鹽城市、南京市2024－2025學(xué)年度第一學(xué)期期末調(diào)研考試高三數(shù)學(xué)2025.01注意事項(xiàng)：1．本試卷考試時(shí)間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷．2．本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分．3．答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上．第＝1\*ROMANI卷(選擇題共58分)1．已知集合S＝(－1，1)，集合T＝{y|y＝sinx}，則S∪T＝ A． B．S C．T D．R2．已知向量a＝(1，m)，b＝(2，－1)．若a⊥b，則實(shí)數(shù)m的值是 A．－2 B．2 C．－eq\f(1,2) D．eq\f(1,2)3．設(shè)a為實(shí)數(shù)，則“a＜1”是“(a－1)(a－2)＞0”的 A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．在(1＋eq\r(3,3)x)8的展開式中，系數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)數(shù)是 A．9 B．4 C．3 D．25．若函數(shù)f(x)＝x2－2xsinα＋1有零點(diǎn)，則cos2α的取值集合為 A．{－1，1} B．{0} C．{1} D．{－1}6．設(shè)函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2))，若f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，1)，且f(x)在[0，π]上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)ω的取值范圍是 A．[eq\f(5,3)，＋∞) B．[eq\f(11,6)，eq\f(17,6)) C．[eq\f(5,3)，eq\f(8,3)) D．[eq\f(11,6)，＋∞)7．第15屆中國(guó)國(guó)際航空航天博覽會(huì)于2024年11月12日至17日在珠海舉行．本屆航展規(guī)?？涨?，首次打造“空、海、陸”一體的動(dòng)態(tài)演示新格局，盡顯逐夢(mèng)長(zhǎng)空的中國(guó)力量．航展共開辟了三處觀展區(qū)，分別是珠海國(guó)際航展中心、金鳳臺(tái)觀演區(qū)、無(wú)人系統(tǒng)演示區(qū)．甲、乙、丙、丁四人相約去參觀，每個(gè)觀展區(qū)至少有1人，每人只參觀一個(gè)觀展區(qū)．在甲參觀珠海國(guó)際航展中心的條件下，甲與乙不到同一觀展區(qū)的概率為 A．eq\f(5,6) B．eq\f(3,4) C．eq\f(2,3) D．eq\f(1,2)8．已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2是橢圓Ω的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓Ω上一點(diǎn)，△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心為Q．若5eq\o(QF1,\s\up6(→))＋3eq\o(QF2,\s\up6(→))＋3eq\o(QP,\s\up6(→))＝0，則橢圓Ω的離心率為 A．eq\f(1,2) B．eq\f(2,5) C．eq\f(3,7) D．eq\f(3,8)9．某體育器材廠生產(chǎn)一批籃球，設(shè)單個(gè)籃球的質(zhì)量為X(單位：克)．若X～N(600，σ2)，其中σ＞0，則 A．P(X＜600)＝eq\f(1,2)B．P(592＜X＜598)＜P(602＜X＜606) C．P(X＜595)＝P(X＞605) D．σ越小，P(X＜598)越大10．設(shè)z1，z2為復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的有 A．|z1|＋|z2|＝|z1＋z2| B．eq\o(z1,\s\up6(－))＋eq\o(z2,\s\up6(－))＝eq\o(z1＋z2,\s\up6(—)) C．若|z1|＝|z2|，則zeq\o(\s\up1(2),1)＝zeq\o(\s\up1(2),2) D．若zeq\o(\s\up1(2),1)＜0，則z1為純虛數(shù)11．已知曲線C：x3＋y3＝1，則 A．曲線C關(guān)于直線y＝x對(duì)稱 B．曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 C．曲線C在直線x＋y＝0的上方 D．曲線C與坐標(biāo)軸圍成的封閉圖形的面積大于eq\f(π,4)第＝2\*ROMANII卷(非選擇題共92分)12．函數(shù)f(x)＝x2＋lnx的圖象在點(diǎn)(1，1)處的切線的斜率為▲．13．已知四棱錐P－ABCD的底面是平行四邊形，點(diǎn)E滿足eq\o(PE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PD,\s\up6(→))．設(shè)三棱錐P－ACE和四棱錐P－ABCD的體積分別為V1和V2，則eq\f(V1,V2)的值為▲．14．已知等差數(shù)列{an}的公差不為0．若在{an}的前100項(xiàng)中隨機(jī)抽取4項(xiàng)，則這4項(xiàng)按原來(lái)的順序仍然成等差數(shù)列的概率為▲．(用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)作答)四、解答題：本大題共小題，計(jì)分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，請(qǐng)把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)．15．(本小題滿分13分)在△ABC中，AB＝6，BC＝5．（1）若C＝2A，求sinA的值；（2）若△ABC為銳角三角形，cosA＝eq\f(9,16)，求ΔABC的面積．16．(本小題滿分15分)如圖，在所有棱長(zhǎng)都為2的三棱柱ABC－A1B1C1中，點(diǎn)E是棱AA1的中點(diǎn)，AB1⊥CE．（1）求證：平面A1ABB1⊥平面ABC；（2）若∠A1AB＝eq\f(π,3)，點(diǎn)P滿足eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝3eq\o(A1P,\s\up6(→))，求直線CP與平面A1ABB1所成角的正弦值．(第16題圖)(第16題圖)17．(本小題滿分15分)已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)F1到雙曲線E的漸近線的距離為2eq\r(,2)，點(diǎn)A為雙曲線E的右頂點(diǎn)，且AF1＝2AF2．（1）求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若四邊形ABCD為矩形，其中點(diǎn)B，D在雙曲線E上，求證：直線BD過(guò)定點(diǎn)．18．(本小題滿分17分)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax＋ka－x(k∈R，a＞0，a≠1)．（1）當(dāng)k＝4時(shí)，求f(x)的最小值；（2）討論函數(shù)f(x)的圖象是否有對(duì)稱中心．若有，請(qǐng)求出；若無(wú)，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）當(dāng)k＝0時(shí)，x∈(－∞，eq\f(1,2))都有f(x)≤eq\f(1,1－2x)，求實(shí)數(shù)a的取值集合．19．(本小題滿分17分)若數(shù)列{an}滿足：對(duì)任意n∈N*(n≥3)，總存在i，j∈N*，使得an＝aiaj(i≠j，i＜n，j＜n)，則稱{an}是融積數(shù)列．（1）斷數(shù)列{e2n}是否為融積數(shù)列，并說(shuō)明理由；（2）若等差數(shù)列{an}是融積數(shù)列，求{an}的通項(xiàng)公式；（3）若融積數(shù)列{an}單調(diào)遞增，a1＝2，a2＝8，求使an＝2123成立的n的最值．鹽城市、南京市2024－2025學(xué)年度第一學(xué)期期末調(diào)研考試高三數(shù)學(xué)參考答案2025.01一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．1．C2．B 3．A4．C5．D 6．B 7．A 8．D二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，不選或有錯(cuò)選的得0分．9．AC 10．BD 11．ACD三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．12.3 13．eq\f(1,6) 14．eq\f(1,2425)四、解答題：本大題共5小題，共77分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15．(本小題滿分13分)解：（1）因?yàn)镃＝2A，所以sinC＝sin2A＝2sinAcosA，所以cosA＝eq\f(sinC,2sinA)．在△ABC中，由正弦定理得eq\f(sinC,sinA)＝eq\f(AB,BC)，而AB＝6，BC＝5，所以cosA＝eq\f(sinC,2sinA)＝eq\f(3,5)．因?yàn)锳∈(0，π)，所以sinA＝eq\r(,1－cos2A)＝eq\r(,1－(\f(3,5))2)＝eq\f(4,5)．（2）在△ABC中，因?yàn)閏osA＝eq\f(9,16)，所以sinA＝eq\r(,1－cos2A)＝eq\r(,1－(\f(9,16))2)＝eq\f(5,16)eq\r(,7)．由正弦定理得eq\f(sinC,sinA)＝eq\f(AB,BC)，所以sinC＝eq\f(AB,BC)sinA＝eq\f(6,5)×eq\f(5,16)eq\r(,7)＝eq\f(3,8)eq\r(,7)．因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以cosC＝eq\r(,1－sin2C)＝eq\r(,1－(\f(3,8)\r(,7))2)＝eq\f(1,8)，所以sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝eq\f(5,16)eq\r(,7)×eq\f(1,8)＋eq\f(9,16)×eq\f(3,8)eq\r(,7)＝eq\f(\r(,7),4)．所以△ABC的面積SΔABC＝eq\f(1,2)×AB×BC×sinB＝eq\f(1,2)×6×5×eq\f(\r(,7),4)＝eq\f(15,4)eq\r(,7)．16．(本小題滿分15分)（1）證明：取AB的中點(diǎn)O，連接EO，A1B，OC．因?yàn)镋為AA1中點(diǎn)，O為AB中點(diǎn)，所以EO//A1B．在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，則四邊形ABB1A1是菱形，得AB1⊥A1B，則AB1⊥EO，又AB1⊥CE，EO∩CE＝E，EO，CE平面EOC，所以AB1⊥平面EOC．又因?yàn)镺C平面EOC，所以O(shè)C⊥AB1．因?yàn)棣BC是等邊三角形，O為AB中點(diǎn)，所以O(shè)C⊥AB．又因?yàn)镺C⊥AB1，AB∩AB1＝A，AB，AB1平面A1ABB1，所以O(shè)C⊥平面A1ABB1．又因?yàn)镺C面ABC，所以平面A1ABB1⊥平面ABC．（2）解：連接A1O．因?yàn)椤螦1AB＝eq\f(π,3)，AB＝AA1，所以△A1AB是等邊三角形，所以A1O⊥AB．又因?yàn)槠矫鍭1ABB1⊥平面ABC，平面A1ABB1∩平面ABC＝AB，所以A1O⊥平面ABC．如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，OC、OB、OA1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz．則O(0，0，0)，C(eq\r(3)，0，0)，B(0，1，0)，A1(0，0，eq\r(3))，B1(0，2，eq\r(,3))．設(shè)C1(x，y，z)，又eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(BB1,\s\up6(→))，解得C1(eq\r(,3)，1，eq\r(,3))，則eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\o(CA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝(－eq\f(2\r(,3),3)，eq\f(1,3)，eq\r(,3))．平面A1ABB1的一個(gè)法向量n＝(1，0，0)，所以cos＜eq\o(CP,\s\up6(→))，n＞＝eq\f(\o(CP,\s\up6(→))·n,|\o(CP,\s\up6(→))|·|n|)＝－eq\f(\r(,30),10)．設(shè)直線CP與平面A1ABB1所成角為θ，則sinθ＝|cos＜eq\o(CP,\s\up6(→))，n＞|＝eq\f(\r(,30),10)．17．(本小題滿分15分)解：（1）設(shè)焦距為2c，則F1(－c，0)，故點(diǎn)F1到雙曲線E的漸近線bx±ay＝0的距離為eq\f(|bc|,\r(,b2＋a2))＝b＝2eq\r(,2)．由AF1＝2AF2，知c＋a＝2(c－a)，得c＝3a．又因?yàn)閏2＝a2＋b2，所以(3a)2＝a2＋8，解得a2＝1．所以雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－eq\f(y2,8)＝1．（2）證明：①當(dāng)直線BD的斜率不存在時(shí)，由AB⊥AD可得直線BD的方程為x＝－eq\f(9,7)．②當(dāng)直線BD的斜率存在時(shí)，設(shè)直線BD的方程為y＝kx＋m，B(x1，y1)，D(x2，y2)，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\ac\co1\hs2\vs2(x2－\f(y2,8)＝1，,y＝kx＋m，))得(8－k2)x2－2kmx－m2－8＝0．當(dāng)eq\b\lc\{(\a\ac(8－k2≠0，,Δ＞0))時(shí)，x1＋x2＝eq\f(2km,8－k2)，x1x2＝－eq\f(m2＋8,8－k2)．因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以AB⊥AD，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，所以(x1－1)(x2－1)＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(k2＋1)x1x2＋(km－1)(x1＋x2)＋m2＋1＝0，所以－eq\f((k2＋1)(m2＋8),8－k2)＋eq\f(2km(km－1),8－k2)＋eq\f((8－k2)(m2＋1),8－k2)＝0，所以7m2－2km－9k2＝0，所以(m＋k)(7m－9k)＝0，所以m＝－k或m＝eq\f(9,7)k．當(dāng)m＝－k時(shí)，直線BD的方程為y＝kx－k＝k(x－1)，恒過(guò)定點(diǎn)A(1，0)，不合題意，舍去．當(dāng)m＝eq\f(9,7)k時(shí)，直線BD的方程為y＝kx＋eq\f(9,7)k＝k(x＋eq\f(9,7))，恒過(guò)定點(diǎn)(－eq\f(9,7)，0)．綜上①②，直線BD恒過(guò)定點(diǎn)(－eq\f(9,7)，0)．18．(本小題滿分17分)解：（1）當(dāng)k＝4時(shí)，f(x)＝ax＋4a－x≥2eq\r(,ax·4a－x)＝4(當(dāng)且僅當(dāng)ax＝4a－x，即x＝loga2時(shí)取等號(hào))，所以，當(dāng)x＝loga2時(shí)，f(x)取最小值4．（2）設(shè)點(diǎn)P(m，n)為函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心，則f(x)＋f(2m－x)＝2n，所以ax＋ka－x＋a2m－x＋ka－2m＋x＝2n，即ax(1＋ka－2m)＋a－x(k＋a2m)＝2n，所以a2x(1＋ka－2m)－2nax＋(k＋a2m)＝0，于是1＋ka－2m＝0，且k＋a2m＝0，且2n＝0，即a2m＝－k，n＝0所以當(dāng)k≥0時(shí)，m無(wú)解，此時(shí)函數(shù)f(x)的圖象沒有對(duì)稱中心；當(dāng)k＜0時(shí)，m＝eq\f(1,2)loga(－k)，此時(shí)函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱中心為P(eq\f(1,2)loga(－k)，0)．（3）當(dāng)k＝0時(shí)，f(x)＝ax，所以ax≤eq\f(1,1－2x)在(－∞，eq\f(1,2))上恒成立，即xlna＋ln(1－2x)≤0．令φ(x)＝xlna＋ln(1－2x)，則φ(0)＝0，所以φ'(x)＝lna－eq\f(2,1－2x)，φ''(x)＝－eq\f(4,(1－2x)2)＜0，所以φ'(x)在(－∞，eq\f(1,2))上單調(diào)遞減，①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，φ'(x)＜0，則φ(x)在(－∞，eq\f(1,2))上單調(diào)遞減，此時(shí)當(dāng)x＜0時(shí)，φ(x)＞φ(0)＝0，舍去；②當(dāng)a＞1時(shí)，由φ'(x)＝lna－eq\f(2,1－2x)＝0，解得x＝eq\f(1,2)－eq\f(1,lna)＜eq\f(1,2)．1°當(dāng)a＝e2時(shí)，eq\f(1,2)－eq\f(1,lna)＝0，所以x∈(－∞，0)時(shí)，φ'(x)＞0，則φ(x)單調(diào)遞增；x∈(0，eq\f(1,2))時(shí)，φ'(x)＜0，則φ(x)單調(diào)遞減；所以x＝0時(shí)，φ(x)取極大值，則φ(x)≤φ(0)＝0，所以a＝e2滿足；2°當(dāng)1＜a＜e2時(shí)，eq\f(1,2)－eq\f(1,lna)＜0，因?yàn)閤∈(eq\f(1,2)－eq\f(1,lna)，eq\f(1,2))時(shí)，φ'(x)＜0，則φ(x)單調(diào)遞減，所以x∈(eq\f(1,2)－eq\f(1,lna)，0)時(shí)，φ(x)＞φ(0)＝0，舍去；3°當(dāng)a＞e2時(shí)，eq\f(1,2)－eq\f(1,lna)＞0，因?yàn)閤∈(－∞，eq\f(1,2)－eq\f(1,lna))時(shí)，φ'(x)＞0，則φ(x)單調(diào)遞增，所以x∈(0，eq\f(1,2)－eq\f(1,lna))時(shí)，φ(x)＞φ(0)＝0，舍去；綜上，實(shí)數(shù)a的取值集合為{e2}．19．(本小題滿分17分)解：（1）{e2n}是融積數(shù)列，下證明．設(shè)bn＝e2n，當(dāng)n≥3時(shí)，取i＝1＜j＝n－1＜n，則bibj＝e2ie2j＝e2e2n－2＝e2n＝bn，即存在i，j∈N*，i≠j，i＜n，j＜n，使得bn＝bibj，則{e2n}是融積數(shù)列．（2）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d．又{an}是融積數(shù)列，所以對(duì)任意的n∈N*(n≥3)，總存在i，j∈N*，使得an＝aiaj(i≠j，i＜n，j＜n)，則a3＝a1a2．考察a4，有下列三情況：①若eq\b\lc\{(\a\ac(a3＝a1a2，,a4＝a1a2，))則eq\b\lc\{(\a\ac(a1＝0，,d＝0，))或eq\b\lc\{(\a\ac(a1＝1，,d＝0))；②若eq\b\lc\{(\a\ac(a3＝a1a2，,a4＝a1a3，))則eq\b\lc\{(\a\ac(a1＝0，,d＝0，))或eq\b\lc\{(\a\ac(a1＝1，,d＝0))；③若eq\b\lc\{(\a\ac(a3＝a1a2，,a4＝a2a3，))則eq\b\lc\{(\a\ac(a1＝0