《數(shù)學(xué)》課件-12.3　微分方程應(yīng)用舉例_第1頁
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文檔簡介

第12章常微分方程與差分方程*12.3

微分方程應(yīng)用舉例例12-3-1

解

設(shè)一動點P從原點出發(fā)沿

y軸正方向移動,

解

設(shè)在時刻t,點M的坐標(biāo)為(x,y),由題意,得Y=at,⑨

P的坐標(biāo)為(0,Y).

把⑨代入?,得

即

由⑩得

由?

?得

?就是追線所滿足的微分方程,初始條件為y(c)=0,y'(c)=0.

分離變量,得

把?

?兩式相減,得

即

(i)

當(dāng)a≠b時,

便得所求的追線方程為當(dāng)

a>b時,這表明M點永遠(yuǎn)追不上

P點;

a<b時,

所以

x不能取得零值,

此時追線與

y軸相交,這表明M點可以追上P點.

令

x

=0便得相遇點的縱坐標(biāo)為

所以

M點追上

P點所需要的時間為

(ii)當(dāng)

a=b時,

兩邊積分便得所求的追線方程為并利用初始條件y(c)=0,

此時追線與y軸不相交,這表明M點永遠(yuǎn)追不上P點.

任意一點P(x,y)作該曲線的切線及x軸的垂線,區(qū)間[0,x]上以y=y(x)為曲邊的曲邊梯形面積記為S2,過曲線

y=y(x)上

上述兩直線與x軸所圍成的三角形的面積記為S1,恒為1,解

由

y'(x)>0,y(0)=1知,y(x)>y(0)=1>0(x>0),所以

在上式中代入x=0并注意到y(tǒng)(0)=1,得y'(0)=1.另外,在上式兩邊關(guān)于x求導(dǎo)并化簡得yy″=

(y')2.令

z=y',則上述方程可化為

因為

y'>0,即

z>0,

解得

z=C1y.由初值條件

y=1,z=1,得C1=1,

由此解得

y=C2ex,再由初始條件

y(0)=1,得C2=1.因此所求曲線的方程為

y=ex.

x=C1e-λt.由初始條件

x(0)=a,求得特解

x=ae-λt.初始條件是

x(0)=a,y(0)=b,z(0)=0.求得通解

由初始條件

y(0)

=

b,

這是一階線性方程,

例12-3-5

解

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