高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1重慶市九龍坡區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期教育質(zhì)量全面監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)、是符合題目要求的.1.已知集合，且，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.3【答案】C【解析】由于，故，解得.故選：C.2.若冪函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.2 C. D.3【答案】D【解析】由冪函數(shù)的定義，得，解得或.若，則，為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，符合題意；若，則，定義域?yàn)?，且，所以為偶函?shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，不符合題意，舍去.故選：D.3.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由于在單調(diào)遞增，又，，即，函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是.故選：B．4.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由解得或，因?yàn)槭腔虻恼孀蛹浴啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件.故選：A.5.已知命題，；命題，，則（）A.和都是真命題 B.和都是真命題C.和都是真命題 D.和都是真命題【答案】B【解析】對(duì)于命題，，，命題為真命題，對(duì)于命題，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則命題為假命題，故命題為真命題，所以和都是真命題.故選：B.6.已知為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】因?yàn)榕己瘮?shù)，則，又因不恒為0，故，解得.故選：A.7.已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函數(shù)，作出函數(shù)的大致圖象如圖：由有三個(gè)不同的零點(diǎn)，即函數(shù)的圖象與有三個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合圖象，可得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.8.已知，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，由可得，由于，故，故，因此，由可得，因此，綜上可得.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若，則下列與角終邊可能相同角是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】因?yàn)椋曰?，所以與角終邊可能相同，與角終邊不相同，故C正確，D錯(cuò)誤；令或，在中，令得，所以與角終邊不相同，與角終邊可能相同，故B正確，A錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知集合，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】由可得得，故，A錯(cuò)誤，，B正確，，C正確，，D正確.故選：BCD.11.已知函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，.則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.為增函數(shù)C.為奇函數(shù)D.若，當(dāng)時(shí)，有解，則取值范圍是【答案】ABD【解析】A選項(xiàng)，中得，解得，中得，故，A正確；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，中，令，且得，因?yàn)椋?，故，所以，所以為增函?shù)，B正確；C選項(xiàng)，中，令得，故，故不是奇函數(shù)，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，兩邊加1得，因?yàn)椋?，所以，?dāng)時(shí)，有解，即時(shí)，有解，由B知，在R上單調(diào)遞增，故，在上有解，在上有解，其中，，故當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，最大值為，所以，則取值范圍是，D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)，則_____.【答案】【解析】，故.13.已知某種科技產(chǎn)品的利潤(rùn)率為，預(yù)計(jì)5年內(nèi)與時(shí)間月滿足函數(shù)關(guān)系式其中為非零常數(shù).若經(jīng)過(guò)12個(gè)月，利潤(rùn)率為，經(jīng)過(guò)24個(gè)月，利潤(rùn)率為，那么當(dāng)利潤(rùn)率達(dá)到以上，至少需要經(jīng)過(guò)________________個(gè)月用整數(shù)作答，參考數(shù)據(jù)：【答案】40【解析】由題意可得，兩式作比可得，解得，可得，令，解得.14.已知均為正實(shí)數(shù)，若，則的最小值為_(kāi)____.【答案】25【解析】由可得，代入中，可得，設(shè)，則，于是，因，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即時(shí)，取得最小值25.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.（1）已知點(diǎn)是角的終邊上一點(diǎn)，求和的值；（2）已知為銳角，且，求的值.解：（1）由于點(diǎn)是角的終邊上一點(diǎn)，故，故，.（2）由可得，由于為銳角，故，進(jìn)而，所以.16.已知函數(shù)且在區(qū)間上的最大值為1.（1）求的值；（2）當(dāng)在定義域內(nèi)是減函數(shù)時(shí)，令，求的定義域和值域.解：（1）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，故，故，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，故，故.（2）在定義域內(nèi)是減函數(shù)時(shí)，則，，故的定義域滿足，解得，故定義域?yàn)?，，由于，故，故，故值域?yàn)?17.隨著城市居民汽車(chē)使用率的增加，交通擁堵問(wèn)題日益嚴(yán)重，而建設(shè)高架道路、地下隧道以及城市軌道公共運(yùn)輸系統(tǒng)等是解決交通擁堵的有效措施.某市城市規(guī)劃部門(mén)為了提高早晚高峰期間某條地下隧道的車(chē)輛通行能力，研究了該隧道內(nèi)的車(chē)流速度（單位:千米/小時(shí)）和車(chē)流密度（單位:輛/千米）所滿足的關(guān)系式:，研究表明:當(dāng)隧道內(nèi)的車(chē)流密度達(dá)到105輛/千米時(shí)造成堵塞，此時(shí)的車(chē)流速度是0千米/小時(shí).（1）若車(chē)流速度不小于20千米/小時(shí)，求車(chē)流密度的取值范圍；（2）隧道內(nèi)的車(chē)流量（單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)隧道的車(chē)輛數(shù)，單位:輛/小時(shí)）滿足，求隧道內(nèi)車(chē)流量的最大值（精確到1輛/小時(shí)），并指出車(chē)流量最大時(shí)的車(chē)流密度（精確到1輛/千米）.解：（1）由可得：當(dāng)時(shí)，，符合題意，當(dāng)時(shí)，令，可得，綜上可得.（2）由題意得，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，，，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.由于，所以，隧道內(nèi)車(chē)流量的最大值約為2700輛/小時(shí)，此時(shí)車(chē)流密度約為75輛/千米.18.已知定義在R上的奇函數(shù)，其中.（1）求的值，并用定義證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）求不等式的解集；（3）設(shè)，若對(duì)任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）為定義在R上的奇函數(shù)，故，解得，故，由于，滿足為奇函數(shù)，綜上，，單調(diào)遞增，理由如下：任取，且，，因?yàn)?，在R上單調(diào)遞增，故，故，，所以為R上的單調(diào)遞增.（2），化簡(jiǎn)得，令，故，即，解得，故，解得，不等式解集為.（3）對(duì)任意的，總存在，使得成立，故在上的值域包含在上的值域，由（2）知，在上單調(diào)遞增，故，，若，則，此時(shí)，不能滿足在上的值域包含在上的值域，舍去；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故，由得，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.19.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋o定，設(shè)，若存在使得，則稱為函數(shù)的一個(gè)“點(diǎn)”.（1）判斷是否存在“點(diǎn)”，并說(shuō)明理由:（2）若，討論的“點(diǎn)”的個(gè)數(shù)；并在存在“點(diǎn)”前提下，求出所有的“點(diǎn)”；（3）若，若為函數(shù)的一個(gè)“點(diǎn)”，證明：.解：（1）0為的“點(diǎn)”，理由如下：由題，函數(shù)的定義域?yàn)?，假設(shè)存在“點(diǎn)”，即對(duì)于給定，存在，使得，即，故，兩邊平方得，即，由于，故，所以0為的“點(diǎn)”.（2）由題可知使在時(shí)有解的的個(gè)數(shù)即為的“點(diǎn)”的個(gè)數(shù)，整理得，