2024-2025學年四川省達州市大竹縣石河中學八年級（下）月考數(shù)學試卷（6月份）一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列各式因式分解正確的是(

)A.x2-4=(x+4)(x-4) B.x2+2x+1=x(x+2)+1

C.2.若a<b，則下列式子正確的是(

)A.a-5>b-5 B.2a+4<2b+4 C.-2a<-2b D.a3.在下列手機手勢解鎖的圖案中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是(

)A. B. C. D.4.如圖，BD為∠ABC的角平分線，DE⊥BC于點E，AB=5，DE=2，則△ABD的面積是(

)A.5

B.7

C.7.5

D.105.如圖，△ABC中，E是BC的中點，AD平分∠BAC，BD⊥AD于點D，若AB=4，AC=6，則DE等于(

)A.4

B.3

C.2

D.16.《九章算術》中記錄的一道題譯為白話文是：把一份文件用慢馬送到900里外的城市，需要的時間比規(guī)定時間多一天，如果用快馬送，所需的時間比規(guī)定時間少3天，已知快馬的速度是慢馬的2倍，求規(guī)定時間．設規(guī)定時間為x天，則可列方程為(

)A.900x+1×2=900x-3 B.900x+1=7.直線y=k1x+b與直線y=k2x+c在同一平面直角坐標系中的圖象如圖所示，則關于xA.x>1 B.x<1 C.x>-4 D.x<-18.如圖，在△ABC和△ABD中，AB=AC=AD，AC⊥AD，AE⊥BC于點E，AE的反向延長線與BD交于點F，連結CD，則線段BF，DF，CD三者之間的關系為(

)A.BF-DF=CD

B.BF+DF=CD

C.BF2+D9.關于x的分式方程x+ax-3-7x=1無解，則A.4 B.0或-3 C.-3或4 D.0或-3或410.如圖，已知△ABC是邊長為3的等邊三角形，點D是邊BC上的一點，且BD=1，以AD為邊作等邊△ADE，過點E作EF//BC，交AC于點F，連接BF，CE，則下列結論：

①△ABD≌△ACE；②四邊形BDEF是平行四邊形；③S四邊形BDEF=32；④S

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個二、填空題：本題共5小題，每小題4分，共20分。11.約分：x2-1x-1=12.若ab=3，b-a=-15，則a2b-a13.若關于x的不等式組x<mx<5的解集是x<5，則m的取值范圍為______.14.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4cm，AD=6cm，∠ABC角平分線交AD于點E，交CD的延長線于點F，則DE=______cm.

15.如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=6，D是線段AB上一個動點，以BD為邊在△ABC外作等邊△BDE.若F是DE的中點，當CF取最小值時，△BDE的周長為______

三、解答題：本題共10小題，共80分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題8分)

解下列不等式(組)，并把它們的解集在數(shù)軸上表示出來.

(1)x-13-x+417.(本小題8分)

解方程：

(1)21-x+118.(本小題8分)

如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標A(-2,0)，B(-5,-3)，C(0,-5)都在格點上.

(1)若△ABC平移得到△A1B1C1，當A1的坐標為(4,4)，畫出△A1B1C1，則B1、C1的坐標分別是______、______.

(2)將△ABC繞原點順時針旋轉9019.(本小題8分)

在平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)在對角線AC上，連接DE、BF，∠ADE=∠CBF.求證：DE//BF.20.(本小題8分)

如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足為D.已知BD=3，AB=5.設CD長為x.

(1)根據(jù)勾股定理，得AC2=______.(用含x的代數(shù)式表示，結果需化簡)

(2)21.(本小題8分)

2024年11月12日，第15屆中國國際航空航天博覽會在珠海盛大開幕.在博覽會的熱烈氛圍中，某航模小組對其中A、B兩種新款無人機模型產(chǎn)生了濃厚的興趣和購買欲望，于是他們前往模型商店進行咨詢并了解到以下信息：

①A型無人機模型的單價比B型貴800元；

②用12000元購買A型無人機模型的數(shù)量與用8000元購買B型無人機模型的數(shù)量相同.

(1)求A型和B型無人機模型的單價各是多少元？

(2)若航模小組現(xiàn)有資金20000元，他們決定購買10臺無人機模型，同時要求購買B型的數(shù)量不超過A型的2倍.請求出航模小組所有可能的購買方案.22.(本小題8分)

如圖，在等腰三角形ABC中，CB=CA，∠ACB=α，BD⊥AC于點D，將線段CD繞點C順時針旋轉角α后得到線段CE，連接AE.

(1)求∠E的度數(shù)；

(2)若CE=2，AD=3，求BD的長.23.(本小題8分)

如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC，點D是AB上一點，過點D作DE⊥BC交BC于點E，交CA的延長線于點F.

(1)證明：△ADF是等腰三角形；

(2)若∠B=60°，BD=16，AD=5，求EC的長.24.(本小題8分)

《幾何原本》是古希臘數(shù)學家歐幾里得的一部數(shù)學巨著，他在第二卷“幾何與代數(shù)”中，闡述了數(shù)與形是一家，即通過“以數(shù)解形”和“以形助數(shù)”，可以把代數(shù)公式與幾何圖形相互轉化.如圖1，可以表示為公式①：(x+y)2=x2+2xy+y2.

(1)觀察下列圖形，將它們與下列公式對應起來.(填寫對應公式的序號)

公式②：(x+y)2=(x-y)2+4xy

公式③：x2-y2=(x+y)(x-y)

公式④：(x-p)(x-q)=x2-(p+q)x+pq

圖2對應公式______，圖3對應公式______，圖4對應公式______(填序號)；

(2)如圖3，若p=2，q=4，且空白部分的面積為48，求大正方形的邊長x的值.

為了解決這個問題，小敏將陰影部分平移至如圖5所示位置，則空白部分的面積可表示為(x-2)(x-4)，小敏運用“整體思想”，設x-2=a，x-4=b，結合公式①，則可計算出a+b的值，從而求出邊長x.請根據(jù)材料，幫助小敏完成后續(xù)的解答過程：

25.(本小題8分)

課本再現(xiàn)：

在學習了平行四邊形的概念后，進一步得到平行四邊形的性質：平行四邊形的對角線互相平分.

(1)如圖1，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，求證：OA=OC，OB=OD.

知識應用

(2)在△ABC中，點P為BC的中點.延長AB到D，使得BD=AC，延長AC到E，使得CE=AB，連接DE.如圖2，連接BE，若∠BAC=60°，請你探究線段BE與線段AP之間的數(shù)量關系.寫出你的結論，并加以證明.

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：A、x2-4=(x+2)(x-2)，故此選項不符合題意；

B、x2+2x+1=(x+1)2，故此選項不符合題意；

C、3mx-6my=3m(x-2y)，故此選項不符合題意；

D、2ax+4a=2a(x+2)，故此選項符合題意；

2.【答案】B

【解析】解：A、若a<b，則a-5<b-5，原變形錯誤，不符合題意；

B、若a<b，2a+4<2b+4，正確，符合題意；

C、若a<b，-2a>-2b，原變形錯誤，不符合題意；

D、若a<b，a3<b3，原變形錯誤，不符合題意；

故選：B.3.【答案】B

【解析】解：A、圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不合題意；

B、圖形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，符合題意；

C、圖形既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，不合題意；

D、圖形不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不合題意，

故選：B.

根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．

本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，熟知軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與原圖重合是解題的關鍵．4.【答案】A

【解析】解：過D點作DH⊥AB于H，如圖，

∵BD為∠ABC的角平分線，DE⊥BC，DH⊥AB，

∴DH=DE=2，

∴S△ABD=12×5×2=5.

故選：A.

過D點作DH⊥AB于5.【答案】D

【解析】解：延長BD交AC于F，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠FAD，

∵BD⊥AD于點D，

∴∠ADB=∠ADF=90°，

∴∠ABF=∠AFB，

∴AF=AB=4，

∵AD平分∠BAC，

∴D是BF的中點，

∵E是BC的中點，

∴DE是△BCF的中位線，

∴DE=12CF，

∵CF=AC-AF=6-4=2，

∴DE=1.

故選：D.

延長BD交AC于F，由角平分線定義得到∠BAD=∠FAD，由垂直的定義得到∠ADB=∠ADF=90°，由三角形內角和定理推出∠ABF=∠AFB，得到AF=AB=4，由等腰三角形的性質推出D是BF的中點，判定DE是△BCF的中位線，推出DE=12CF，求出6.【答案】A

【解析】【分析】

此題主要考查了由實際問題抽象出分式方程，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系．首先設規(guī)定時間為x天，則快馬所需的時間為(x-3)天，慢馬所需的時間為(x+1)天，根據(jù)等量關系：路程÷時間=速度，由題意得等量關系：慢馬速度×2=快馬速度，根據(jù)等量關系，可得方程．

【解答】

解：設規(guī)定時間為x天，則快馬所需的時間為(x-3)天，慢馬所需的時間為(x+1)天，由題意得：

900x+1×2=900x-37.【答案】B

【解析】解：由圖象知：不等式k1x+b<k2x+c的解集為x<1，

故選：8.【答案】C

【解析】解：如圖，連接CF，

∵AC=AD，AC⊥AD，

∴∠ACD=45°=∠ADC，

∵AB=AC=AD，

∴∠ABC=∠ACB，∠ADB=∠ABD，

∵∠ABC+∠ACB+∠ADB+∠ABD+∠ACD+∠ADC=180°，

∴∠CBD=45°，

∵AB=AC，AE⊥BC，

∴AE是線段BC的垂直平分線，

∴BF=CF，

∴∠CBD=∠BCF=45°，即∠CFD=90°，

∴BF2+DF2=CD2=AC2+AD2.

9.【答案】C

【解析】解：根據(jù)分式有意義，x≠3，x≠0，

將分式方程x+ax-3-7x=1化為整式方程為：x(x+a)-7(x-3)=x(x-3)，整理得(a-4)x=-21，

∵分式方程無解，

∴a=4，a=-3.

故選：C.

根據(jù)分式有意義的條件可知x≠3，x≠0，將分式方程化為整式方程后將x=3，x=010.【答案】C

【解析】解：作CH⊥EF于H.

∵△ABC，△ADE都是等邊三角形，

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠ABC=∠ACB=60°，

∴∠BAD=∠CAE，

在△BAD與△CAE中，

AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，

∴△BAD≌△CAE(SAS)，故①正確；

∴BD=EC=1，∠ACE=∠ABD=60°，

∵EF//BC，

∴∠EFC=∠ACB=60°，

∴△EFC是等邊三角形，

∴CH=32，EF=EC=BD，

∵EF//BD，

∴四邊形BDEF是平行四邊形，故②正確，

∵S平行四邊形BDEF=BD?CH=32，故③正確，

∵AC=BC=3，BD=CF=1，

∴CD=2BD，AF=2CF，

∵S△ABD=12×1×332=334，11.【答案】x+1

【解析】解：利用平方差公式把分子分解因式，再約去分子、分母的公因式x-1可得：x2-1x-1=(x+1)(x-1)x-1=x+1.

故答案為：12.【答案】35【解析】解：∵ab=3，b-a=-15，

∴a2b-ab2=ab(a-b)=-ab(b-a)=-3×(-1513.【答案】m≥5

【解析】解：∵關于x的不等式組x<m,x<5的解集是x<5，

∴m≥5，

即m的取值范圍是m≥5，

故答案為：m≥5.

根據(jù)不等式組的解集，可判斷m與5的大?。?/p>

14.【答案】2

【解析】解：在平行四邊形ABCD中，AD//BC，

∴∠AEB=∠CBF，

∵∠ABC的角平分線交AD于點E，

∴∠ABF=∠CBF，

∴∠AEB=∠ABF，

∴AB=AE，

∵AB=4cm，AD=6cm，

∴DE=AD-AE=6-4=2cm.

故答案為：2.

利用平行四邊形的性質得出AD//BC，進而得出∠AEB=∠CBF，再利用角平分線的性質得出∠ABF=∠CBF，進而得出∠AEB=∠ABF，即可得出AE的長，即可得出答案．

此題主要考查了平行四邊形的性質以及角平分線的性質，得出∠AEB=∠ABF15.【答案】18

【解析】解：連接BF，過點C作CH⊥BF，交BF的延長線于H，

∵△BDE是等邊三角形，點F是DE的中點，

∴∠ABF=30°，

∴點F在射線BF上運動，

當點F與點H重合時，CF最小，

∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，

∴∠A=60°，AB=2AC=12，

∵∠ABF=30°，

∴∠BD'H=∠AD'C=60°，

∴△ACD'是等邊三角形，

∴AD'=AC=6，

∴BD'=AB-AD'=12-6=6，

∴△BDE的周長為：18，

故答案為：18.

連接BF，過點C作CH⊥BF交BF的延長線于H，由等邊三角形的性質可知∠ABF=30°，則點F在射線BF16.【答案】x<-2，解集表示見詳解；

無解，解集表示見詳解．

【解析】(1)x-13-x+42>-2，

去分母，得2(x-1)-3(x+4)>-12，

去括號，得2x-2-3x-12>-12，

移項，得2x-3x>-12+2+12，

合并同類項，得-x>2，

兩邊都除以-1，得x<-2；

解集在數(shù)軸上表示為：

(2){5x+4<3(x+1)①x-12?2x-15②，

解：由①得

x<-12，

由②得

x≥3，

∴原不等式組無解．

解集在數(shù)軸上表示為：

(1)按步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、未知數(shù)系數(shù)化為1，進行求解即可．17.【答案】x=-1；

x=7.

【解析】(1)21-x+1x=0，

方程兩邊同時乘x(1-x)，得2x+1-x=0，

解得：x=-1，

檢驗：把x=-1代入x(1-x)≠0，

∴分式方程的解為x=-1；

(2)x-1x-3-2=23-x，

方程兩邊同時乘(x-3)，得x-1-2(x-3)=-2，

去括號，得x-1-2x+6=-2，

解得：x=7，

檢驗：把x=7代入x-3≠0，

∴分式方程的解為x=7.

18.【答案】畫圖見解答；(1,1)；(6,-1).

畫圖見解答；(0,2).

212【解析】(1)如圖，△A1B1C1即為所求．

由圖可得，B1(1,1)，C1(6,-1).

故答案為：(1,1)；(6,-1).

(2)如圖，△A2B2C2即為所求．

由圖可得，點A2的坐標是(0,2).

故答案為：(0,2).

(3)△ABC的面積為19.【答案】證明見解析．

【解析】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC，AD//BC，

∴∠DAE=∠BCF，

在△ADE與△CBF中，

∠ADE=∠CBFAD=BC∠DAE=∠BCF，

∴△ADE≌△CBF(ASA)，

∴∠AED=∠CFB，

∴∠DEC=∠BFA，

∴DE//BF.

結合平行四邊形的性質，證明△ADE≌△CBF，得出∠AED=∠CFB，AE=CF，得出∠DEC=∠BFA，進而可求證DE與BF20.【答案】16+x2；

【解析】解：(1)∵AD⊥BC，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

∵BD=3，AB=5，

∴AD=AB2-BD2=52-32=4，

∵CD長為x，

∴AC2=AD2+CD2=42+x2=16+x2，

故答案為：16+x2；

(2)∵∠BAC=90°，AB=5，BC=BD+CD，BD=3，CD=x，

∴BC=BD+CD=3+x，

21.【答案】A型無人機模型的單價是2400元，B型無人機模型的單價是1600元；

航模小組共有2種購買方案，

方案1：購買4臺A型無人機模型，6臺B型無人機模型；

方案2：購買5臺A型無人機模型，5臺B型無人機模型．

【解析】解：(1)設B型無人機模型的單價是x元，則A型無人機模型的單價是(x+800)元，.

根據(jù)題意得：12000x+800=8000x，

解得：x=1600，

經(jīng)檢驗，x=1600是所列方程的解，且符合題意，

∴x+800=1600+800=2400(元).

答：A型無人機模型的單價是2400元，B型無人機模型的單價是1600元；

(2)設購買y臺A型無人機模型，則購買(10-y)臺B型無人機模型，

根據(jù)題意得：2400y+1600(10-y)≤2000010-y≤2y，

解得：103≤y≤5，

又∵y為非負整數(shù)，

∴y可以為4，5，

∴航模小組共有2種購買方案，

方案1：購買4臺A型無人機模型，6臺B型無人機模型；

方案2：購買5臺A型無人機模型，5臺B型無人機模型．

(1)設B型無人機模型的單價是x元，則A型無人機模型的單價是(x+800)元，利用數(shù)量=總價÷單價，結合用12000元購買A型無人機模型的數(shù)量與用8000元購買B型無人機模型的數(shù)量相同，可列出關于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后，可得出x的值(即B型無人機模型的單價)，再將其代入(x+800)中，即可求出A型無人機模型的單價；

(2)設購買y臺A型無人機模型，則購買(10-y)臺B型無人機模型，利用總價=單價×數(shù)量，結合總價不超過20000元且購買B型的數(shù)量不超過A型的2倍，可列出y的一元一次不等式組，解之可得出y的取值范圍，再結合y22.【答案】∠E=90°.

【解析】(1)∵BD⊥AC，

∴∠BDC=90°.

∵將線段CD繞點C順時針旋轉角α后得到線段CE，

∴CD=CE，∠DCE=α，

∴∠DCE=∠ACB.

∵CB=CA，

∴△ACE≌△BCD(SAS)，

∴∠E=∠BDC=90°.

(2)∵將線段CD繞點C順時針旋轉角α后得到線段CE，

∴BD=AE，CD=CE=2，

∴AC=AD+CD=3+2=5.

由(1)知，∠E=90°，

∴AE=AC2-CE2=52-22=21，23.【答案】(1)證明：∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵FE⊥BC，

∴∠F+∠C=90°，∠BDE+∠B=90°，

∴∠F=∠BDE，

而∠BDE=∠FDA，

∴∠F=∠FDA，

∴AF=AD，

∴△ADF是等腰三角形；

(2)解：∵DE⊥BC，

∴∠DEB=90°，

∵∠B=60°，BD=16，

∴BE=12BD=8，

【解析】(1)由AB=AC，可知∠B=∠C，再由DE⊥BC，可知∠F+∠C=90°，∠BDE+∠B=90，然后余角的性質可推出∠F=∠BDE，再根據(jù)對頂角相等進行等量代換即可推出∠F=∠FDA，于是得到結論；

(2)根據(jù)含30度的直角三角形的性質和等邊三角形的性質即可得到結論．

本題主要考查等腰三角形的判定與性質，直角三角形的性質，關鍵根據(jù)相關的性質定理，通過等量代換推出24.【答案】③，④，②；

大正方形的邊長x的值為10；

正方形ABCD與正方形EFGH的面積之差為165.

【解析】(1)由題意知，圖2對應公式x2-y2=(x+y)(x-y)，圖3對應公式(x-p)(x-q)=x2-(p+q)x+pq，圖4對應公式(x+y)2=(x-y)2+4xy，

故答案為：③，④，②；

(2)設a=x-2，b=x-4，

∴a+b=x-2+x-4=2x-6，a-b=x-2-(x-4)=2，

由題意知，(x-2)(x-4)=48，

∴ab=48，

由公式①，可得(a+b)2