng)t的值為5，10，12.5或13.75時，．（3）由（1）知，根據(jù)射線的運動，需要分四種情況，①當(dāng)射線與重合前，如圖3（1），∵平分，平分，∴，，∴；②當(dāng)射線OP與OA重合后，∠AOP＝180°前，如圖3（2），∵平分，平分，∴，，∴；③∠CON＝180°前，如圖3（3），∵平分，平分，∴，，∴；④OP與OQ重合前，如圖3（4），∵平分，平分，∴，，∴；綜上，的度數(shù)為或．【變式訓(xùn)練1】．如圖，直線，相交于點，且，射線（與射線重合）繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，速度為，射線（與射線重合）繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，速度為．兩射線，同時運動，運動時間為．(1)當(dāng)時，，．(2)當(dāng)時，若，試求出的值．【答案】(1)，(2)秒或10秒【分析】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，角的和差關(guān)系的計算，解決問題的關(guān)鍵是將相關(guān)的角用含的代數(shù)式表示出來，并根據(jù)題意列出方程進行求解，以及進行分類討論，解題時注意方程思想和分類思想的靈活運用．（1）根據(jù)時間和速度分別計算和的度數(shù)，再根據(jù)角的和與差可得結(jié)論；（2）分兩種情況：①如圖所示，當(dāng)時，②如圖所示，當(dāng)時，分別根據(jù)已知條件列等式可得的值；【詳解】（1）解：由題意得：，，故答案為：，；（2）當(dāng)與重合時，，當(dāng)與重合時，，①如圖所示，當(dāng)時，，，由，可得，解得，②如圖所示，當(dāng)時，，，由，可得，解得，綜上，的值為秒或10秒．【變式訓(xùn)練2】．如圖①，射線在內(nèi)部，圖中共有三個角：，，，若其中有一個角的角度是另一個角的兩倍，則稱射線為的“倍分線”．(1)若射線是的角平分線，則射線________（填“是”或“不是”）的“倍分線”；(2)如圖②，若，射線為的“倍分線”，求；(3)若，射線從射線的位置開始，繞點逆時針以每秒的速度向射線運動，當(dāng)射線到達射線時停止運動，運動的時間為秒，同時射線從射線的位置開始以每秒的速度向射線運動，如圖③所示，并與射線同時停止，則當(dāng)經(jīng)過多少秒時，射線是的“倍分線”．【答案】(1)是；(2)或或；(3)或或秒【分析】本題考查了角度的計算，一元一次方程的應(yīng)用，正確理解“倍分線”的定義，找出角度之間的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵，注意分類討論．（1）根據(jù)“倍分線”的定義分析即可；（2）分三種情況討論：當(dāng)時；當(dāng)時；時，利用“倍分線”的定義分別求解即可；（3）由題意可知，，，，分三種情況討論：當(dāng)時；當(dāng)時；當(dāng)時，利用“倍分線”的定義分別求解即可．【詳解】（1）解：射線是的角平分線，，射線為的“倍分線”，故答案為：是；（2）解：①如圖1，當(dāng)時，；②如圖2，當(dāng)時，，；③如圖3，時，，，，綜上可知，的度數(shù)為或或；（3）解：由題意可知，，，，①當(dāng)時，此時，則，解得：；②當(dāng)時，則，解得：，③當(dāng)時，此時，則，解得：；綜上可知，當(dāng)經(jīng)過或或秒時，射線是的“倍分線”．【變式訓(xùn)練3】．如圖，直線相交于點，，．(1)若，則．(2)從（）的時刻開始，若將繞點以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)一周，求運動多少秒時，直線平分；(3)從（）的時刻開始，若將繞點順時針旋轉(zhuǎn)一周，如果射線是的角平分線，請直接寫出此過程中與的數(shù)量關(guān)系．（不考慮與重合的情況）【答案】(1)；(2)運動或秒時，直線平分；(3)或．【分析】（）利用同角的余角相等即可求解；（）分兩種情況平分和平分時，分別計算可得答案；（）分四種情況分別畫出圖形可得答案；此題考查了角的計算與角平分線的定義，正確畫出圖形是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∴，故答案為：；（2）情況：如圖：∵平分，∴，∴，設(shè)運動秒時平分根據(jù)題意得，，解得；情況：如圖：∵平分，∴，∴，設(shè)運動秒時平分，根據(jù)題意得，，解得，綜上，運動或秒時，直線平分；（3）或，理由：，如圖：，如圖：，如圖：，如圖：綜上可知：或．1．下列各題中，是的三等分線，是的三等分線，且，．(1)如圖1，若點A，O，B在一條直線上，則______；(2)如圖2，若點A，O，B不在一條直線上，且，求的度數(shù)；(3)如圖3，若在的內(nèi)部，則______．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查角的n等分線，角的和與差，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意可知，，再根據(jù)求解即可；（2）由（1）同理可知，即可求解；（3）由（1）同理可知，，再根據(jù)即可求解．【詳解】（1）解：∵是的三等分線，是的三等分線，且，，∴，，∴．故答案為：；（2）解：由（1）可知；（3）解：∵是的三等分線，是的三等分線，且，，∴，，∴，∴．故答案為：．2．【閱讀理解】如圖①，射線在的內(nèi)部，圖中共有3個角：、和，若其中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍，則稱射線是的“巧分線”．【解決問題】（1）一個角的平分線這個角的“巧分線”；(填“是”或“不是”)（2）若，射線是的“巧分線”，則；【拓展延伸】（3）如圖②，若，射線從出發(fā)，以每秒的速度順時針方向旋轉(zhuǎn)，同時射線從出發(fā)，以每秒的速度逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)其中一條射線旋轉(zhuǎn)到與的邊重合時，運動停止，設(shè)運動的時間為，當(dāng)t為何值時，射線是的“巧分線”？并說明理由．【答案】（1）是；（2）60°或或；（3）當(dāng)t為6秒或秒或秒時，射線是的“巧分線”【分析】本題是一道閱讀理解型的題目，主要考查角的和差運算，與角平分線，三等分線有關(guān)的計算，巧分線定義，學(xué)生的閱讀理解能力及知識的遷移能力，解題的關(guān)鍵是理解“巧分線”的定義．（1）根據(jù)巧分線定義即可求解；（2）分3種情況，根據(jù)巧分線定義即可求解；（3）分3種情況，根據(jù)巧分線定義得到方程求解即可；【詳解】解：（1）∵根據(jù)角平分線的定義可知，這個角是以它的其中一邊與角平分線的為兩邊的角的兩倍，∴一個角的平分線是這個角的“巧分線”，故答案為：是；（2），①當(dāng)是的角平分線時，；②當(dāng)是三等分線時，較小時，；③當(dāng)是三等分線時，較大時，；故答案為：60°或或；（3）依題意得：，，，∴，∵射線是的“巧分線”，∴與（2）同理可得：或或，即：或或，分別解得：，，，∴當(dāng)t為6秒或秒或秒時，射線是的“巧分線”．3．將一直角三角板的直角頂點放在直線上的點處，過點作射線.(1)已知，①如圖1，當(dāng)在射線上時，的度數(shù)為________；②如圖2，當(dāng)在內(nèi)部時，若，求的度數(shù)；(2)如圖3，，在內(nèi)部，.在圖中畫射線，使為的三等分線，且.當(dāng)時，探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.【答案】(1)①；②(2)，理由見解析【分析】本題考查了余角與補角，一元一次方程的應(yīng)用，三等分線的有關(guān)計算，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)余角的定義即可得到結(jié)論；②設(shè)，，求得，列方程得到，于是得到；（2）根據(jù)為的三等分線，設(shè)，，得到，，列方程得到，于是得到．【詳解】（1）解：①，，；故答案為：；②，設(shè)，，，，，，；（2）．理由：如圖，為的三等分線，設(shè)，，，，，，，，，，．4．如圖，將一副三角板的直角頂點疊放在一起．(1)觀察分析∶若則，若則；(2)猜想探究∶如圖，若將兩個同樣的三角尺，銳角的頂點重合在一起，請你猜想與有何關(guān)系，請說明理由；(3)拓展應(yīng)用∶如圖，如果把任意兩個銳角的頂點重合在一起，已知，（、都是銳角），請你直接寫出與的關(guān)系．【答案】(1)；；(2)，理由見解析．(3)，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)三角板的特點及角度和差求解即可；（2）根據(jù)三角板的特點及角度和差求解即可；（3）根據(jù)角度和差求解即可；本題考查了角的運算，熟練掌握角度和差運算是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）由題意可得：，∵，∴，∴，同理：，∴，∴故答案為：，；（2），理由：由題意可知：，∴，∴，∵，∴；（3），理由：∵，，∴，∵，∴．5．將一副三角尺放在同一平面內(nèi)，使直角頂點重合于點O．(1)如圖①，若，求、、的度數(shù)．(2)如圖①，你發(fā)現(xiàn)與的大小有何關(guān)系？與有何關(guān)系？直接寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．(3)如圖②，當(dāng)與沒有重合部分時，（2）中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否仍然成立，請說明理由．【答案】(1)、，(2)；(3)成立，見解析【分析】本題主要考查了角的和與差，（1）根據(jù)角的和差關(guān)系求解即可；（2）根據(jù)角的和差關(guān)系求解即可；（3）根據(jù)角的和差關(guān)系求解即可．能準(zhǔn)確找出題中所求角與已知角存在怎樣的和與差的關(guān)系是做出本題的關(guān)鍵．【詳解】（1）∵，，∴，，∴；（2）由（1）可得，；；（3）成立，理由如下；據(jù)圖可知，∵，，∴，，∴；∵，，∴∴．6．如圖，，請你根據(jù)圖形，求解下列問題：(1)在中，哪些角是銳角？哪些角是直角？哪些角是鈍角？哪些角是平角？并用“”把它們連接起來；(2)是哪兩個角的和？(3)寫出中某些角之間的兩個等量關(guān)系；(4)如果，則的度數(shù)為_________．【答案】(1)是銳角，是直角，是鈍角，是平角，(2)(3)，（答案不唯一）(4)90【分析】本題考查銳角、直角、鈍角、平角的定義，角度之間的和差關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決問題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)銳角、直角、鈍角、平角的定義，結(jié)合圖形即可求解；（2）根據(jù)圖形即可求解；（3）根據(jù)圖形即可求解；（4）由題意可知，結(jié)合，即可得．【詳解】（1）解：由圖可知，是銳角，是直角，是鈍角，是平角，則；（2）由圖可知，；（3）由圖可知，，（答案不唯一）（4）∵，∴，又∵，∴，故答案為：90．7．已知與互補，射線平分，設(shè)，．(1)如圖1，在的內(nèi)部，當(dāng)與互余時，求的值；(2)如圖2，在的外部，，求與滿足的等量關(guān)系．（提示：分別用含的式子表示出與的度數(shù)）【答案】(1)(2)【分析】本題考查了余角和補角以及角平分線的定義，角的計算，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)補角和余角的定義以及角的和差關(guān)系解答即可；（2）根據(jù)角平分線的定義以及補角的定義求解即可；【詳解】（1）∵與互余，∴，∵與互補，延長于F．，，∴，，．（2）∵，∴，∵射線平分，∴，∵與互補，∴，∴，8．射線在內(nèi)部，射線從射線的位置開始以每秒的速度繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)；同時，射線從射線的位置開始以每秒的速度繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)：(1)若，當(dāng)射線、運動了2秒，求的值；(2)若射線、在內(nèi)部時，總有，試探究與之間滿足什么等量關(guān)系，并說明理由；(3)在（2）的條件下，在內(nèi)部過點作射線，且，試探究與之間滿足什么等量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2);理由見解析(3)；理由見解析【分析】本題考查了角的和差關(guān)系；熟練掌握幾何圖中角的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)角的和差關(guān)系計算即可；（2）由題意可知：，再根據(jù)角的和差關(guān)系得出；進而得出結(jié)論；（3）根據(jù)