武漢市2025屆高三年級五月模擬訓(xùn)練試題數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)交集定義計算求解即可.【詳解】集合，則.故選：D.2.若復(fù)數(shù)，則（）A.1 B.5 C. D.【答案】A【解析】【分析】由復(fù)數(shù)除法、共軛復(fù)數(shù)的概念、模的計算公式即可求解.【詳解】，.故選：A.3.已知圓臺上底面直徑為2，下底面直徑為4，母線長為3，則該圓臺的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先計算出圓臺的高，再利用圓臺的體積計算公式計算即可.【詳解】由題意，如圖，所以.故選：A4.已知是同一平面內(nèi)所有向量的一個基底，則“”是“的夾角是鈍角”的（）A.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)是平面向量的基底，確定的關(guān)系，再結(jié)合數(shù)量積的定義進(jìn)行判斷.【詳解】因為是同一平面內(nèi)所有向量的一個基底，所以不共線.所以由，因為不共線，所以且，即為鈍角.所以“”是“的夾角是鈍角”的充分條件；由的夾角是鈍角，所以“”是“的夾角是鈍角”的必要條件.綜上可得：在是同一平面內(nèi)所有向量的一個基底時，“”是“的夾角是鈍角”的充要條件.故選：B5.有四對雙胞胎共8人，從中隨機(jī)選4人，則其中恰有一對雙胞胎的選法種數(shù)為（）A.48 B.72 C.96 D.192【答案】A【解析】【分析】利用分步計數(shù)乘法原理，先選雙胞胎，再選人即可.【詳解】第一步：選一對雙胞胎有種；第二步：再選兩對雙胞胎，并從每對雙胞胎中各選一人共有種；利用分步計數(shù)乘法原理可知：從中隨機(jī)選4人，則其中恰有一對雙胞胎的選法種數(shù)為，故答案：A.6.設(shè)函數(shù)，則曲線在點處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用商的導(dǎo)數(shù)來求導(dǎo)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義來求切線斜率，從而可求切線方程，即可求切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的面積.【詳解】求導(dǎo)得：，則，又因為，所以曲線在點處的切線方程為，則與軸相交于點，與軸相交于點，所以與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為，故選：C.7.將函數(shù)圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，若為奇函數(shù)，則的最小值是（）A. B.1 C.2 D.【答案】B【解析】【分析】利用平移思想，結(jié)合正切函數(shù)平移都是奇函數(shù)，可得的取值可能，從而可得最小值.【詳解】函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到函數(shù),由為奇函數(shù)，則，因為，所以的最小值是，故選：B.8.定義在上的函數(shù)滿足，則下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】構(gòu)造和，由可得，，即遞增，遞減.

利用單調(diào)性比較、在不同點的值，進(jìn)而得到在不同點的取值范圍，判斷各選項.【詳解】設(shè)，對求導(dǎo)，得.已知，所以，這表明在上單調(diào)遞增.設(shè)，對求導(dǎo)，得.已知，所以，這表明在上單調(diào)遞減.

因為在上單調(diào)遞增，且，所以.，則，即，無法確定，所以選項A錯誤.

因為在上單調(diào)遞增，且，所以.，則，即，無法確定，所以選項B錯誤.

因為在上單調(diào)遞增，且，所以.，則，即.又因為在上單調(diào)遞減，且，所以.，則，即.同時，移項可得，所以選項C正確.

因為在上單調(diào)遞增，且，所以.，則，即.又因為在上單調(diào)遞減，且，所以.，則，即，無法確定，所以選項D錯誤.

故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分．9.下列說法正確的是（）A.利用進(jìn)行獨立性檢驗時，的值越大，說明有更大的把握認(rèn)為兩個分類變量獨立B.在殘差圖中，殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄，其模型擬合效果越好C.樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值大小可以反映成對樣本數(shù)據(jù)之間線性相關(guān)的程度，當(dāng)越接近1時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱D.用決定系數(shù)來比較兩個模型的擬合效果，越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好【答案】BD【解析】【分析】應(yīng)用線性相關(guān)系數(shù)、殘差圖與獨立性檢驗的知識，決定系數(shù)一一檢驗即可.【詳解】利用進(jìn)行獨立性檢驗時，的值越大，說明有更大的把握認(rèn)為兩個分類變量相關(guān)，因此A錯誤；在殘差圖中，殘差點分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說明模型的擬合精度越高，因此B正確；線性相關(guān)系數(shù)的范圍在到之間，有正有負(fù)，相關(guān)有正相關(guān)和負(fù)相關(guān)，相關(guān)系數(shù)的絕對值的大小越接近于1，兩個變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，反之，線性相關(guān)性越弱，因此C選項錯誤；用決定系數(shù)來比較兩個模型的擬合效果，越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好，D選項正確；故選：BD.10.已知是坐標(biāo)原點，對任意，函數(shù)的圖象上總存在不同兩點，使得，則下列選項中滿足條件的有（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用數(shù)形結(jié)合來研究各選項，把交點存在問題轉(zhuǎn)化為方程有解問題，通過解方程可判斷AD，對于B通過舉反例找到矛盾可判斷，對于C，則再次利用數(shù)形結(jié)合來研究方程是否有解，從而可判斷C.【詳解】由圖可知：過原點一定存在過原點的直線交曲線于兩點，設(shè)，則由，可得，即，消元得：，對任意的，必存在，，故A正確；又由圖可知：過原點一定存在過原點的直線交曲線于兩點，同上述方法可得：由，消元得：，不妨令，則上式變?yōu)?，此時因為，所以此時不存在兩點，也就是不能對任意，都有，故B正確；又由圖可知：過原點一定存在過原點的直線交曲線于兩點，同上述方法可得：由，消元得：，通過構(gòu)造兩個函數(shù)和，當(dāng)時作圖分析：由于，函數(shù)圖像是把正弦函數(shù)的橫坐標(biāo)壓縮到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，而函數(shù)圖像是把正弦函數(shù)的縱坐標(biāo)伸長到原來的倍，橫坐標(biāo)不變，此時兩圖象必有無數(shù)個交點，所以方程必有解，即對任意，必有，故C正確；由圖可知：過原點一定存在過原點的直線交曲線于兩點，同上述方法可得：由，消元得：，整理得：，即或，對任意的，顯然存在和或和的解，則必有，故D正確；故選：ACD.11.設(shè)正整數(shù)，其中，記為上述表示中為1的個數(shù)．例如：，所以．已知集合，下列說法正確的是（）A.B.對任意的，有C.若，則使成立的的取值個數(shù)為D.【答案】ACD【解析】【分析】由及新定義判斷A，舉反例判斷B，結(jié)合，根據(jù)定義即可求解判斷C，根據(jù)的定義得，結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)利用倒序相加法即可求解判斷D.【詳解】對于A，，有2個1，所以，正確；對于B，當(dāng)時，，所以，此時，不符合題意，錯誤；對于C，注意到，所以集合中的任一元素均可由唯一表示，能使的的取值個數(shù)為，正確；對于D，，記，又，兩式相加得，所以，則，正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在的展開式中，的系數(shù)是__________.【答案】0【解析】【分析】由，利用二項式定理求出和的展開式中的系數(shù)，相加即可得出結(jié)果.【詳解】，的展開式通項為，的展開式通項為，令，得，，因此，的系數(shù)為.故答案為：0.【點睛】本題考查利用二項式定理求指定項的系數(shù)，考查計算能力，屬于中等題.13.__________;【答案】【解析】【分析】切化弦、通分、再根據(jù)兩角差的正弦公式、二倍角公式和誘導(dǎo)公式可得結(jié)果.【詳解】原式.故答案為：14.已知分別為雙曲線的左、右焦點．過點作直線與的左、右兩支分別相交于兩點，直線與相交于點．若，則_____________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)，得，設(shè)，則，利用雙曲線定義得，再利用求出可得答案.【詳解】由已知得，所以，，因為，所以，，因為，所以，設(shè)，則，由，得，又，所以，可得，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）在邊上存在一點，使得，連接，若的面積為的平分線交于點，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將角化為邊，然后進(jìn)行化簡即可求解；（2）利用三角形面積公式結(jié)合余弦定理即可求解邊長，進(jìn)而由角平分線定理求比值.【小問1詳解】由及正弦定理得，又，所以，因為，所以，所以，所以【小問2詳解】因為，所以，則，所以，又由余弦定理得，可得，聯(lián)立方程解得，由角平線定理得16.如圖所示，在平行六面體中，底面是邊長為3的菱形，分別在線段和上，且，．（1）證明：四點共面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）利用空間向量的線性運算來證明兩向量相等，得四點共面；（2）利用空間向量的線性運算和數(shù)量積運算，來證明兩平面二面角的平面角，再用空間向量法來求夾角余弦值，從而問題可得解.【小問1詳解】由，因平行六面體可知：且又因為，，所以，則有，即四點共面；【小問2詳解】取的中點為，連接，由于，則有，又由余弦定理得：所以，又由，則，所以有，又因為的中點為，所以,即就是平面與平面的夾角或其補角，由，，由，，，所以有，故平面與平面夾角的余弦值是.17.建立如圖所示的坐標(biāo)系．矩形中，分別是矩形四條邊的中點，直線上的動點滿足，直線與的交點為．（1）證明點在一個確定的橢圓上，并求此橢圓的方程；（2）當(dāng)時，過點的直線（與軸不重合）與（1）中的橢圓交于兩點，過點作直線的垂線，垂足為點．設(shè)直線與軸交于點，求面積的最大值．【答案】（1）證明見解析，；（2）【解析】【分析】（1）利用動直線方程消去參數(shù)，即可得交點軌跡方程；（2）利用直線與橢圓聯(lián)立方程組，借助動直線求出過的定點，再研究面積最大值.【小問1詳解】由題意可知：由可得，當(dāng)時，直線的方程為：，又由，所以，可得，所以直線的方程為：，上面兩直線方程相乘可得：所以可得點這個橢圓上；【小問2詳解】當(dāng)時，點，設(shè)直線的方程為：，與橢圓聯(lián)立，消得：，設(shè)交點，則可得，依題意，，直線的方程為：，令，得點的橫坐標(biāo)為：，代入可得：，因此直線過定點，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的面積最大值為.18.有甲乙兩個口袋，甲口袋中有編號為1，2，3的3個白球，乙口袋中有編號為1，2，3的3個黑球，已知每個球除顏色和編號不同外，其余全部相同．現(xiàn)從甲乙兩口袋中各隨機(jī)任取一個球交換放入另一個口袋，重復(fù)進(jìn)行次這樣的操作．（1）求2次換球后，甲口袋中恰有3個白球的概率；（2）求次換球后，甲口袋中3個球顏色恰好相同的概率（結(jié)果用含的式子表示）；（3）求次換球后，甲口袋中3個球編號恰好為1，2，3的概率（結(jié)果用含的式子表示）．當(dāng)為多少時，概率取得最大值？最大值是多少？【答案】（1）（2）（3），【解析】【分析】（1）利用獨立事件同時發(fā)生的乘法公式即可求解；（2）利用數(shù)列的遞推思想，結(jié)合全概率公式，先得到遞推，再構(gòu)造等比數(shù)列求出通項公式；（3）利用數(shù)列的遞推思想，結(jié)合全概率公式，先得到遞推，再構(gòu)造等比數(shù)列求出通項公式，然后利用分類討論思想求出最大值.【小問1詳解】經(jīng)過一次交換后，甲口袋中有2白1黑，乙口袋中有2黑1白，記“2次換球后，甲口袋中恰有3個白球”為事件，則；【小問2詳解】記“次換球后，甲口袋中有3個球顏色相同的”概率為，則當(dāng)?shù)诖螕Q球后，只有兩種可能，一種是同顏色，另一種是有一個不同顏色，而同顏色的交換后不可能再同顏色，而有一個不同顏色的通過交換可以變?yōu)橥伾?，此時發(fā)生的概率為，再根據(jù)全概率公式可得：，所以，則是等比數(shù)列，即；【小問3詳解】又記“次換球后，甲口袋中有3個球編號分別為1，2，3”概率為，則，當(dāng)?shù)诖螕Q球后，只有兩種可能，一種是有三個編號為1，2，3，另一種是沒有三個編號為1，2，3，而三個編號為1，2，3的交換后也有可能編號仍為1，2，3，此時發(fā)生的概率為，另一種可能是AAB型，另一邊一定是BCC型，這樣通過交換A和C就可以變換為有三個編號為1，2，3，此時發(fā)生的概率為，再根據(jù)全概率公式可得：，所以有，即是等比數(shù)列，即，當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，，所以當(dāng)時，取到最大值.19.已知函數(shù)．（1）若，討論的零點的個數(shù)；（2）若為正整數(shù)，記此時的唯一零點為，證明：（i）數(shù)列是遞增數(shù)列；（ii）．【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）利用分離參變量，再構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)研究單調(diào)性，然后結(jié)合取值規(guī)律，可得到零點個數(shù)的判斷；（2）（i）利用遞推及放縮思想，可得到，然后再利用函數(shù)的單調(diào)性可得到數(shù)列的單調(diào)性；（ii）利用，結(jié)合零點的條件進(jìn)行放縮，，再利用裂項相消求和，從而原不等式可得證.【小問1詳解】令，可得，設(shè)，因為，所以當(dāng)時，，則在單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則在單調(diào)遞增；即，又因為，，，所以當(dāng)時，無零點；當(dāng)或時，僅有一個零點；當(dāng)時，有兩個零點；【小問2詳解】（i）由（1）知，當(dāng)時，僅有一個零點；由的唯一零點為，則，兩邊取自然對數(shù)得：，即，兩式相減得：，可得，設(shè)，則