專題拓展：利用空間向量解決探索性問題一、與空間向量有關(guān)的探索性問題一類是探索線面位置關(guān)系的存在性問題，即線面的平行與垂直，另一類是探索線面的數(shù)量關(guān)系的存在性問題，即線面角或二面角滿足特定要求時的存在性問題。二、利用空間向量解決立體幾何的探索性問題思路：（1）根據(jù)題設(shè)條件的垂直關(guān)系，建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，將相關(guān)點(diǎn)、相關(guān)向量用坐標(biāo)表示。（2）假設(shè)所成的點(diǎn)或參數(shù)存在，并用相關(guān)參數(shù)表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)線、面滿足的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建方程（組）求解，若能求出參數(shù)的值且符合該限定的范圍，則存在，否則不存在。三、動點(diǎn)的設(shè)法（減少變量數(shù)量）在解決探索性問題中點(diǎn)的存在性四，經(jīng)常需要設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，而(x,y,z)可表示空間中的任一點(diǎn)，使用三個變量設(shè)點(diǎn)需要列三個方程，導(dǎo)致運(yùn)算量增大。為了減少變量數(shù)量，用以下設(shè)法。1、直線（一維）上的點(diǎn)：用一個變量可以表示出所求點(diǎn)的坐標(biāo)；依據(jù)：根據(jù)平面向量共線定理—若，使得【示例】已知，，那么直線上的某點(diǎn)坐標(biāo)可用一個變量表示，方法如下：，因?yàn)樵谏希浴?，所以可設(shè)點(diǎn).2、平面（二維）上的點(diǎn)：用兩個變量可以表示出所求點(diǎn)的坐標(biāo)。依據(jù)：平面向量基本定理—若，不共線，則平面上任意一個向量，均存在，，使得【示例】已知，，，則平面上某點(diǎn)坐標(biāo)可用兩個變量表示，方法如下：，，故，即所以可設(shè)點(diǎn).考點(diǎn)一：平行問題中的動點(diǎn)探索例1．（23-24高二下·甘肅蘭州·期中）如圖，在直三棱柱中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn).(1)求直線與平面所成角的正弦值；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由.【變式1-1】（23-24高二上·山東濱州·期末）如圖，已知正方體中，點(diǎn)分別在棱和上，.(1)求平面與平面的夾角的余弦值；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值，若不存在，請說明理由.【變式1-2】（23-24高三上·河北秦皇島·月考）如圖，在直三棱柱中，，，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)．(1)求多面體的體積；(2)求點(diǎn)到平面的距離；(3)在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？【變式1-3】（23-24高三上·云南昆明·月考）如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為4的正方形，，平面平面ABCD，且，，點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)．

(1)證明：平面ABCD；(2)線段AC上是否存在一點(diǎn)M，使平面ABF？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．考點(diǎn)二：垂直問題中的動點(diǎn)探索例2.（23-24高二上·四川成都·月考）如圖，多面體中，面為正方形，平面，且為棱的中點(diǎn)，為棱上的動點(diǎn).(1)證明：當(dāng)為棱的中點(diǎn)時，平面；(2)是否存在點(diǎn)，使得；若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【變式2-1】（23-24高二上·廣東江門·月考）如圖1，在邊長為2的菱形中，，將沿對角線折起到的位置，使平面平面，E是BD的中點(diǎn)，平面ABD，且，如圖2．(1)求證：平面；(2)在線段AD上是否存在一點(diǎn)M，使得平面，若存在，求的值；若不存在，說明理由．【變式2-2】（23-24高二上·北京延慶·期末）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)棱底面，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，，.(1)求平面與平面夾角的余弦值；(2)若為棱的中點(diǎn)，則棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面.若存在，求線段的長；若不存在，請說明理由.【變式2-3】（23-24高二上·廣東·月考）已知四棱錐的底面為直角梯形，，，平面，．(1)若點(diǎn)是棱上靠近的三等分點(diǎn)，證明：平面；(2)試探究棱上是否存在一點(diǎn)（不與、重合），使得平面平面？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．考點(diǎn)三：夾角問題中的動點(diǎn)探索例3.（23-24高三上·江蘇·月考）如圖，在四棱錐中，是正三角形，，平面平面，是棱上動點(diǎn)．(1)求證：平面平面；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角為30°？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【變式3-1】（23-24高二上·廣西南寧·期末）如圖，在直角梯形中，，，．以直線為軸，將直角梯形旋轉(zhuǎn)得到直角梯形，且．(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線和平面所成角的正弦值為?若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【變式3-2】（23-24高二下·江蘇南京·期中）在三棱柱中，已知，，，，M是BC的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)在棱上是否存在點(diǎn)P，使得二面角的正弦值為？若存在，求線段AP的長度；若不存在，請說明理由．【變式3-3】（23-24高二上·福建泉州·期中）如圖，在三棱臺中，是等邊三角形，，，側(cè)棱平面，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上的動點(diǎn)（不含端點(diǎn)）.(1)證明：平面平面；(2)若平面與平面所成的銳角的余弦值為，試判斷點(diǎn)的位置.考點(diǎn)四：距離問題中的動點(diǎn)探索例4.（23-24高二上·江西萍鄉(xiāng)·期末）如圖，是邊長為4的正方形，平面，，且．(1)證明：平面；(2)線段上是否存在一點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為？若存在，求線段的長；若不存在，請說明理由．【變式4-1】（22-23高二上·云南臨滄·月考）如圖，三棱柱的所有棱長都是平面分別是的中點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)在線段（含端點(diǎn)）上是否存在點(diǎn)，使點(diǎn)到平面的距離為？請說明理由.【變式4-2】（23-24高二上·上海·月考）如圖，四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，，且為中點(diǎn)．(1)求二面角的余弦值；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由．【變式4-3】（22-23高二下·福建·月考）如圖，三棱錐的底面是以為底邊的等腰直角三角形，且，各側(cè)棱長均為3.(1)求證：平面平面；(2)若點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，線段上是否存在一點(diǎn)，使得到平面的距離與到直線的距離之比為？若存在，求出此時的長；若不存在，說明理由.一、多選題1．（23-24高二上·河南商丘·期中）如圖，在棱長為2的正方體中，，分別是棱，的中點(diǎn)，為線段上的動點(diǎn)，則（

）A．存在點(diǎn)，使得直線B．存在點(diǎn)，使得平面C．點(diǎn)到直線距離的最小值為D．三棱錐的體積為2．（23-24高二上·重慶·月考）如圖，在棱長為的正方體中，點(diǎn)滿足，其中，，則（

）A．存在點(diǎn)，使得平面B．存在點(diǎn)，使得平面C．當(dāng)時，的最小值為D．當(dāng)時，的最大值為3．（23-24高二上·新疆烏魯木齊·月考）如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)為線段上的動點(diǎn)（含端點(diǎn)），下列四個結(jié)論中，正確的有（）A．存在點(diǎn)，使得平面B．存在點(diǎn)，使得直線與直線所成的角為C．存在點(diǎn)，使得三棱錐的體積為D．不存在點(diǎn)，使得，其中為二面角的大小，為直線與所成的角二、解答題4．（23-24高二上·內(nèi)蒙古赤峰·期末）如圖，在多面體中，平面平面，四邊形為正方形，四邊形為梯形，且，.(1)求直線與平面所成角的余弦值．(2)線段上是否存在點(diǎn)，使得直線平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，三棱柱中，，，點(diǎn)在底面上的射影點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，則：(1)求證：上存在一點(diǎn)E，使平面，并求出AE的長；(2)求二面角的余弦值.6．（23-24高二上·四川綿陽·期中）在梯形中，，，，為的中點(diǎn)，線段與交于點(diǎn)（如圖1）．將沿折起到的位置，使得二面角為直二面角（如圖2）．(1)求證：平面；(2)線段上是否存在點(diǎn)，使得平面平面?若存在，求出值；若不存在，請說明理由．7．（23-24高二上·福建福州·期中）如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，，.(1)求證：