高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1云南省玉溪市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷第I卷（選擇題，共58分）注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)在答題卡上填寫清楚.2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).在試題卷上作答無效.一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知平面向量，，則（）A. B.4 C. D.【答案】B【解析】，，，故選：B．2.某同學(xué)高中階段6次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?05，117，110，128，141，133，則這6次數(shù)學(xué)成績(jī)的極差為（）A.128 B.119 C.36 D.28【答案】C【解析】6次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?05，110，117，128，133，141，所以成績(jī)的極差為.故選：C3.已知集合，，則的元素個(gè)數(shù)為（）A.4 B.5 C.6 D.無數(shù)【答案】A【解析】由題意得，，所以，由，所以，則，所以中元素的個(gè)數(shù)是4，故選：A.4.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，.故選：D.5.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則的外接圓半徑為（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】設(shè)的外接圓半徑為，由正弦定理，又，所以，故，解得.故選：C.6.已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，則數(shù)列的公比為（）A.2 B.1 C. D.或【答案】A【解析】設(shè)等比數(shù)列公比為，由題意得，故，解得.故選：A.7.設(shè)，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，且滿足，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，，可得，由雙曲線定義可知，所以，，，由勾股定理可得，可得，故，故選:B.8.已知函數(shù)，滿足，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意得，，令，則是首項(xiàng)為、公差為的等差數(shù)列，則.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則的值可以為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】AB【解析】因?yàn)橹本€與圓相交于不同的兩點(diǎn)、，所以圓心到直線的距離，解得，選項(xiàng)中只有3,4滿足，故選：AB．10.如圖，在三棱柱中，，，為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上靠近的三等分點(diǎn)，則（）A. B.C.平面NPC D.平面平面【答案】ABD【解析】A選項(xiàng)，因?yàn)?，故，所以，A正確；B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以?cè)面為矩形，故，又，，，平面，所以平面，而平面，故，B正確；C選項(xiàng)，平面NPC不平行于平面，所以AC不垂直于平面NPC，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，因?yàn)槠矫鍭CP，平面，所以平面平面，D正確.故選：ABD.11.已知，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】由二項(xiàng)式定理可得，令得，同理可得，，，.故選：ACD.第II卷（非選擇題，共92分）注意事項(xiàng)：第II卷用黑色碳素筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，在試題卷上作答無效.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.某校高二年級(jí)共有18個(gè)班，藝術(shù)節(jié)評(píng)比共產(chǎn)生3個(gè)一等獎(jiǎng)，若每個(gè)班獲得一等獎(jiǎng)的概率相等，則1班和2班均獲得一等獎(jiǎng)的概率為__________.【答案】【解析】1班和2班獲得一等獎(jiǎng)的概率.故答案為：.13.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》一書時(shí)介紹了“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的大正方形，如圖所示，記直角三角形較小的銳角為，大正方形的面積為，小正方形的面積為，若，則_________.【答案】【解析】設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為，則直角三角形的直角邊分別為，，因?yàn)槭侵苯侨切屋^小的銳角，所以，可得，，則，即.14.若，使取得最小值時(shí)的值為_________.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即故答案為：四、解答題（共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）直線與相切于點(diǎn)，若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，求直線的方程.解：（1）設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離相等，故點(diǎn)軌跡為拋物線，且，開口向右，所以點(diǎn)軌跡方程為：，即的方程為.（2）如圖：設(shè)，帶入的方程，解得，設(shè)直線為，聯(lián)立，得由直線與相切，可得，解得，直線的方程為.16.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，，為與的交點(diǎn)，為的中點(diǎn).（1）求與成角的正切值；（2）求與平面成角的正弦值.解：（1）為與的交點(diǎn)，為與的中點(diǎn)，因?yàn)榈酌?，底面，所以，因?yàn)榈酌媸钦叫?，所以，由且都在面，所以平面，又面，所以，因?yàn)?，所以與成角為與成角，即為，所以.（2），為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)榈酌?，底面，所以，因?yàn)榈酌媸钦叫?，所以，由且都在面，所以平面，又面，所以，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由等體積法可得，解得，所以與平面成角的正弦值為.17.已知在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，，，點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，．（1）求；（2）求的面積．解：（1）由正弦定理得，即，由余弦定理，得，解得．（2），取邊中點(diǎn)分別為P，Q，由平行四邊形法則可知，故點(diǎn)在上，即在邊的中位線上，所以，，所以．18.已知.（1）求在點(diǎn)處的切線方程；（2）記的最大值為，求證：.解：（1），，，所以在點(diǎn)處的切線方程為.（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以求的最大值為只需討論時(shí)，，令，,當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，，，故，使得gx0=0.即.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；所以由于，，所以.19.隨機(jī)游走在空氣中的煙霧擴(kuò)散、股票市場(chǎng)的價(jià)格波動(dòng)等動(dòng)態(tài)隨機(jī)現(xiàn)象中有重要應(yīng)用.在平面直角坐標(biāo)系中，粒子從原點(diǎn)出發(fā)，每秒向左、向右、向上或向下移動(dòng)一個(gè)單位，向四個(gè)方向移動(dòng)的概率均為，且每秒的移動(dòng)方向彼此獨(dú)立互不影響,例如在1秒末，粒子會(huì)等可能地出現(xiàn)在，，，四點(diǎn)處.（1）求粒子在第2秒末移動(dòng)到點(diǎn)的概率；（2）求第6秒末粒子回到原點(diǎn)的概率；（3）設(shè)粒子在第3秒末移動(dòng)到點(diǎn)，記的取值為隨機(jī)變量，求的分布列.解：（1）由題意得，粒子在第2秒末移動(dòng)到點(diǎn)的概率.（2）粒子在第6