三排序不等式【自主預(yù)習(xí)】1.次序和、亂序和、反序和的概念設(shè)有兩個(gè)有序?qū)崝?shù)組:a1≤a2≤…≤an;b1≤b2≤…≤bn,c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任意一種排列.(1)次序和:________________.(2)亂序和:________________.(3)反序和:_________________.a1b1+a2b2+…+anbna1c1+a2c2+…+ancna1bn+a2bn-1+…+anb12.排序不等式(排序原理)設(shè)a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn為兩組實(shí)數(shù),c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,則_________________≤a1c1+a2c2+…+ancn≤________________,當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn時(shí),反序和等于次序和.a1bn+a2bn-1+…+anb1a1b1+a2b2+…+anbn【即時(shí)小測(cè)】1.已知a,b,c∈R+,則a3+b3+c3與a2b+b2c+c2a的大小關(guān)系是(

)A.a3+b3+c3>a2b+b2c+c2a B.a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2aC.a3+b3+c3<a2b+b2c+c2a D.a3+b3+c3≤a2b+b2c+c2a【解析】選B.由于a,b,c∈R+,不妨設(shè)a≤b≤c,則a2≤b2≤c2,由排序不等式得a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a.2.若a<b<c,x<y<z,則下列各式中值最大的一種是()A.ax+cy+bz B.bx+ay+czC.bx+cy+az D.ax+by+cz【解析】選D.由于a<b<c,x<y<z,由排序不等式:反序和≤亂序和≤次序和,得:次序和ax+by+cz最大.3.已知a,b,c≥0,且a2+b2+c2=3,則的最大值是_________.【解析】由于a,b,c≥0,不妨設(shè)a≤b≤c,則a2≤b2≤c2,則當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立,又a2+b2+c2=3,因此a=b=c=1,于是的最大值為3.答案:3【知識(shí)探究】探究點(diǎn)排序不等式1.使用排序不等式的核心是什么?提示:使用排序不等式,核心是出現(xiàn)有大小次序的兩列數(shù)(或者代數(shù)式)來探求對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積的和的大小關(guān)系.2.已知兩組數(shù)1,2,3和4,5,6,試檢查它們的次序和是否最大?反序和與否最小?提示:反序和S1=1×6+2×5+3×4=28,亂序和S=1×4+2×6+3×5=31,S=1×5+2×4+3×6=31,S=1×5+2×6+3×4=29,S=1×6+2×4+3×5=29,次序和S2=1×4+2×5+3×6=32.由以上計(jì)算知S1<S<S2,因本次序和最大,反序和最小.【歸納總結(jié)】1.對(duì)排序不等式的理解排序原理是對(duì)不同的兩個(gè)數(shù)組來研究不同的乘積和的問題,能構(gòu)造的和按數(shù)組中的某種“搭配”的次序被分為三種形式:次序和、反序和、亂序和,對(duì)這三種不同的搭配形式只需注意是如何的“次序”,兩種較為簡(jiǎn)樸的是“順與反”,而亂序和也就是不按“常理”的次序了.2.排序不等式的本質(zhì)兩實(shí)數(shù)序列同方向單調(diào)(同時(shí)增或同時(shí)減)時(shí)所得兩兩乘積之和最大,反方向單調(diào)(一增一減)時(shí)所得兩兩乘積之和最小.3.排序不等式取等號(hào)的條件等號(hào)成立的條件是其中一序列為常數(shù)序列,即a1=a2=…=an或b1=b2=b3=…=bn.4.排序原理的思想在解答數(shù)學(xué)問題時(shí),經(jīng)常涉及某些能夠比較大小的量,它們之間并沒有預(yù)先規(guī)定大小次序,那么在解答問題時(shí),我們能夠運(yùn)用排序原理的思想方法,將它們按一定次序排列起來,繼而運(yùn)用不等關(guān)系來解題.因此,對(duì)于排序原理,我們要記住的是解決問題的這種思想及方法,同時(shí)要學(xué)會(huì)善于運(yùn)用這種比較典型的結(jié)論來解決實(shí)際問題.類型一運(yùn)用排序不等式求最值【典例】設(shè)a,b,c為任意正數(shù),求的最小值.【解題探究】本例中要運(yùn)用排序原理求解最小值,核心是什么?提示:核心是找出兩組有序數(shù)組,然后根據(jù)反序和≤亂序和≤次序和求解最小值.【解析】不妨設(shè)a≥b≥c,則a+b≥a+c≥b+c,≥≥,由排序不等式得,++≥++++≥++上述兩式相加得:2(++)≥3,即++≥.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí),++取最小值.【方法技巧】運(yùn)用排序原理求最值的方法技巧求最小(大)值,往往所給式子是順(反)序和式.然后運(yùn)用順(反)序和不小(大)于亂序和的原理適宜構(gòu)造出一種或二個(gè)亂序和從而求出其最小(大)值.【變式訓(xùn)練】1.已知兩組數(shù)1,2,3和4,5,6,若c1,c2,c3是4,5,6的一種排列,則1c1+2c2+3c3的最大值是_________,最小值是_________.【解析】由反序和≤亂序和≤次序和知,次序和最大,反序和最小,故最大值為32;最小值為28.答案:32282.設(shè)0<a≤b≤c且abc=1.試求的最小值.【解析】令S=由已知可得:兩式相加得:因此S≥即的最小值為類型二運(yùn)用排序不等式證明不等式【典例】已知a,b,c都是正數(shù),求證:【解題探究】本例不等式的兩端如何分別構(gòu)造、變形?提示:將右端變形為將左端構(gòu)造為的形式.【證明】由于a,b,c的對(duì)稱性,不妨設(shè)a≥b≥c>0,則≥≥.因而又a5≥b5≥c5.由排序不等式,得≥=又由不等式性質(zhì),知a2≥b2≥c2,根據(jù)排序不等式,得≥=++.由不等式的傳遞性知

++≤=.【延伸探究】本例中若將要證明的不等式改為如何證明呢?【證明】不妨設(shè)a≥b≥c,則,bc≤ca≤ab.由排序原理,得即≥a+b+c.由于a,b,c為正數(shù),因此abc>0,a+b+c>0,因此≥abc.【方法技巧】運(yùn)用排序不等式證明不等式的方略(1)運(yùn)用排序不等式證明不等式時(shí),若已知條件中已給出兩組量的大小關(guān)系,則需要分析清晰次序和、亂序和及反序和.運(yùn)用排序不等式證明即可.(2)在排序不等式的條件中,需要限定各數(shù)值的大小關(guān)系,如果對(duì)于它們之間并沒有預(yù)先規(guī)定大小次序,那么在解答問題時(shí),我們要根據(jù)各字母在不等式中的地位的對(duì)稱性將它們按一定次序排列起來,進(jìn)而用不等關(guān)系來解題.【變式訓(xùn)練】設(shè)x,y,z∈R+,且x+y+z=1,則P=與1的大小關(guān)系為(

)A.P=1

B.P<1

C.P≥1

D.P≤1【解析】選C.由x,y,z∈R+且x+y+z=1,不妨設(shè)x≥y≥z,則x2≥y2≥z2,.由排序不等式=x+y+z=1.當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=時(shí)等號(hào)成立,因此P≥1.【賠償訓(xùn)練】已知a,b,c為正數(shù),用排序不等式證明:2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).【證明】取兩組數(shù)a,b,c;a2,b2,c2.不管a,b,c的大小如何,a3+b3+c3都是次序和,而a2b+b2c+c2a及a2c+b2a+c2b都是亂序和,因此,a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a,a3+b3+c3≥a2c+b2a+c2b.因此2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b).自我糾錯(cuò)判斷兩數(shù)的大小【典例】普通地,對(duì)于n個(gè)正數(shù)a1,a2,…,an.幾何平均數(shù)Gn=,算術(shù)平均數(shù)An=,運(yùn)用排序不等式判斷Gn,An的大小關(guān)系.【失誤案例】分析解題過程,找出錯(cuò)誤之處,并寫出對(duì)的答案.提示:錯(cuò)誤的根本因素是無視了等號(hào)成立的條件.事實(shí)上本題當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn時(shí)取等號(hào).對(duì)的解答過程下列:【解析】令bi=(i=1,2,…,n),則b1b2…bn=1,故可取