絕密★啟用前江蘇省2024—2025學年高二下學期期末迎考卷數(shù)學注意事項：1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘．2.答題前，考生務必將班級、姓名、學號填寫在密封線內．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1.已知全集U＝R，集合A，B滿足A?(A∩B)，則下列關系一定正確的是()A.A＝BB.B?AC.A∩(?UB)＝?D.(?UA)∩B＝?2.“a>eq\r(b)>0”是“l(fā)na2>lnb”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件3.隨著“一帶一路”經(jīng)貿合作持續(xù)深化，某地對外貿易近幾年持續(xù)繁榮，2025年5月1日，該地很多商場都在搞“五一”促銷活動．市物價局派人對某商品同一天的銷售量及其促銷成本進行調查，得到該商品的促銷成本x(單位：百元)和銷售量y(單位：百件)之間的一組數(shù)據(jù)：x2025303540y578911用最小二乘法求得y與x之間的經(jīng)驗回歸方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝0.28x＋eq\o(a,\s\up6(^))，當售價為45百元時，預測該商品的銷售量(單位：百件)大約為()A.11.2B.11.75C.12D.12.24.溶液酸堿度是通過pH計算的，pH的計算公式為pH＝－lg[H＋]，其中[H＋]表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升．若胃酸中氫離子的濃度是2.7×10-2摩爾/升，則胃酸的pH為()A.3－2lg3B.3＋2lg3C.3－3lg3D.3＋3lg35.某小麥種植研究所調查某地水稻的株高，得出株高ξ(單位：cm)近似服從正態(tài)分布N(100，102).已知X～N(μ，σ2)時，有P(|X－μ|≤σ)≈0.6827，P(|X－μ|≤2σ)≈0.9545，P(|X－μ|≤3σ)≈0.9973，則下列說法正確的是()A.該地小麥的平均株高約為10cmB.該地小麥株高的方差約為10C.該地株高超過110cm的小麥約占68.27%D.該地株高低于130cm的小麥約占99.87%6.設函數(shù)f(x)在x0附近有定義，且f(x0)－f(x0－Δx)＝a(Δx)3＋b(Δx)2＋cΔx，a，b，c為常數(shù)，則f′(x0)＝()A.0B.aC.bD.c7.如圖，在一個4×4的區(qū)域內(每個交叉點可視為一個通信節(jié)點位置)，有16個潛在的通信節(jié)點位置，為了建立一個穩(wěn)定的通信網(wǎng)絡，需要選擇3個節(jié)點，且這3個節(jié)點不能在同一條直線上(否則會存在信號干擾或覆蓋缺陷)，則不同的節(jié)點選擇方案數(shù)量為()A.576B.528C.520D.516(第7題)8.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，函數(shù)g(x)＝(x－5)f(x)的圖象關于點(5，0)中心對稱，若g(－1)＝6，則f(9)＝()A.－3B.－1C.3D.5二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，不選或有選錯的得0分．9.在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)－\r(3,x)))eq\s\up12(8)的展開式中，()A.所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為128B.二項式系數(shù)最大的項為第5項C.有理項共有兩項D.所有項的系數(shù)的和為3810.下列命題正確的是()A.若實數(shù)a，b滿足a>b>0，則eq\f(b,a)>eq\f(b＋2,a＋2)B.若－5<a<2，1<b<4，則3a－b的取值范圍是(－19，5)C.若正實數(shù)x，y滿足x＋y＝1，則eq\r(x)＋eq\r(y)的最大值為eq\r(2)D.若正實數(shù)x，y滿足x＋y＝1，則xx·yy≤eq\f(1,2)11.已知函數(shù)f(x)＝x3－|3x2－3|，則()A.f(x)只有2個極小值點B.曲線y＝f(x)在點(3，f(3))處的切線斜率為3C.當f(x)－m有3個零點時，m的取值范圍為(－3，1)D.當f(x)－m只有1個零點時，m的取值范圍為(－∞，－3)∪(1，＋∞)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(21-x－1，x≤0，,log2x，x>0，))則f(x)≥1的解集為________．13.某果園有單棵產量為95千克的“高產果樹”3棵，有單棵產量為55千克的“低產果樹”2棵，從這5棵果樹中任意抽取2棵，則2棵果樹的產量之和X的方差為________．14.一項工程在某階段內的施工效率為k(d)＝eq\f(d,d2－8d＋4)，另一相關工程在階段內完成的工作量為h(p)＝p2＋2ap－a2.若對任意的d1∈[1，3]，總存在p2∈[0，1]，使得k(d1)·h(p2)＝1成立，則實數(shù)a的取值范圍為________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．15.(13分)高質量發(fā)展是全面建設社會主義現(xiàn)代化國家的首要任務，創(chuàng)新研發(fā)是高質量發(fā)展的重要前提．某公司研發(fā)新產品的投入x(單位：百萬元)與該產品的收益y(單位：百萬元)的5組統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示，且經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝2.8x＋2.6.x568912y16202528m(1)求m的值；(2)若將圖表中的點(8，25)去掉，判斷樣本相關系數(shù)r是否改變，并說明你的理由．16.(15分)隨著智能手機的普及，網(wǎng)上買菜迅速進入了我們的生活．現(xiàn)將一周網(wǎng)上買菜次數(shù)超過3次的市民認定為“喜歡網(wǎng)上買菜”，不超過3次甚至從不在網(wǎng)上買菜的市民認定為“不喜歡網(wǎng)上買菜”．某市M社區(qū)為了解該社區(qū)市民網(wǎng)上買菜情況，隨機抽取了該社區(qū)100名市民，得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：喜歡網(wǎng)上買菜不喜歡網(wǎng)上買菜合計年齡不超過45歲的市民401050年齡超過45歲的市民203050合計6040100(1)試根據(jù)α＝0.05的χ2獨立性檢驗，分析M社區(qū)的市民是否喜歡網(wǎng)上買菜與年齡是否有關；(2)M社區(qū)的市民小張周一、二均在網(wǎng)上買菜，且周一等可能地從兩個買菜平臺隨機選擇一個下單買菜，如果周一選擇A平臺買菜，那么周二選擇A平臺買菜的概率為eq\f(4,5)，如果周一選擇B平臺買菜，那么周二選擇A平臺買菜的概率為eq\f(1,3)，求小張周二選擇B平臺買菜的概率．參考公式及數(shù)據(jù)：χ2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))，其中n＝a＋b＋c＋d.α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.82817.(15分)已知f(x)＝eq\f(xex,ex－1)－1.(1)討論f(x)的單調性；(2)若方程(lnx＋m)[f(x)＋1]＝ex有兩個不同的實數(shù)解x1，x2(x1<x2)，求實數(shù)m的取值范圍．18.(17分)某學校高二年級乒乓球社團舉辦了一次乒乓球比賽，進入決賽的9名選手來自于3個不同的班級，三個班級的選手人數(shù)分別是2，3，4，本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每名選手進行8場比賽，每場比賽采取5局3勝制，先贏得三場的人為獲勝者，比賽結束，根據(jù)積分選出最后的冠軍．如果最終積分相同，則同分選手加賽決出排名，積分規(guī)則如下：比賽中以3∶0或3∶1取勝的選手積3分，失敗的選手積0分；而在比賽中以3∶2取勝的選手積2分，失敗的選手積1分．已知第6場是甲、乙之間的比賽，設每局比賽甲取勝的概率為p(0<p<1).(1)若進入決賽的9名選手獲得冠亞軍的概率相等，則比賽結束后冠亞軍恰好來自同一個班級的概率是多少？(2)在第6場比賽中，當p＝eq\f(2,3)時，設甲所得積分為X，求X的分布列及期望；(3)在第6場比賽中，記甲3∶1取勝的概率為f(p)，求f(p)的最大值．

19.(17分)已知函數(shù)y＝f(x)，若其定義域為(0，＋∞)，且滿足f′(x)－eq\f(1,x)f(x)＋eq\f(1,x)>0對一切x∈(0，＋∞)恒成立，則稱f(x)為一個“反比函數(shù)”．(1)設g(x)＝eq\f(1,3)x3－1(x>0)，判斷y＝g(x)是否為“反比函數(shù)”，并說明理由；(2)若a<1－eq\f(1,2e4)，求證：函數(shù)y＝ax－3－lnx－eq\f(1－a,x)是“反比函數(shù)”；(3)已知“反比函數(shù)”y＝f(x)滿足對任意的x1，x2>0，都有f(x1＋x2)≤f(x1)f(x2)，且f(1)＝2，求證：對任意的a≤1，關于x的方程f(x)＝a無解．

江蘇省2024—2025學年高二下學期期末迎考卷數(shù)學參考答案與評分標準.C解析：因為集合A，B滿足A?(A∩B)，所以A?B，所以A∩(?UB)＝?.2.A解析：由a>eq\r(b)>0，可得a2>b>0，所以lna2>lnb，故充分性成立；由lna2>lnb，可得a2>b>0，可取a＝－2，b＝1，但是a>eq\r(b)>0不成立，故必要性不成立．綜上，“a>eq\r(b)>0”是“l(fā)na2>lnb”的充分不必要條件．3.D解析：因為eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(20＋25＋30＋35＋40)＝30，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)×(5＋7＋8＋9＋11)＝8，所以回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝0.28x＋eq\o(a,\s\up6(^))過點(30，8)，故8＝0.28×30＋eq\o(a,\s\up6(^))，解得eq\o(a,\s\up6(^))＝－0.4，所以eq\o(y,\s\up6(^))＝0.28x－0.4.將x＝45代入eq\o(y,\s\up6(^))＝0.28x－0.4中，得eq\o(y,\s\up6(^))＝0.28×45－0.4＝12.2，即當促銷成本為45百元時，預測該商品的銷售量大約為12.2百件．4.C解析：由題意得，胃酸的pH＝－lg(2.7×10-2)＝－(lg2.7＋lg10-2)＝2－lg2.7＝2－lg27＋lg10＝2－3lg3＋1＝3－3lg3.5.D解析：由題意可知，μ＝100，σ2＝100，故A，B錯誤．由題意得μ＋σ＝110，μ＋3σ＝130，所以P(X>μ＋σ)＝eq\f(1,2)[1－P(|X－μ|≤σ)]≈eq\f(1,2)×0.3173≈15.87%，故C錯誤．P(X<130)＝P(X<μ＋3σ)＝1－eq\f(1,2)[1－P(|X－μ|<3σ)]≈1－0.00135≈99.87%，故D正確．6.D解析：f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f(x0)－f(x0－Δx),Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(a(Δx)3－b(Δx)2＋cΔx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))[a(Δx)2－bΔx＋c]＝c.7.D解析：從16個節(jié)點中任選3個的方法數(shù)為Ceq\o\al(3,16)，去掉恰有4個節(jié)點在一條直線上的10種情形下的方法數(shù)10Ceq\o\al(3,4)，和恰有3個節(jié)點在同一直線上的4種情形下的方法數(shù)4Ceq\o\al(3,3)，即得所求方案數(shù)為Ceq\o\al(3,16)－10Ceq\o\al(3,4)－4Ceq\o\al(3,3)＝516.8.B解析：由函數(shù)g(x)＝(x－5)f(x)的圖象關于點(5，0)中心對稱可知，g(5－x)＝－g(5＋x)，即(5－x－5)f(5－x)＝－(5＋x－5)f(5＋x)，可得f(5－x)＝f(5＋x)，因此函數(shù)f(x)有對稱軸x＝5.由g(－1)＝(－1－5)f(－1)＝6，可得f(－1)＝－1.由f(x)為R上的偶函數(shù)且有對稱軸x＝5，可得f(9)＝f(1)＝f(－1)＝－1.9.AB解析：對于A，二項式系數(shù)和為28，則所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為eq\f(28,2)＝128，故A正確．對于B，二項式系數(shù)最大為Ceq\o\al(4,8)，則二項式系數(shù)最大的項為第5項，故B正確．對于C，Tk＋1＝Ceq\o\al(k,8)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)))8-k(－eq\r(3,x))k＝(－1)k·28-kCeq\o\al(k,8)xeq\f(4,3)k-8(0≤k≤8，k∈N)，若Tk＋1為有理項，則k可取的值為0，3，6，所以有理項共有三項，故C錯誤．對于D，令x＝1，則所有項的系數(shù)和為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1)－\r(3,1)))8＝1，故D錯誤．10.BC解析：對于A，若a>b>0，則eq\f(b,a)－eq\f(b＋2,a＋2)＝eq\f(2(b－a),a(a＋2))<0，所以eq\f(b,a)<eq\f(b＋2,a＋2)，故A錯誤．對于B，因為－5<a<2，1<b<4，所以－15<3a<6，－4<－b<－1，所以－19<3a－b<5，所以3a－b的取值范圍是(－19，5)，故B正確．對于C，(eq\r(x)＋eq\r(y))2＝x＋y＋2eq\r(xy)＝1＋2eq\r(xy)≤1＋x＋y＝2，故eq\r(x)＋eq\r(y)≤eq\r(2)，當且僅當x＝y(tǒng)＝eq\f(1,2)時等號成立，故C正確．對于D，取x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(2,3)，則xx·yy＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up6(\f(1,3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up6(\f(2,3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)×\f(4,9)))eq\s\up6(\f(1,3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,27)))eq\s\up6(\f(1,3))，而eq\f(4,27)>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(1,8)，故此時xx·yy>eq\f(1,2)，故D錯誤．11.ACD解析：因為f(x)＝x3－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3x2－3))，所以當x≥1或x≤－1時，f(x)＝x3－3x2＋3，則f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，所以當x>2或x≤－1時，f′(x)>0，當1≤x<2時，f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，－1]，(2，＋∞)上單調遞增，在[1，2)上單調遞減．當－1<x<1時，f(x)＝x3＋3x2－3，則f′(x)＝3x2＋6x＝3x(x＋2)，所以當0<x<1時，f′(x)>0，當－1<x<0時，f′(x)<0，所以f(x)在(0，1)上單調遞增，在(－1，0)上單調遞減．故f(x)在x＝0和x＝2處取得極小值，故f(x)有2個極小值點，故A正確．因為f′(3)＝3×32－6×3＝9，所以曲線y＝f(x)在點(3，f(3))處的切線斜率為9，故B錯誤．作出y＝f(x)的大致圖象如圖所示，則f(x)－m的零點個數(shù)為y＝f(x)與y＝m的交點個數(shù)，由圖可知，當f(x)－m有3個零點時，m的取值范圍為(－3，1)，故C正確．當f(x)－m只有1個零點時，m的取值范圍為(－∞，－3)∪(1，＋∞)，故D正確．(第11題)12.{x|x≤0或x≥2}解析：當x≤0時，由f(x)≥1，得21-x－1≥1，所以21-x≥2，所以1－x≥1，解得x≤0；當x>0時，由f(x)≥1，得log2x≥1＝log22，解得x≥2.綜上，不等式的解集為{xeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0))或x≥2}．13.576解析：由題意可得，X的可能取值為190，150，110，且P(X＝190)＝eq\f(Ceq\o\al(0,2)Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(3,10)，P(X＝150)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(3,5)，P(X＝110)＝eq\f(Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(0,3),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，則E(X)＝190×eq\f(3,10)＋150×eq\f(3,5)＋110×eq\f(1,10)＝158，所以方差D(X)＝322×eq\f(3,10)＋(－8)2×eq\f(3,5)＋(－48)2×eq\f(1,10)＝576.14.[－eq\r(3)，1－eq\r(6)]∪[2，1＋eq\r(5)]解析：當d∈[1，3]時，k(d)＝eq\f(d,d2－8d＋4)＝eq\f(1,d＋\f(4,d)－8).記函數(shù)m(d)＝d＋eq\f(4,d)－8，d∈[1，3]，易知函數(shù)m(d)在[1，2]上單調遞減，在[2，3]上單調遞增，所以m(d)min＝m(2)＝－4，m(1)＝－3，m(3)＝－eq\f(11,3)，所以m(d)max＝m(1)＝－3，所以k(d)min＝eq\f(1,－3)＝－eq\f(1,3)，k(d)max＝eq\f(1,－4)＝－eq\f(1,4)，即函數(shù)k(d)的值域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，－\f(1,4)))，故eq\f(1,k(d1))∈[－4，－3].設h(p)在p∈[0，1]上的值域為A，則[－4，－3]?A.函數(shù)h(p)＝p2＋2ap－a2的對稱軸為x＝－a，當－a≤0時，h(p)在[0，1]上單調遞增，所以h(p)min＝h(0)＝－a2≤－4，h(p)max＝h(1)＝1＋2a－a2≥－3，解得a∈[2，1＋eq\r(5)]；當0<－a<1時，h(p)min＝h(－a)＝－2a2≤－4不成立，舍去；當－a≥1時，h(p)在[0，1]上單調遞減，所以h(p)max＝h(0)＝－a2≥－3，h(p)min＝h(1)＝1＋2a－a2≤－4，解得a∈[－eq\r(3)，1－eq\r(6)].綜上，a的取值范圍為[－eq\r(3)，1－eq\r(6)]∪[2，1＋eq\r(5)].15.解答：(1)由題意可知，eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(5＋6＋8＋9＋12)＝8，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)×(16＋20＋25＋28＋m)＝eq\f(89＋m,5)，(2分)所以樣本中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(89＋m,5)))，將點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(89＋m,5)))代入eq\o(y,\s\up6(^))＝2.8x＋2.6，可得eq\f(89＋m,5)＝2.8×8＋2.6，解得m＝36.(7分)(2)由(1)可得，樣本中心為(8，25)，所以x3－eq\x\to(x)＝0，y3－eq\x\to(y)＝0，(10分)由相關系數(shù)公式知，將此圖表中的點(8，25)去掉后，樣本相關系數(shù)r不變．(13分)16.解答：(1)零假設為H0：M社區(qū)的市民是否喜歡網(wǎng)上買菜與年齡無關．根據(jù)列聯(lián)表，得χ2＝eq\f(100×(40×30－20×10)2,50×50×60×40)＝eq\f(50,3)>3.841，(5分)根據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為M社區(qū)的市民是否喜歡網(wǎng)上買菜與年齡有關，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.(7分)(2)設Ai表示周i在A平臺買菜，Bi表示周i在B平臺買菜，i＝1，2.由題可得P(A1)＝P(B1)＝eq\f(1,2)，P(B2|A1)＝eq\f(1,5)，P(B2|B1)＝eq\f(2,3).(12分)由全概率公式得小張周二選擇B平臺買菜的概率為P(B2)＝P(A1)P(B2eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(A1)))＋P(B1)P(B2eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(B1)))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,5)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(13,30).(15分)17.解答：(1)f(x)＝eq\f(xex,ex－1)－1＝eq\f((x－1)ex＋1,ex－1)(x≠0)，則f′(x)＝eq\f(xex(ex－1)－ex[(x－1)ex＋1],(ex－1)2)＝eq\f(ex(ex－x－1),(ex－1)2).(2分)令h(x)＝ex－x－1，則h′(x)＝ex－1，令h′(x)>0，得x>0，令h′(x)<0，得x<0，(3分)所以當x∈(－∞，0)時，h(x)單調遞減，當x∈(0，＋∞)時，h(x)單調遞增，所以h(x)≥h(0)＝0，又x≠0，所以f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上單調遞增．(6分)(2)方程(lnx＋m)[f(x)＋1]＝ex，即(lnx＋m)eq\f(xex,ex－1)＝ex，所以(lnx＋m)eq\f(x,ex－1)＝1，故m＝eq\f(ex－xlnx－1,x).(8分)令k(x)＝eq\f(ex－xlnx－1,x)，則k′(x)＝eq\f((x－1)(ex－1),x2)，x>0.(10分)令k′(x)>0，解得x>1；令k′(x)<0，解得0<x<1.故當x∈(0，1)時，k(x)單調遞減；當x∈(1，＋∞)時，k(x)單調遞增．(12分)當x→0時，k(x)→＋∞；當x→＋∞時，k(x)→＋∞，(14分)所以k(x)min＝k(1)＝e－1，故m>e－1，即m的取值范圍為(e－1，＋∞).(15分)18.解答：(1)記比賽結束后冠亞軍恰好來自同一個班級為事件A，(1分)則P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(2,9))＝eq\f(5,18).(4分)(2)依題意，X的可能取值為0，1，2，3，所以P(X＝0)＝(1－p)3＋Ceq\o\al(1,3)p(1－p)3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\s\up12(3)＋Ceq\o\al(1,3)×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,9)，(5分)P(X＝1)＝Ceq\o\al(2,4)p2(1－p)3＝Ceq\o\al(2,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))3＝eq\f(8,81)，(6分)P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,4)p2(1－p)2p＝Ceq\o\al(2,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(2,3)＝eq\f(16,81)，(7分)P(X＝3)＝p3＋Ceq\o\al(2,3)p2(1－p)p＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)＋Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(2,3)＝eq\f(16,27)，(8分)所以X的分布列為X0123Peq\f(1,9)eq\f(8,81)eq\f(16,81)eq\f(16,27)所以X的期望為E(X)＝0×eq\f(1,9)＋1×eq\f(8,81)＋2×eq\f(16,81)＋3×eq\f(16,27)＝eq\f(184,81).(9分)(3)依題意f(p)＝Ceq\o\al(2,3)p2(1－p)p＝3p3(1－p)(0<p<1)，則f′(p)＝3eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3p2(1－p)＋p3×(－1)))＝3p2(3－4p)，(11分)令f′(p)＝0，得p＝eq\f(3,4)，當p∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))時，f′(p)>0，f(p)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))上單調遞增，當p∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))時，f′(p)<0，f(p)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))上單調遞減，(14分)所以f(p)在p＝eq\f(3,4)處取得極大值，即最大值，(15分)所以f(p)max＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＝eq\f(81,256).(17分)19.解答：(1)由于g′(x)＝x2，故對x∈(0，＋∞)有g′(x)－eq\f(1,x)g(x)＋eq\f(1,x)＝x2－eq\f(1,3)x2＋eq\f(2,x)