第9章多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用9.5多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用設(shè)點(diǎn)P0(x0,y0,z0)是空間曲線C上的一個(gè)定點(diǎn),

點(diǎn)P是曲線C上鄰近點(diǎn)P0的動(dòng)點(diǎn),

點(diǎn)P0為切點(diǎn).過切點(diǎn)P0且與切線P0T垂直的平面9.5.1空間曲線的切線與法平面稱為曲線

C在點(diǎn)P0處的法平面.設(shè)空間曲線C的參數(shù)式方程為且x(t)、y(t)、z(t)在t0∈(α,β)處可導(dǎo),

又設(shè)P0(x0,y0,z0)=P0(x(t0),y(t0),z(t0)),而P(x(t),y(t),z(t))為曲線C上點(diǎn)P0附近的動(dòng)點(diǎn),則割線P0P的方向向量為{x(t)-x(t0),y(t)-y(t0),z(t)-z(t0)},或

因此,割線的方向向量就趨于曲線C在點(diǎn)P0處的切線的方向向量(簡稱切向量).切線P0T的方向向量為由于x'(t0)、y'(t0)、z'(t0)不同時(shí)為零,T={x'(t0),y'(t0),z'(t0)}.

從而得到曲線C在點(diǎn)P0處的切線方程為當(dāng)點(diǎn)P沿著曲線C趨于點(diǎn)P0(即t→t0)時(shí),因?yàn)榍€C在點(diǎn)P0處的法平面垂直于上述切向量T,所以T就是法平面的法向量,因而曲線C在點(diǎn)P0處的法平面方程為

例9-5-1

求螺旋線解

由于

于是切線方程為

法平面方程為

即

設(shè)點(diǎn)P0(x0,y0,z0)是空間曲面S上的一個(gè)定點(diǎn),

C是曲面S上過點(diǎn)P0的任意一條曲線,

點(diǎn)P0稱為切點(diǎn).過切點(diǎn)P0與切平面垂直的直線9.5.2曲面的切平面與法線

稱為曲面S在點(diǎn)P0處的法線.設(shè)曲面S的方程為

F(x,y,z)=0.

點(diǎn)P0(x0,y0,z0)是曲面S上一點(diǎn),

在曲面S上過點(diǎn)P0任作一條曲線C,

且設(shè)點(diǎn)P0對應(yīng)于參數(shù)t0,

P0(x0,y0,z0)=P0(x(t0),y(t0),z(t0)).且

F[x(t),y(t),z(t)]≡0,

此式表明向量兩邊在

t0處對

t求導(dǎo)數(shù),n={F'x(x0,y0,z0),F'y(x0,y0,z0),F'z(x0,y0,z0)}垂直于曲線C在點(diǎn)

P0處的切向量T={x'(t0),y'(t0),z'(t0)},

即

這些切線都在同一平面上,這個(gè)平面就是曲面

S在點(diǎn)

P0處的切平面

,而向量

n正是這個(gè)切平面的法向量.因而F'x(x0,y0,z0)(x-x0)+F'y(x0,y0,z0)(y-y0)+F'z(x0,y0,z0)(z-z0)=0.③

于是曲面在點(diǎn)P0處的法線方程為(簡稱為S在點(diǎn)P0處的法向量),

特別地,

z=f(x,y)

可將它化為方程如果點(diǎn)P0(x0,y0,z0)

函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的

于是曲面S在點(diǎn)P0(x0,y0,z0)處的切平面方程為

是曲面S上的一點(diǎn),某鄰域內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).例9-5-2

求拋物面z=ax2+by2解

因?yàn)?/p>

z'y(1,1)=2b,

于是所求的切平面方程為

即

于是所求的法線方程為

例9-5-3

解

故所求的切線方程為

于是可計(jì)算出曲線在點(diǎn)P(1,1,1)處的切向量為

所以,所求的切線方程也可表示為

所求的法平面方程為

本節(jié)主要內(nèi)容：的切線方程與法平面方程的關(guān)鍵是求出曲線C在點(diǎn)P0處的切向量.求出曲面S(2)

曲面

S在其一點(diǎn)P0處的切平面與法線的概念,(1)空間曲線C在其一點(diǎn)P0處的切線與法平面的概念,求曲面

S在點(diǎn)