14.3角的平分線-第1課時(shí)

角的平分線的性質(zhì)第十四章

全等三角形

【2025新教材】人教版數(shù)學(xué)

八年級(jí)上冊(cè)

授課教師：********班級(jí)：********時(shí)間：********（一）復(fù)習(xí)引入（5分鐘）?提問(wèn)：什么是角平分線？（引導(dǎo)學(xué)生回顧角平分線的定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線叫做這個(gè)角的平分線）?讓學(xué)生在練習(xí)本上畫出一個(gè)角，并嘗試用度量的方法畫出這個(gè)角的平分線。（學(xué)生動(dòng)手操作，教師巡視，隨機(jī)抽取一名學(xué)生在黑板上演示）?展示一些生活中與角平分線相關(guān)的圖片，如風(fēng)箏的骨架、房屋的屋脊等，提問(wèn)：在這些實(shí)際情境中，角平分線有什么作用？我們能否更精確地作出角平分線呢？由此引出本節(jié)課的課題——角的平分線的性質(zhì)。?（二）探究角平分線的尺規(guī)作圖（10分鐘）?多媒體展示角平分線的尺規(guī)作圖動(dòng)畫，讓學(xué)生觀察作圖過(guò)程。?教師在黑板上逐步示范尺規(guī)作角平分線的步驟，并詳細(xì)解釋每一步的目的和依據(jù)：?已知：∠AOB。?求作：∠AOB的平分線。?作法：?以O(shè)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N。（目的是在角的兩邊上截取兩條相等的線段，依據(jù)是圓的半徑處處相等）?分別以M、N為圓心，大于1/2MN的長(zhǎng)度為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部相交于點(diǎn)C。（這一步確保兩弧能相交，且交點(diǎn)C到M、N的距離相等，依據(jù)是三角形三邊關(guān)系，即兩邊之和大于第三邊）?畫射線OC。射線OC即為所求∠AOB的平分線。（根據(jù)SSS判定定理，可證明△OMC≌△ONC，從而得到∠MOC=∠NOC，即OC是∠AOB的平分線）?讓學(xué)生自己在練習(xí)本上按照步驟進(jìn)行尺規(guī)作角平分線的操作，同桌之間相互檢查、交流，教師巡視指導(dǎo)，及時(shí)糾正學(xué)生在作圖過(guò)程中出現(xiàn)的問(wèn)題。?提出問(wèn)題：在第二步中，為什么要以大于1/2MN的長(zhǎng)度為半徑畫??？如果小于或等于1/2MN的長(zhǎng)度，會(huì)出現(xiàn)什么情況？（組織學(xué)生思考、討論，然后請(qǐng)學(xué)生代表發(fā)言，教師進(jìn)行總結(jié)和強(qiáng)調(diào)，加深學(xué)生對(duì)作圖關(guān)鍵步驟的理解）?（三）探究角平分線的性質(zhì)（15分鐘）?折紙實(shí)驗(yàn)?讓學(xué)生拿出準(zhǔn)備好的一張角的紙片，將角對(duì)折，使角的兩邊重合，得到一條折痕，即角平分線。?再將折后的角沿與角平分線垂直的方向?qū)φ垡淮?，得到一個(gè)直角三角形，然后展開紙片。?觀察兩次折疊形成的三條折痕，提問(wèn)：第二次折疊形成的兩條折痕與角的兩邊有什么關(guān)系？它們的長(zhǎng)度有什么關(guān)系？（引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考，小組內(nèi)交流討論）?測(cè)量驗(yàn)證?讓學(xué)生在剛才折出的角平分線上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P分別向角的兩邊OA、OB作垂線，垂足分別為D、E。?用直尺測(cè)量PD和PE的長(zhǎng)度，記錄數(shù)據(jù)。?再在角平分線上另取幾個(gè)點(diǎn)，重復(fù)上述操作，測(cè)量并記錄這些點(diǎn)到角兩邊的距離。?引導(dǎo)學(xué)生觀察測(cè)量數(shù)據(jù)，猜想角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離有什么關(guān)系。（學(xué)生可能會(huì)猜想角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）?邏輯證明?已知：如圖，OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E。?求證：PD=PE。?分析：要證明PD=PE，可考慮證明以PD、PE為邊的兩個(gè)三角形全等。觀察圖形，發(fā)現(xiàn)△PDO和△PEO都是直角三角形，且有公共邊OP，∠AOC=∠BOC（OC是角平分線），根據(jù)AAS（角角邊）全等判定定理可證這兩個(gè)三角形全等，從而得出PD=PE。?證明過(guò)程：?證明：∵OC平分∠AOB（已知）?∴∠AOC=∠BOC（角平分線的定義）?∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）?∴∠PDO=∠PEO=90°（垂直的定義）?在△PDO和△PEO中：?∠PDO=∠PEO（已證）?∠AOC=∠BOC（已證）?OP=OP（公共邊）?∴△PDO≌△PEO（AAS）?∴PD=PE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）?歸納總結(jié)?引導(dǎo)學(xué)生用文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言表述角平分線的性質(zhì)：?文字語(yǔ)言：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等。?符號(hào)語(yǔ)言：∵OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB?∴PD=PE?（四）例題講解（10分鐘）?例1：如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BD=DF。求證：CF=EB。?分析：?由AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知CD=DE。?要證CF=EB，可考慮證明△CDF≌△EDB。?已知BD=DF，CD=DE，且∠C=∠DEB=90°，根據(jù)HL（斜邊、直角邊）全等判定定理可證這兩個(gè)三角形全等，從而得出CF=EB。?證明過(guò)程：?證明：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB（已知）?∴CD=DE（角平分線的性質(zhì)）?在Rt△CDF和Rt△EDB中：?BD=DF（已知）?CD=DE（已證）?∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）?∴CF=EB（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）?例2：如圖，△ABC的∠ABC的外角平分線BD與∠ACB的外角平分線CE相交于點(diǎn)P。求證：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA所在直線的距離相等。?分析：?過(guò)點(diǎn)P分別作PF⊥AB于F，PG⊥BC于G，PH⊥AC于H。?由BD是∠ABC的外角平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得PF=PG。?由CE是∠ACB的外角平分線，可得PG=PH。?從而得出PF=PG=PH，即點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA所在直線的距離相等。?證明過(guò)程：?證明：過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AB于F，PG⊥BC于G，PH⊥AC于H。?∵BD平分∠CBM（已知，∠CBM是∠ABC的外角）?∴PF=PG（角平分線的性質(zhì)）?∵CE平分∠BCN（已知，∠BCN是∠ACB的外角）?∴PG=PH（角平分線的性質(zhì)）?∴PF=PG=PH?即點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA所在直線的距離相等。?（五）課堂練習(xí)（10分鐘）?基礎(chǔ)練習(xí)?已知：如圖，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，PC=3cm，則PD=cm。?如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F。求證：EB=FC。?能力提升?如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=40°，AD是∠BAC的平分線，則∠CAD的度數(shù)為

。?已知：如圖，在四邊形ABCD中，BC＞AB，AD=CD，BD平分∠ABC。求證：∠A+∠C=180°。?拓展應(yīng)用?如圖，為了促進(jìn)當(dāng)?shù)芈糜伟l(fā)展，某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個(gè)度假村。要使這個(gè)度假村到三條公路的距離相等，應(yīng)在何處修建？請(qǐng)?jiān)趫D中畫出度假村的位置。?（學(xué)生獨(dú)立完成練習(xí)，教師巡視指導(dǎo)，及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在的問(wèn)題并進(jìn)行個(gè)別輔導(dǎo)。練習(xí)結(jié)束后，選取部分學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行展示，組織學(xué)生進(jìn)行互評(píng)，共同糾正錯(cuò)誤，強(qiáng)化對(duì)知識(shí)的理解和應(yīng)用）?（六）課堂小結(jié)（3分鐘）?與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容：?角平分線的尺規(guī)作圖方法及每一步的依據(jù)。?角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等，以及其文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言的表述。?運(yùn)用角平分線性質(zhì)解決幾何問(wèn)題的思路和方法，如通過(guò)證明三角形全等，利用角平分線性質(zhì)建立線段相等的關(guān)系等。?強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，鼓勵(lì)學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)中要善于將新知識(shí)與已學(xué)知識(shí)相結(jié)合，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題。?（七）布置作業(yè)（2分鐘）?課本習(xí)題：[具體頁(yè)碼]第[X]、[X]、[X]題。?拓展作業(yè)：?已知：如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC、∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，求∠BOC的度數(shù)。?讓學(xué)生通過(guò)完成作業(yè)，進(jìn)一步鞏固角平分線的尺規(guī)作圖和性質(zhì)等知識(shí)，提高運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新意識(shí)。5課堂檢測(cè)4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理9布置作業(yè)學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)重點(diǎn)：探究角平分線的性質(zhì)定理.學(xué)習(xí)難點(diǎn)：探究并掌握角平分線的性質(zhì)定理.請(qǐng)大家在草稿紙上畫一個(gè)∠AOB，將∠AOB的兩邊對(duì)折，再折個(gè)直角三角形（以第一條折痕為斜邊），然后展開.觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得到什么結(jié)論？你能利用我們學(xué)過(guò)的知識(shí)，證明結(jié)論的正確性嗎？如圖是小明制作的風(fēng)箏，他根據(jù)AB=AD，BC=DC，不用度量就知道AC是∠DAB的平分線，你知道其中的道理嗎？小張家居住在某小區(qū)移動(dòng)居民樓的一樓，剛好位于一條天然氣管道和水管道所成角的平分線上的點(diǎn)P處，要從點(diǎn)P建兩條管道，分別與天然氣管道和水管道相連.問(wèn)題1：怎么修建管道最短？問(wèn)題2：新修的兩條管道長(zhǎng)度有什么關(guān)系？1.請(qǐng)同學(xué)們閱讀課本48頁(yè)第一個(gè)思考.2.你能將思考抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？

如圖(課本圖12.3－1)，已知AB＝AD，BC＝DC，求證：AE平分∠BAD3.通過(guò)平分角的儀器，你能想到怎樣畫一個(gè)角的平分線嗎？①以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N.②分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于

MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點(diǎn)C.③畫射線OC，射線OC即為所求．4.你能說(shuō)明為什么射線OC是∠AOB的平分線嗎？5.請(qǐng)同學(xué)們閱讀課本48頁(yè)第二個(gè)思考.∵OM＝ON，CM＝CN，OC＝OC，∴△OMC≌△ONC，∴∠MOC＝∠NOCPD=PE

1.請(qǐng)同學(xué)們交流48頁(yè)第二個(gè)思考，交換你們的測(cè)量數(shù)據(jù)，你能得出什么結(jié)論？2.請(qǐng)你找出角的平分線的性質(zhì)的已知和求證，完成這個(gè)證明.1.用尺規(guī)作已知角的平分線：知識(shí)點(diǎn)1．作已知角的平分線（重點(diǎn)）已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分線．2.作圖依據(jù)：構(gòu)造△OMC≌△ONC，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，得到角的平分線.注：(1)畫“射線OC”不能敘述為“連接OC”．因?yàn)榻堑钠椒志€是一條射線．(2)兩弧的交點(diǎn)應(yīng)該在角的內(nèi)部找，因?yàn)榻堑钠椒志€肯定在角的內(nèi)部．1.性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.2.符號(hào)語(yǔ)言：如圖，∵OC平分∠AOB，點(diǎn)P在射線OC上，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E，∴PD＝PE.知識(shí)點(diǎn)2．角的平分線的性質(zhì)（難點(diǎn)）注：(1)該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù)．(2)已知角的平分線及其上一點(diǎn)到角一邊的垂線段，常添加輔助線：由角的平分線上的已知點(diǎn)向另一邊作垂線段．（1）明確命題中的已知和求證；（2）根據(jù)題意，畫出圖形，并用符號(hào)表示已知和求證；（3）經(jīng)過(guò)分析，找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑，寫出證明過(guò)程.知識(shí)點(diǎn)3．證明幾何命題的一般步驟【題型一】角的平分線的作法

例1：如圖，用尺規(guī)作角的平分線，根據(jù)作圖步驟，在說(shuō)明∠CAP＝∠BAP的過(guò)程中，以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

)A．由作弧可知AE＝AFB．由作弧可知FP＝EPC．由“SAS”證明△AFP≌△AEPD．由“SSS”證明△AFP≌△AEPC例2：如題圖，分別作出已知鈍角和平角的平分線(不寫作法，保留作圖痕跡)．解：如答圖所示，射線OC即為所作.【題型二】角的平分線的性質(zhì)

例3：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，若BC＝20，且BD∶DC＝3∶2，則點(diǎn)D到AB邊的距離為(

)A．8

B．12

C．10

D．15A點(diǎn)撥：∵BC＝20，BD∶DC＝3∶2，∴BD＝12，DC＝8.過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E.∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC＝8，即點(diǎn)D到AB邊的距離為8.變式：如圖，在△ABC中，已知CD是AB邊上的高，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，BC＝12，DE＝3，則△BCE的面積等于________．18

【題型三】幾何命題的證明

例4：命題“全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等”的已知條件是________________，結(jié)論是____________________________，并證明.兩個(gè)三角形全等這兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等解：已知：如圖，△ABC≌△EFG，AD，EH分別是△ABC和△EFG的對(duì)應(yīng)邊BC，F(xiàn)G上的高．求證：AD＝EH.證明：∵△ABC≌△EFG，∴AB＝EF，∠B＝∠F，∵AD，EH分別是△ABC和△EFG的對(duì)應(yīng)邊BC，F(xiàn)G上的高，∴∠ADB＝∠EHF＝90°.變式：證