PAGEPAGE1考點47兩直線的位置關(guān)系、距離公式1．（湖南省師范高校附屬中學2025屆高三下學期模擬三理）長方體中，，，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則與兩點之間的距離為（）A．2 B． C．1 D．【答案】C【解析】將長方體中含有的平面取出，過點作，垂足為，延長到，使，則是關(guān)于的對稱點，如圖所示，過作，垂足為，連接，，依題意，，，，，，，，所以.故選.2．（四川省宜賓市2025屆高三第三次診斷性考試數(shù)學理）已知雙曲線的左右焦點分別為，以它的一個焦點為圓心，半徑為的圓恰好與雙曲線的兩條漸近線分別切于兩點，則四邊形的面積為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】因為雙曲線的左右焦點分別為雙曲線的漸近線方程為，即其中一條漸近線方程為以它的一個焦點為圓心，半徑為的圓恰好與雙曲線的兩條漸近線分別切于A，B兩點依據(jù)焦點到漸近線的距離及雙曲線中的關(guān)系可得所以解得，進而可求得切點則四邊形的面積為故選：D3．（河北省保定市2024年高三其次次模擬考試理）設(shè)點為直線：上的動點，點，，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】依據(jù)題意作出圖像如下：設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則它們的中點坐標為：，且由對稱性可得：，解得：，所以因為，所以當三點共線時，最大此時最大值為故選：A4．（貴州省貴陽市2024年高三5月適應性考試二理）雙曲線的兩條漸近線分別為，，為其一個焦點，若關(guān)于的對稱點在上，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】不妨取，設(shè)其對稱點在，由對稱性可得：，解得：，點在，則：，整理可得：，雙曲線的漸近線方程為：.故選：D.5．（廣東省廣州市一般中學畢業(yè)班2025屆高三綜合測試二理）已知點與點關(guān)于直線對稱，則點的坐標為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè),則，選D.6．（甘肅省2025屆高三第一次高考診斷考試理）拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意，拋物線的焦點為，雙曲線的漸近線為，其中一條為，由點到直線的距離公式得.故選C.7．（黑龍江省齊齊哈爾市2025屆高三其次次模擬考試數(shù)學理）已知橢圓的左，右焦點分別為，，過作垂直軸的直線交橢圓于兩點，點在軸上方.若，的內(nèi)切圓的面積為，則直線的方程是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，，，內(nèi)切圓圓心為，由知，又，所以方程為，由內(nèi)切圓圓心到直線距離為，即得，所以方程為.故選D項8．（遼寧省丹東市2025屆高三總復習質(zhì)量測試一理）已知是橢圓的右焦點，直線與相交于兩點，則的面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解得，即右焦點到直線的距離為故選C項.9．（廣西壯族自治區(qū)柳州市2025屆高三畢業(yè)班3月模擬考試數(shù)學理）圓關(guān)于直線對稱的圓的方程是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意得，圓方程即為，∴圓心坐標為，半徑為1．設(shè)圓心關(guān)于直線的對稱點的坐標為，則，解得，∴所求圓的圓心坐標為，∴所求圓的方程為．故選D．10．（湖南省三湘名校（五市十校)2025屆高三下學期第一次聯(lián)考數(shù)學理）如圖，是坐標原點，過的直線分別交拋物線于、兩點，直線與過點平行于軸的直線相交于點，過點與此拋物線相切的直線與直線相交于點.則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】過E（p，0）的直線分別交拋物線y2＝2px（p＞0）于A、B，兩點為隨意的，不妨設(shè)直線AB為x＝p，由，解得y＝±，則A（p，﹣），B（p，），∵直線BM的方程為y＝x，直線AM的方程為y＝-x，解得M（﹣p，﹣），∴|ME|2＝（2p）2+2p2＝6p2，設(shè)過點M與此拋物線相切的直線為y+＝k（x+p），由，消x整理可得ky2﹣2py﹣2+2p2k＝0，∴△＝4p2﹣4k（﹣2+2p2k）＝0，解得k＝，∴過點M與此拋物線相切的直線為y+p＝（x+p），由，解得N（p，2p），∴|NE|2＝4p2，∴|ME|2﹣|NE|2＝6p2﹣4p2＝2p2，故選：C．11．（江西省南昌市2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學理）已知，，為圓上的動點，，過點作與垂直的直線交直線于點，則的橫坐標范圍是()A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)P（），則Q（2，2），當≠0時，kAP，kPM，直線PM：y﹣（x﹣），①直線QB：y﹣0（x），②聯(lián)立①②消去y得x，∴，由||＜1得x2＞1，得|x|＞1，當＝0時，易求得|x|＝1，故選：A．12．（遼寧省沈陽市東北育才學校2025屆高三第五次模擬數(shù)學理）若雙曲線的焦距為，則的一個焦點到一條漸近線的距離為()A．2 B．4 C． D．【答案】B【解析】因為雙曲線的焦距為，所以，即；所以其中一個焦點坐標為，漸近線方程為，所以焦點到漸近線的距離為.故選B13．（安徽省黃山市2025屆高三第一次質(zhì)量檢測一模數(shù)學理）直線與軸的交點為,點把圓的直徑分為兩段，則較長一段比上較短一段的值等于()A．2B．3C．4D．5【答案】A【解析】令代入可得，圓心坐標為，則與圓心的距離為，半徑為6，可知較長一段為8，較短一段4，則較長一段比上較短一段的值等于2。故答案為A.14．（廣東省惠州市2025屆高三第三次調(diào)研考試數(shù)學理）已知直線過點，當直線與圓有兩個交點時，其斜率的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】直線為，又直線與圓有兩個交點，故，∴，故選B．15．（四川省綿陽市2025屆高三其次次（1月)診斷性考試數(shù)學理）已知是焦距為8的雙曲線的左右焦點，點關(guān)于雙曲線的一條漸近線的對稱點為點，若，則此雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．3【答案】C【解析】如下圖，因為A為F2關(guān)于漸近線的對稱點，所以，B為AF2的中點，又O為F1F2的中點，所以，OB為三角形AF1F2的中位線，所以，OB∥AF1，由AF2⊥OB，可得AF2⊥AF1，AF2＝=4，點F2（4,0），漸近線：x，所以，解得：b＝2，＝2，所以離心率為e＝2,故選C.16．（北京市昌平區(qū)2025屆高三5月綜合練習二模數(shù)學理）在極坐標系中，極點到直線的距離為________.【答案】【解析】極坐標方程化為直線方程即：x＋y－2＝0，極點坐標即（0,0），所以距離為：.17．（陜西省渭南市2025屆高三二模數(shù)學理）已知雙曲線的一條漸近線為,則焦點到這條漸近線的距離為_____．【答案】2.【解析】雙曲線的一條漸近線為解得：雙曲線的右焦點為焦點到這條漸近線的距離為：本題正確結(jié)果：18．（北京市朝陽區(qū)2025屆高三第一次3月綜合練習一模數(shù)學理）雙曲線的右焦點到其一條漸近線的距離是_____．【答案】1【解析】由題意可知，雙曲線的右焦點坐標為，漸近線方程為：，即，則焦點到漸近線的距離為：.故答案為：．19．（云南省保山市2024年一般中學畢業(yè)生市級統(tǒng)一檢測理）已知坐標原點為O，過點作直線n不同時為零的垂線，垂足為M，則的取值范圍是______．【答案】【解析】依據(jù)題意，直線，即，則有，解可得，則直線恒過點．設(shè)，又由與直線垂直，且為垂足，則點的軌跡是以為直徑的圓，其方程為，所以；即的取值范圍是；故答案為：．20．（湖南師大附中2025屆高三月考試題數(shù)學理）設(shè)雙曲線：的右焦點為，直線為雙曲線的一條漸近線，點關(guān)于直線的對稱點為，若點在雙曲線的左支上，則雙曲線的離心率為__________．【答案】【解析】如圖：由點關(guān)于直線的對稱點為，可知FHOH，又F(1,0)到漸近線l:y=的距離為，即FH=b，OH=a，∴PF=2b，PE=2a，由雙曲線的定義可知2b-2a=2a，∴b=2a，又c2＝b2+a2＝5a2，∴e．故答案為．21．（甘肅、青海、寧夏2025屆高三上學期期末聯(lián)考數(shù)學理）設(shè)，，那么的最小值是__________．【答案】2【解析】由題意，令，原式可化為，其幾何意義是動點和的距離的平方，又曲線與曲線關(guān)于直線對稱，過曲線上的點且平行于直線的切線為，過曲線上的點且平行于直線的切線為，則兩切線間的距離為，故的最小值是2.22．（山東省棲霞市2025屆高三高考模擬卷數(shù)學理）[選修4—4：坐標系與參數(shù)方程]在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，直線的極坐標方程為.（1）設(shè)是曲線上的一個動瞇，當時，求點到直線的距離的最小值；（2）若曲線上全部的點都在直線的右下方，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由，得到，直線一般方程為：設(shè)，則點到直線的距離：當時，點到直線的距離的最小值為（2）設(shè)曲線上隨意點，由于曲線上全部的點都在直線的右下方，對隨意恒成立，其中，.從而由于，解得：即：23．（黑龍江省齊齊哈爾市2025屆高三其次次模擬考試數(shù)學理）已知拋物線的焦點為，過點，斜率為1的直線與拋物線交于點，，且.（1）求拋物線的方程；（2）過點作直線交拋物線于不同于的兩點、，若直線，分別交直線于兩點，求取最小值時直線的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），直線的方程為，由，聯(lián)立，得，，，，拋物線的方程為：.（2）設(shè)，，直線的方程為：，聯(lián)立方程組消元得：，∴，.∴.設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組解得，又，∴.同理得.∴.令，，則.∴.∴當即時，取得最小值.此時直線的方程為，即.24．（湖南省衡陽市2025屆高三其次次聯(lián)考二模)數(shù)學理）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系中，設(shè)為：上的動點，點為在軸上的投影，動點滿意，點的軌跡為曲線.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，點，為直線上兩點.（1）求的參數(shù)方程；（2）是否存在，使得的面積為8？若存在，有幾個這樣的點？若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）見解析【解析】（1）設(shè)，，則.由得：.（2）依題，直線：，設(shè)點，設(shè)點到直線的距離為，.將代入，得，，.，∵，故存在符合題意的點，且存在兩個這樣的點.25．（四川省南充市高三2025屆其次次高考適應性考試高三數(shù)學理）在直角坐標系中,曲線:(為參數(shù),在以為極點;軸的非負半軸為極軸的極坐標系中,直線：.(1)若,推斷直線與曲線的位置關(guān)系;(2)若曲線上存在點到直線的距離為,求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）相切；（2）.【解析】（1）由題意得曲線：（為參數(shù)），曲線的直角坐標方程為：，是一個圓，圓心，半徑為.直線，