高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省衢州、麗水、湖州三地市2025屆高三下學(xué)期4月教學(xué)質(zhì)量檢測（二模）數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】集合，，所以，故選：A.2.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)（）是純虛數(shù)，則（）A.或 B. C. D.【答案】D【解析】因為復(fù)數(shù)（）是純虛數(shù)，所以，由，得或，由，得，所以.故選：D.3.已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，，所以，，，所以向量在向量上的投影向量為.故選：B.4.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，當(dāng)時，，當(dāng)時，①，當(dāng)時，②，①+②=，所以，所以，故選：C.5.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要【答案】B【解析】因為，所以，，所以，，因為，所以，，所以，，因為真包含了，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B.6.正方體中，點分別為正方形及的中心，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長為1，則，故，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：C.7.在中，角所對的邊分別為．已知成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為在中，成等差數(shù)列，所以，又，所以，設(shè)所成等比數(shù)列得公比為，則，，由正弦定理可得，整理可得，，又，即，整理可得，所以解得，故，于是，所以，故選：D.8.過拋物線焦點的直線與拋物線交于兩點，過點作的切線，交軸于點，過點作直線的平行線交軸于點，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)，焦點，設(shè)直線方程為，則，化簡得，所以，，所以，設(shè)在點處的切線方程為，，化簡得，因為，化簡得，，則在點處得切線方程為，即，令，則，故，則，過點作直線的平行線，故，所以直線的方程為，令，則，故,,所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，取到最小值9.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)，則（）A.的最大值是 B.在上單調(diào)遞增C. D.在上有兩個零點【答案】AC【解析】對于A，由于，且，所以的最大值是，故A正確；對于B，因為，所以在上不是單調(diào)遞增的，故B錯誤；對于C，由于，故，故C正確；對于D，若，則，即，可得，，解得，，所以在上恰有個零點，故D錯誤.故選：AC.10.若函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則函數(shù)的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】因為函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以函數(shù)需滿足在定義域上單調(diào).對于A，易知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，故A正確；對于B，因為在R上單調(diào)遞增，函數(shù)在R上單調(diào)遞減，故可知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，故B正確；對于C，因為，定義域為R，所以.當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，故C錯誤；對于D，因為，定義域為R，所以，化簡可得，因為，所以對，，又因為，所以對，恒成立，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞減，故D正確.故選：ABD.11.如圖，多面體由正四面體和正四面體拼接而成，一只螞蟻從頂點出發(fā)，沿著多面體的各條棱爬行，每次等概率地爬行到相鄰頂點中的一個，記次爬行后，該螞蟻落在點的概率為，落在點的概率為，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】設(shè)記次爬行后，該螞蟻落在點的概率為，則，其中，計算易得，故A、C正確，B錯誤；由原方程組可得，則，所以為常數(shù)列，且①.同理，且，所以②，由①②可知，=，所以，故D正確.故選：.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知等差數(shù)列的前項和為，，，則______．【答案】110【解析】.故答案為：110.13.已知斜率大于零的直線交橢圓于兩點，交軸分別于兩點，且是線段的三等分點，則直線的斜率為______．【答案】【解析】設(shè)直線為，，若，此時均與原點重合，，但，故不合要求，所以，與聯(lián)立得，，解得，設(shè)，則，故，中，令得，故，令得，故，的中點坐標(biāo)為，是線段的三等分點，故線段的中點為線段的中點，故，解得，負值舍去.故答案為：14.若定義在上的函數(shù)滿足，則的最大值是______．【答案】【解析】由，，得，所以，平方得①，②，②-①得，所以，即又，則，所以所以，即，故2為函數(shù)的一個周期，因此.考慮到，設(shè)，則，故最大值為.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．15.如圖，在直角梯形中，，，．將沿折起，使，連接，得到三棱錐．（1）求證：平面；（2）點是的中點，連接、，若，（i）求二面角的正切值；（ii）求三棱錐的外接球體積．（1）證明：因為，，，平面，所以平面，又平面，所以又因為，，平面，所以平面.（2）解：（i）以為坐標(biāo)原點，以所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，則，由（1）可知，平面的一個法向量為，所以.由圖可知二面角平面角是銳角，記為，則，所以，故二面角的正切值為.（ii）因為，所以為三棱錐的外接球的球心，且球半徑為，故三棱錐的外接球體積為.16.某校舉辦定點投籃挑戰(zhàn)賽，規(guī)則如下：每位參賽同學(xué)可在兩點進行投籃，共投兩次．第一次投籃點可在兩點處隨機選擇一處，若投中，則第二次投籃點不變；若未投中，則第二次切換投籃點．在點投中得分，在點投中得分，未投中均得分，各次投中與否相互獨立．（1）在參賽的同學(xué)中，隨機調(diào)查50名的得分情況，得到如下列聯(lián)表：得分分得分分合計先在點投籃20525先在點投籃101525合計302050是否有的把握認為投籃得分與第一次投籃點的選擇有關(guān)？（2）小明在點投中的概率為，在點投中的概率為．（i）求小明第一次投中的概率；（ii）記小明投籃總得分為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．參考公式：0.10.050.010.0012.7063.8416.63510.828解：（1）零假設(shè)為：得分與第一投籃點選擇獨立，即得分無差異，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，因此認為得分與第一投籃點選擇有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不超過0.01（2）設(shè)第次選擇在點A投籃記為事件A，在點B投籃記為事件，投中記為事件，則，,,.（i）P(E)=，所以小明第一次投籃命中的概率為0.5.（ii）小明投籃總得分可取0，2，3，4，6，則，，，，.∴X的分布列為X02346P∴.17.已知雙曲線（）的左，右焦點分別為，且，圓與的漸近線相切．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若上兩點滿足（），且四邊形的面積為，求的值．解：（1）由題意得，解得，∵雙曲線的漸近線為，∴，解得，所以，故雙曲線方程為：；（2）由同向可知，直線、與E均有兩個交點.設(shè)直線，它與E的另一個交點記為C.由雙曲線的對稱性可知，，故三角形面積等于三角形面積，所以四邊形面積等于三角形面積.設(shè)，聯(lián)立方程：，得，，三角形面積，整理得，解得或，經(jīng)檢驗時，，故均在軸上方或下方，不妨令，此時，解得或，畫出圖象如下：此時反向，故舍去；同理可得也不滿足要求，當(dāng)時，可驗證得同向，符合題意，若，由，解得或，由于，所以，，故，若，同理可得，綜上，18.已知函數(shù)（），為坐標(biāo)原點．（1）當(dāng)時，（i）求曲線在點處的切線方程；（ii）若點是函數(shù)圖象上一點，求的最小值；（2）若函數(shù)圖象上存在不同兩點滿足，求的取值范圍．解：（1）當(dāng)，，（i）因為，則，，故切線方程為（ii）設(shè)，則，記則，易知是關(guān)于的增函數(shù)且所以當(dāng)；當(dāng)故最小值為，得的最小值.（2）記，則，易知是關(guān)于的增函數(shù)且存在負實數(shù)使得，則，.所以當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)故最小值為，注意到，，且，為使有兩個不等實數(shù)解，則有.即.考慮到函數(shù)是關(guān)于的減函數(shù)，且，，故該函數(shù)存在唯一零點滿足，則（此處只需給出零點的一個合理估計即可.）①若，即，則.由化簡得，記，注意到在區(qū)間的減函數(shù)，所以，故時，恒成立，即滿足.（幾何法：由時，經(jīng)過點，且，而兩點在以原點為圓心，為半徑的圓上，且，因此點在圓內(nèi)，結(jié)合圖像，知函數(shù)圖象與圓的圖象必有兩個不同交點，故滿足）②若，即，則由化簡得，記，則，所以單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增且，，故由解得，而，故滿足.綜上所述.19.對于給定項整數(shù)數(shù)列：（），定義變換：①若，則加，均加，其余項不變；②若，則加，均加，其余項不變；③若，則加，均加，其余項不變．例如，對數(shù)列：做變換得到，即；而對數(shù)列：先后做變換，可得到，即．（1）找出一系列變換，使得數(shù)列：經(jīng)過這系列變換后成為常數(shù)列；（2）是否能找出一系列變換，使得數(shù)列：經(jīng)過這系列變換后成為常數(shù)列，若存在，請給出具體的變換；若不存在，請說明理由；并請判斷當(dāng)為奇數(shù)時，對于任意數(shù)列，是否總存在一系列變換能使該數(shù)列成為常數(shù)列（無須證明）．（3）當(dāng)為偶數(shù)且數(shù)列是遞增數(shù)列時，是否存在一系列變換，使得該數(shù)列成為常數(shù)列，若存在，請給出具體變換；若不存在，請說明理由．解：（1）此處三個變換順序可調(diào)